গামা বিতরণের লগারিদমের প্রত্যাশিত মান কত?

যদি প্রত্যাশিত মান হয় , কি প্রত্যাশিত মান ? এটি বিশ্লেষণ করে গণনা করা যায়? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

আমি যে প্যারামিট্রেশন ব্যবহার করছি তা হ'ল শেপ-রেট।

expected-value gamma-distribution

— স্টেফানো ভেসপুচি
সূত্র

যদি , তবে গণিতের স্ট্যাটিকা / ম্যাথমেটিকা অনুসারে, + পলিগ্যাম [[a], যেখানে পলিগ্যামা ডিগাম্মা ফাংশনটিকে বোঝায়

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— নেকড়ে

আমি যোগ করা উচিত যে আপনি আপনার গামা ভেরিয়েবলের PDF ফর্মে প্রদান করবেন না এবং যেহেতু আপনি প্রতিবেদন এর মানে (যেহেতু আমার জন্য এটি হবে , মনে হচ্ছে আপনি বিভিন্ন স্বরলিপি ব্যবহার করছেন আমার চেয়ে, যেখানে আপনার

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— নেকখরা

সত্য, দুঃখিত। আমি যে প্যারামিট্রেশন ব্যবহার করছি তা হ'ল শেপ-রেট। আমি এই প্যারামিটিসেশনের জন্য এটি খুঁজতে চেষ্টা করব । আপনি দয়া করে গণিত / ওল্ফ্রামআল্ফার জন্য ক্যোয়ারীটি পরামর্শ দিতে পারেন?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— স্টিফানো ভেসপুচি

জনসন, লটজ এবং বালাকৃষ্ণ (১৯৯৪) অবিরত অবিচ্ছিন্ন বিতরণ খণ্ড 1 তৃতীয় এড আরও দেখুন। পৃষ্ঠা 337-349।

— Björn

এছাড়াও উইকিপিডিয়া: গামা বিতরণ দেখুন #

— লোগারিদমিক

উত্তর:

এটির (সম্ভবত আশ্চর্যজনকভাবে) সহজ প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ (প্যারামিটারের সাথে সম্মানের সাথে অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের নিচে রিচার্ড ফেনম্যানের পছন্দসই কৌশলটি নিযুক্ত করে) করা যেতে পারে।

আমরা ধরে নিচ্ছি এর একটি বিতরণ রয়েছে এবং আমরা এর প্রত্যাশা খুঁজে পেতে চাই প্রথমত, কারণ একটি স্কেল প্যারামিটার, এর প্রভাবটি লগারিদমকে দ্বারা স্থানান্তরিত করবে (যদি আপনি rate কোনও রেট প্যারামিটার হিসাবে ব্যবহার করেন , যেমন প্রশ্নে, এটি লগারিদমকে দ্বারা স্থানান্তরিত করবে )) এটি আমাদের কেস- সাথে কাজ করার অনুমতি দেয় $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

এই সরলীকরণ করার পর, সম্ভাবনা উপাদান হয় $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

যেখানে হ'ল স্বাভাবিক ধ্রুবক $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

বদলে যা entails সম্ভাবনা উপাদান দেয় , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

সম্ভাব্য মানগুলি এখন সমস্ত বাস্তব সংখ্যা range over এর মধ্যে বিস্তৃত $Y$ $\mathbb{R}.$

যেহেতু অবশ্যই unity সংহত হতে পারে, আমরা (তুচ্ছভাবে) পাই $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

লক্ষ্য করুন একটি পৃথক ফাংশনএকটি সহজ গণনা দেয় $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

পরবর্তী পদক্ষেপটি এই পরিচয়ের উভয় পক্ষকে দ্বারা বিভক্ত করার মাধ্যমে প্রাপ্ত সম্পর্কের কাজে লাগায় যার ফলে প্রত্যাশাগুলির সন্ধানের জন্য আমাদের একীভূত করতে হবে এমন খুব বস্তুটি প্রকাশ করে; যথা, $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

গামা ফাংশনের লগারিদমিক ডেরাইভেটিভ (ওরফে " বহুগাম্ম ")। অবিচ্ছেদ্য পরিচয় ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল $(1).$

ফ্যাক্টরটি পুনরায় প্রবর্তন করা। দেখায় যে সাধারণ ফলাফল $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

স্কেল প্যারামিটারাইজেশন (যেখানে ঘনত্বের ক্রিয়াটি উপর নির্ভর করে ) বা $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

রেট প্যারামিটারাইজেশনের জন্য (যেখানে ঘনত্বের উপর নির্ভর করে )। $x\beta$

— whuber
সূত্র

বহুগাম্ম ফাংশন দিয়ে আপনি কোন অর্ডার (উদাহরণস্বরূপ, 0,1) ডিগামমা হচ্ছেন (যেমন @ ওল্ফিজ ইঙ্গিত করেছেন), ট্রিগমা?

— স্টেফানো ভেসপুচি

@ স্টেফানো বলতে গামার লোগারিথমিক ডেরাইভেটিভ বলতে চাইছি। এর অর্থ

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

@ হুবারের উত্তরটি বেশ সুন্দর; আমি তার উত্তরটি মূলত আরও সাধারণ আকারে পুনঃস্থাপন করব যা পরিসংখ্যানগত তত্ত্বের সাথে আরও ভালভাবে সংযুক্ত হয় (যা আমার মতে) এবং সামগ্রিক প্রযুক্তির শক্তি পরিষ্কার করে দেয়।

বিতরণের একটি পরিবার বিবেচনা করুন যা কোনও ঘাতক পরিবারকে নিয়ে থাকে , যার অর্থ তারা ঘনত্বকে স্বীকার করে some কিছু সাধারণ প্রভাবশালী পরিমাপের (সাধারণত, লেবেসগ বা গণনা পরিমাপ) সম্মানের সাথে। উভয় পক্ষের পার্থক্য সম্মান সঙ্গে আমরা উতরান স্কোর সমীকরণ যেখানে হল স্কোর ফাংশন $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ এবং আমরা সংজ্ঞায়িত করেছি । পরিবারের ক্ষেত্রে, আমাদের কাছে যেখানে ; এটিকে কখনও কখনও কোমুল্যান্ট ফাংশন বলা হয় , কারণ এটি স্পষ্টতই ঘনিষ্টভাবে জেনারেট জেনারেট করার সাথে সম্পর্কিত related এটি এখন থেকে অনুসরণ করে যে ।

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$

(†)

$(\dagger)$

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$

আমরা এখন এটি আমাদের প্রয়োজনীয় প্রত্যাশা গণনা করতে দেখায়। আমরা এক্সটেনশিয়াল পরিবার হিসাবে স্থির fixed দিয়ে গামা ঘনত্ব লিখতে পারি এটি একটি সূচকীয় পরিবার মধ্যে একা সঙ্গে এবং । এটি এখন অবিলম্বে গণনা করে অনুসরণ করে যা $\beta$

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— লোক
সূত্র

+1 এই দুর্দান্ত জেনারালাইজেশন নির্দেশ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— whuber