অ-নেতিবাচক পৃথক বিতরণের উদাহরণ যেখানে গড় (বা অন্য মুহুর্ত) বিদ্যমান নেই?

20

আমি স্কিপিতে কিছু কাজ করছিলাম এবং একটি কথোপকথন এসেছিল / কোর স্কিপি গ্রুপের সদস্য, অ-নেতিবাচক ডিসট্রিট এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি অপরিজ্ঞাত মুহুর্ত থাকতে পারে কিনা। আমি মনে করি তিনি সঠিক আছেন তবে প্রুফ হস্ত নেই। এই দাবিটি কি কেউ প্রমাণ করতে / প্রমাণ করতে পারবেন? (বা যদি এই দাবিটি সত্য প্রমাণিত না হয়)

যদি বিচ্ছিন্ন র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের on তে সমর্থন থাকে তবে আমার কাছে উদাহরণটি সহজ নয় তবে মনে হয় যে কাচি বিতরণের কিছু বিযুক্ত সংস্করণ একটি অপরিজ্ঞাত মুহুর্ত পাওয়ার জন্য উদাহরণ হিসাবে কাজ করবে। নেতিবাচকতা (সম্ভবত সহ ) এর শর্তটি যা সমস্যাটিকে চ্যালেঞ্জিং বলে মনে হচ্ছে (কমপক্ষে আমার জন্য)। $\mathbb{Z}$ $0$

mathematical-statistics expected-value

— লুকাস রবার্টস
সূত্র

15

পূর্ণসংখ্যা সিডিএফ সমান অন্য যে কোনও জায়গায় টুকরোচক ধ্রুবক হিসাবে থাকতে হবে এবং সিডিএফ হওয়ার জন্য সমস্ত মানদণ্ডের সাপেক্ষে। প্রত্যাশা হয় $F$ $1-1/n$ $n=1,2,\ldots,$

\int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

যা ডাইভারেজ করে। এই অর্থে প্রথম মুহূর্ত (এবং তাই সমস্ত উচ্চতর মুহুর্তগুলি) অসীম। (আরও বিস্তারিত জানার জন্য শেষে মন্তব্য দেখুন।)

যদি আপনি এই স্বরলিপিটি নিয়ে অস্বস্তি বোধ করেন তবে মনে রাখবেন যে $n=1,2,3,\ldots,$

{Pr}_{F} (n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1.}

${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$

প্রতিটি শব্দটি ইতিবাচক এবং এটি সম্ভাব্য বন্টনকে সংজ্ঞায়িত করে

\sum_{n = 1}^{\infty} {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n + 1} = 1.

$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$

প্রত্যাশা হয়

\sum_{n = 1}^{\infty} n {Pr}_{F} (n) = \sum_{n = 1}^{\infty} n (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + \dots

$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$

যা ডাইভারেজ করে।

উত্তরটি প্রকাশের এই উপায়টি এটি পরিষ্কার করে দেয় যে সমস্ত সমাধানগুলি এই জাতীয় বিভাজনকারী সিরিজ দ্বারা প্রাপ্ত। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি সম্ভাবনাগুলি সহ করতে চান, তবে ধারাবাহিকটি বিচ্ছিন্ন করার প্রত্যাশার জন্য যা এটি প্রকাশ করে, যথা $x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$ $p_1, p_2, \ldots$

(a_{n}) = (x_{n} p_{n}),

$(a_n) = (x_n p_n),$

বিচ্ছিন্ন আংশিক পরিমাণ থাকতে হবে।

বিপরীতে, অ-নেতিবাচক সংখ্যার প্রতিটি ডাইভারজেন্ট সিরিজ ডাইভারজেন্ট প্রত্যাশা থাকা অনেকগুলি পৃথক ধনাত্মক বিতরণের সাথে সম্পর্কিত। $(a_n)$ উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত আপনি সিকোয়েন্সগুলি এবং নির্ধারণ করতে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে পারেন । জন্য এবং সেট করে শুরু করুনএইভাবে উত্পন্ন সমস্ত এর সেট হতে সংজ্ঞায়িত করুন , এর উপাদানগুলিকে এবং সম্ভাব্য বন্টন সংজ্ঞায়িত করুন দ্বারা $(a_n)$ $(x_n)$ $(p_n)$ $q_n = 2^{-n}$ $y_n = 2^n a_n$ $n=1, 2, \ldots.$ $\Omega$ $y_n$ $\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$ $\Omega$

Pr (ω_{i}) = \sum_{n ∣ y_{n} = ω_{i}} q_{n} .

$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$

এটি কাজ করে কারণ এর যোগফল এর সমান যা এবং is সর্বাধিক সংখ্যক ধনাত্মক উপাদান রয়েছে। $p_n$ $q_n,$ $1,$ $\Omega$

উদাহরণ হিসাবে, সিরিজ d স্পষ্টতই বিচ্যুত হয়। অ্যালগরিদম দেয় $(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

y_{1} = 2 a_{1} = 2; y_{2} = 2^{2} a_{2} = 2; y_{3} = 2^{3} a_{3} = 8; \dots

$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$

এইভাবে

Ω = {2, 8, 32, 128, \dots, 2^{2 n + 1}, \dots}

$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$

এবং এর বিজোড় ধনাত্মক শক্তির সেট $2$

p_{1} = q_{1} + q_{2} = 3 / 4; p_{2} = q_{3} + q_{4} = 3 / 16; p_{3} = q_{5} + q_{6} = 3 / 64; \dots

$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$

অসীম এবং অস্তিত্বহীন মুহুর্তগুলি সম্পর্কে

সমস্ত মান যখন ধনাত্মক হয় তখন "অপরিজ্ঞাত" মুহুর্তের মতো কিছুই থাকে না: মুহুর্তগুলি সমস্ত উপস্থিত থাকে তবে এগুলি উত্তরের শুরুতে দেখানো মত একটি বিচ্ছিন্ন যোগফল (বা অবিচ্ছেদ্য) অর্থে অসীম হতে পারে।

সাধারণত, সমস্ত মুহুর্তগুলি ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত হয়, কারণ তাদের যোগফল বা সংহত যা হয় একেবারে রূপান্তরিত হয় বা এটি ডাইভারেজ হয় (এটি "অসীম।") এর বিপরীতে, মুহূর্তগুলি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক মানগুলিকে গ্রহণ করে এমন পরিবর্তনশীলগুলির জন্য অপরিজ্ঞাত হয়ে উঠতে পারে কারণ, - লেবেসগু অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা অনুসারে - সেই মুহূর্তটি ইতিবাচক অংশের একটি মুহুর্ত এবং negativeণাত্মক অংশের পরম মানের একটি মুহুর্তের মধ্যে পার্থক্য। এগুলি উভয়ই যদি অসীম হয় তবে রূপান্তরটি সম্পূর্ণ নয় এবং আপনি একটি অনন্ত থেকে অনন্তকে বিয়োগ করার সমস্যার মুখোমুখি হন: এটির অস্তিত্ব নেই।

— রিভস whuber
সূত্র

এই যুক্তি কি অসীম মুহুর্ত বা একটি অপরিজ্ঞাত মুহুর্তের উদাহরণ দেয়? আমি একটি অপরিবর্তিত মুহুর্তের সন্ধান করছি। হতে পারে অপরিবর্তিত বনাম অসীম মুহুর্তগুলির একটি সূক্ষ্মতা আছে যা আমি আপনার উত্তরটি পুরোপুরি বুঝতে অনুপস্থিত।

— লুকাস রবার্টস

2

সমস্ত মান যখন ধনাত্মক হয় তখন "অপরিজ্ঞাত" মুহুর্তের মতো কিছুই থাকে না: মুহুর্তগুলি সমস্তই বিদ্যমান, তবে সেগুলি অসীম হতে পারে।

— হোবার

4

সমস্ত মুহূর্ত ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিছু অসীম হতে পারে, সব। মুহূর্তগুলি ইতিবাচক এবং নেতিবাচক মানগুলি গ্রহণ করে এমন ভেরিয়েবলগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত হয়ে উঠতে পারে, কারণ - লেবেসগু অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা অনুসারে - সেই মুহূর্তটি ইতিবাচক অংশের একটি মুহুর্ত এবং negativeণাত্মক অংশের পরম মানের একটি মুহুর্তের মধ্যে পার্থক্য। : উভয় সেই অসীম হন, তাহলে আপনি একটি অনন্ত থেকে একটি অনন্ত বিয়োগ সমস্যা মুখোমুখি যে কোন অস্তিত্ব নেই।

— হোয়বার

1

"সমস্ত মুহূর্ত ইতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় Some প্রশ্নের শিরোনামটি মুহুর্তগুলিতে বিদ্যমান না হওয়ার বিষয়টি বিবেচনা করে , আমি মনে করি যে এই মন্তব্যটির অনেকগুলি উত্তরে সম্পাদনা করার যোগ্য!

— সিলভারফিশ

1

আমার ধারণা আমি এই পোস্টে উত্তরটি সমাহিত করতে পেরেছি: stats.stackexchange.com/questions/243150/…

— লুকাস রবার্টস

39

এখানে একটি বিখ্যাত উদাহরণ: সম্ভাব্যতা , প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার সাথে মান নেওয়া যাক । তারপরে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মানগুলির (একটি উপসেট) গ্রহণ করে; মোট ভর , তবে এর প্রত্যাশা এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল সেন্ট পিটার্সবার্গের প্যারাডক্সে উঠে আসে । $X$ $2^k$ $2^{-k}$ $k\ge1$ $X$ $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{k} P (X = 2^{k}) = \sum_{k = 1}^{\infty} 1 = \infty .

$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$

X

$X$

— grand_chat
সূত্র

6

+1 আমি এটির historicalতিহাসিক এবং দার্শনিক সংযোগের জন্য পছন্দ করি।

— whuber

প্যারাডক্স রেজোলিউশন: আপনি যদি জিতেন ∞ আপনি জি বাহিনী দ্বারা পিষ্ট হন।

— জোশুয়া

8

জিটা বন্টন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যে সসীম গড় নাই মোটামুটি সুপরিচিত বিযুক্ত বন্টন (জন্য )। $1<\theta\leq 2$

$P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

যেখানে স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটিতে , রিমন জেটা ফাংশন জড়িত $\zeta(\cdot)$

(সম্পাদনা করুন: কেস থিতা হ'ল হুশিয়ারের জবাবের সাথে খুব মিল) $\theta=2$

অনুরূপ লেজের আচরণের সাথে আরেকটি বিতরণ হ'ল ইউল-সাইমন বিতরণ।
আর একটি উদাহরণ হ'ল বিটা-নেগেটিভ দ্বিপদী বিতরণ : $0<\alpha\leq 1$

$P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

0

কাউচি বিতরণের কিছু বিযুক্ত সংস্করণ

হ্যাঁ, আপনি যদি কে কাছাকাছি ব্যবধানে কাচি বিতরণের গড় মান হিসাবে গ্রহণ করেন তবে স্পষ্টতই এর জিরোথ মুহূর্তটি কাচ্চি বিতরণের মতো এবং তার প্রথম মুহূর্তটি asyptotically প্রথম মুহুর্তের কাছে পৌঁছায় কচী বিতরণ। যতক্ষণ পর্যন্ত " কাছাকাছি ব্যবধান ", আপনি কীভাবে এটি সংজ্ঞায়িত করেন তা সত্যিই গুরুত্বপূর্ণ নয়; নিতে , , , অথবা ইত্যাদি , এবং এটি কাজ করবে। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য, আপনি গ্রহণ করতে পারেন । জিরোথ মুহুর্তের যোগফল এক হয় এবং প্রথম মুহুর্তটি এর যোগফল হয় , যা বিভক্ত হয়। $p(n)$ $n$ $n$ $(n-1,n]$ $[n,n+1)$ $[n-.5,n+.5)$ $p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$ $\frac6{n\pi^2}$

এবং প্রকৃতপক্ষে যে কোনও বহুপদী জন্য কিছু রয়েছে যা সমষ্টি 1 হয়। যদি আমরা তখন মূহুর্তটি নিই , যেখানে এর ক্রম , যে বিমুখ হবে। $p(n)$ $c$ $\frac c {p(n)}$ $k$ $k$ $p(n)$

— Acccumulation
সূত্র