একটি যথাযথ পূর্ববর্তী এবং তাত্পর্যপূর্ণ সম্ভাবনা একটি অনুচিত উত্তরোত্তর হতে পারে?

(এই প্রশ্নের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় এই মন্তব্যটি থেকে সিয়ান ।)

এটি সুপরিচিত যে পূর্বের বিতরণ যদি $\pi(\theta)$ যথাযথ হয় এবং সম্ভাবনা $L(\theta | x)$ ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয় তবে উত্তরোত্তর বিতরণ $\pi(\theta|x)\propto \pi(\theta) L(\theta|x)$ প্রায় অবশ্যই সঠিক।

কিছু ক্ষেত্রে, আমরা পরিবর্তে একটি মেজাজযুক্ত বা ঘৃণ্য সম্ভাবনা ব্যবহার করি, যা ছদ্ম-উত্তরোত্তর দিকে পরিচালিত করে

\tilde{π} (θ | x) \propto π (θ) L (θ | x)^{α}

$\tilde\pi(\theta|x)\propto \pi(\theta) L(\theta|x)^\alpha$ কিছু

α > 0

$\alpha>0$ (উদাহরণস্বরূপ, এই গণনীয় সুবিধা আছে পারে)।

এই সেটিং-এ, কোনও সঠিক পূর্ববর্তী তবে একটি অনুচিত সিউডো-পোস্টেরিয়র পাওয়া কি সম্ভব?

bayesian prior posterior

— রবিন রাইডার
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে, কয়েক মিনিট পরে, আমি এটিকে অসম্ভাব্যভাবে বিবেচনা করব যেহেতু পূর্বের সম্ভাবনা পণ্য considering considering পণ্য বিবেচনা করার সময় পূর্বের সম্ভাবনা পণ্যটির বিচ্যুতি হ্রাস পাবে ... অনন্ততায় যাওয়া যে কোনও টর্ন সেখানে আরও ধীরে ধীরে চলেছে! এবং শূন্যে আরও ধীরে ধীরে যেতে শর্তগুলি যথাযথ পূর্বের দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়। আমার বাজিটি এমন যে এটি অসম্ভব। (সতর্কতা: আমি ভুল বলে পরিচিত!)

— শি'য়ান

α > 1

$\alpha > 1$

E_{θ \sim π} [L (x | θ)^{α}] ⩾ t^{α} P_{θ \sim π} (L (x | θ) > t) ⟹ E_{θ \sim π} [L (x | θ)^{α}] ⩾ sup_{t > 0} t^{α} P_{θ \sim π} (L (x | θ) > t)

$\mathbf{E}_{\theta \sim \pi} \left[ L(x| \theta)^\alpha \right] \geqslant t^\alpha \mathbf{P}_{\theta \sim \pi} (L(x| \theta) > t) \\ \implies \mathbf{E}_{\theta \sim \pi} \left[ L(x| \theta)^\alpha \right] \geqslant \sup_{t > 0} t^\alpha \mathbf{P}_{\theta \sim \pi} (L(x| \theta) > t)$

L (x | θ)

$L(x| \theta)$

এই যুক্তিটি জন্যও কাজ করবে ? এছাড়াও, প্রমাণ করার কোনও উপায় আছে যে এই ফ্যাশনে নির্মিত সম্ভাবনা যথাযথ হবে?

α < 1

$\alpha < 1$

— InfProbSciX

আসলে, , যেহেতু আমরা জানি যে , আরএইচএসের উপরের আধিপত্য সর্বদা সসীম এবং and , একই কমানোর জন্য কেউ আপনার জেনসেন যুক্তি ব্যবহার করে। সুতরাং যুক্তি যে সম্মান ব্যর্থ। একটি ছোট্ট মন্তব্য যে এই আর্গুমেন্টটির সাফল্যের জন্য সীমাহীন সম্ভাবনার প্রয়োজন , অর্থাত্ সকল ।

α = 1

$\alpha =1$

E_{π} [L (x | θ)] < \infty

$\mathbf{E}_{\pi} [L (x | \theta)] < \infty$

α < 1

$\alpha < 1$

L

$L$

P_{π} (L (x | θ) > t) > 0

$\mathbf{P}_\pi (L (x | \theta) > t) > 0$

t

$t$

— 8r8

সত্য, , আপনি একটি ভাল বিন্দু তৈরি করতে পারবেন না! আমাকে অবশ্যই বলতে হবে, আমি সীমাহীন সম্ভাবনার উদাহরণ দেখে মুগ্ধ হব ! সম্ভবত একটি বিটা পোস্টেরিয়র একটি সীমাহীন সম্ভাবনার ফলাফল হতে পারে।

α = 1

$\alpha = 1$

— InfProbSciX

উত্তর:

জন্য , সম্ভবত এই যে যেমন একটি অবর গঠন করা অসম্ভব দেখানোর জন্য একটি আর্গুমেন্ট হয়? $\alpha \leq 1$

আমরা এটি অনুসন্ধান করতে চাই এর পক্ষে এটি সম্ভব কিনা । $\int \tilde \pi(\theta|x)d\theta = \infty$

আরএইচএসে:

\int π (θ) L^{α} (θ | x) d θ = E_{θ} (L^{α} (θ | x))

$\int \pi(\theta) L^{\alpha}(\theta|x) d\theta = E_{\theta}(L^{\alpha}(\theta|x))$

যদি , a একটি অবতল ফাংশন, তাই জেনসেন অসমতা দ্বারা: $\alpha \leq 1$ $x^{\alpha}$

E_{θ} (L^{α} (θ | x)) \leq E_{θ}^{α} (L (θ | x)) = m (x)^{α} < \infty

$E_{\theta}(L^{\alpha}(\theta|x)) \leq E^{\alpha}_{\theta}(L(\theta|x)) = m(x)^\alpha < \infty$

... যেখানে সি'য়ান হিসাবে উল্লেখ করেছে, এটি হ'ল স্বাভাবিককরণের ধ্রুবক (প্রমাণ)। $m(x)$

— InfProbSciX
সূত্র

ঝরঝরে, ধন্যবাদ। আমি পছন্দ করি যে আপনি এই বিষয়টি ব্যবহার করছেন যে জন্য উত্তরোত্তর উপযুক্ত।

α = 1

$\alpha=1$

— রবিন রাইডার

ফলাফলটি সাধারণভাবে প্রমাণের জন্য @ InfProbSciX এর উত্তরে ফলাফল ব্যবহার করা সম্ভব। লেখা যেমন যদি আমাদের উপরে জেনসনের অসমতার মামলা রয়েছে, যেহেতু আমরা জানি যে স্বাভাবিক রয়েছে। একইভাবে, যদি , আমরা সহ , আবার একই ক্ষেত্রে পড়ছে, যেহেতু আমরা জানি যে স্বাভাবিক রয়েছে। এখন কেসটি সাধারণভাবে দেখানোর জন্য কেউ (শক্তিশালী) আনয়ন ব্যবহার করতে পারেন। $L(\theta\mid x)^\alpha\pi(\theta)$

L (θ ∣ x)^{α - 1} L (θ ∣ x) π (θ) .

$L(\theta\mid x)^{\alpha-1}L(\theta\mid x)\pi(\theta).$

1 \leq α \leq 2

$1 \leq \alpha \leq 2$

L (x | θ) π (θ)

$L(x|\theta)\pi(\theta)$

2 \leq α \leq 3

$2 \leq \alpha \leq 3$

L (x | θ)^{α - p} L (x | θ)^{p} π (θ),

$L(x|\theta)^{\alpha-p} L(x|\theta)^p\pi(\theta),$

1 \leq p \leq 2

$1 \leq p \leq 2$

L (x | θ)^{p} π (θ)

$L(x|\theta)^{p}\pi(\theta)$

পুরানো মন্তব্য

এটি অত্যন্ত কার্যকর কিনা তা নিশ্চিত নন, তবে যেহেতু আমি মন্তব্য করতে পারছি না আমি এটি একটি উত্তরে রেখে দেব। @ ইনফ্রোবএসসিএক্সের সম্পর্কে দুর্দান্ত মন্তব্য ছাড়াও , যদি কেউ further এর আরও অনুমান করে তবে তার যথাযথ পূর্ববর্তী কিন্তু একটি অনুচিত ছদ্ম- উত্তরোত্তর পাওয়া অসম্ভব জন্য । উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি জানি যে এর দ্বিতীয় ( -th) মুহুর্তটি বিদ্যমান, আমরা জানি এটি ( ) এ রয়েছে এবং সুতরাং সিউডো-পোস্টেরিয়রটি for এর জন্য উপযুক্ত হবে । এই নোটগুলির বিভাগ 1 $\alpha \leq 1$ $L(\theta \mid x) \in L^p$ $1 < \alpha \leq p$ $p$ $L(\theta \mid x)$ $L^2$ $L^p$ $0 \leq \alpha \leq 2$ কিছুটা আরও বিশদে ,ুকে যায়, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে এটি পরিষ্কার নয় যে, say pdfs এর শ্রেণি কতটা বিস্তৃত । আমি যদি এখানে ঘুরে দাঁড়ানোর কথা বলি তবে আমি ক্ষমা চাইছি, আমি সত্যিই এটি একটি মন্তব্য হিসাবে রেখে যেতে চেয়েছিলাম। $L^{10}$

— লুইজ ম্যাক্স কারভালহো
সূত্র

আপনি ঠিক বলেছেন, যদি সম্ভাবনা ফাংশন স্থান - অর্থাৎ স্পেসটি পূর্বের দ্বারা প্ররোচিত পরিমাপটি তৈরি করে, তবে পূর্ববর্তী । আমি এখানে পুরোপুরি অনুমান করছি, তবে আমি মনে করি যে স্থানটি বেশিরভাগ সম্ভাবনাগুলিকে ধারণ করতে পারে যা আমরা ভাবতে পারি - আমি মনে করি যুগে যুগে আমি এমন একটি প্রমাণ পড়েছি যা বলে যে যদি রিমন সংহত হয় তবে তার ইতিবাচক শক্তিগুলিও রয়েছে are যদিও সংহত হয়। উপপাদ্য 1.26 রেফারেন্সের জন্য

L (θ | x)

$L(\theta|x)$

L^{p} (π_{θ})

$L^p(\bf {\pi_\theta})$

L^{p}

$L^p$

1 \leq α \leq p

$1 \leq \alpha \leq p$

f

$f$

f^{n}, n \in Z^{+}

$f^n, n \in \mathbb Z^+$

— InfProbSciX

@ ইনফপ্রোবসিএসএক্স, আমি মনে করি যে এখানে ছায়াগুলিতে কোনও সম্পূর্ণ প্রমাণ লুকিয়ে থাকতে পারে। আমি আপনার উত্তর থেকে গ্রহণ করি যে নেতিবাচক হতে পারে। যদি এটি সঠিক হয়, তবে আমরা দেখাতে পারি যে কোনও জন্য সিউডো-সম্ভাবনাটি সংহতযোগ্য হবে কারণ ইন্টিগ্রেটেবল ফাংশনগুলির পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপগুলি সংহতযোগ্য। এবং যদি সম্ভাবনাটি সমন্বয়যোগ্য হয় তবে আমি যুক্তি দিচ্ছি যে পূর্ববর্তীটি সীমাবদ্ধ বলে উত্তরবর্তীটি সামঞ্জস্যযোগ্য হবে এবং একটি ইন্টিগ্রেটেবল এবং একটি সীমাবদ্ধ ফাংশনটির পণ্যটি সংহতযোগ্য ( গণিত / স্ট্যাককেেক্সচেঞ্জ / আ / 66০০৮/271610 )। আমার সম্পর্কে আপনি কী মনে করেন জানি।

α

$\alpha$

p > 1

$p > 1$

— লুইজ ম্যাক্স কারভালহো

আমি মনে করি যে প্রশ্নটি স্পষ্টভাবে অন্যথায় ধরে নিলে আপনি যেখানে মামলাটি উপেক্ষা করতে পারেনযে কোনও সাধারণ ক্ষেত্রে integ এর সামঞ্জস্যতা দেখাতে হবে। এছাড়াও, আমি নিশ্চিত নই যে পূর্বেরটি সর্বদা সীমাবদ্ধ থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘনত্ব হবে না।

α < 0

$\alpha < 0$

L^{α}

$L^{\alpha}$

B e t a (0.5, 0.5)

$Beta(0.5, 0.5)$

— InfProbSciX

@InfProbSciX, আমি বোঝানো ছিল যে এমনকি যদি প্রশ্নে, যদি আপনার প্রমাণ যে অবস্থার জন্য ঝুলিতে, তাহলে আমরা জন্য integrability দেখাতে পারে না হয় সত্য উপজীব্য করে যদি সেই সমাকলনযোগ্য তারপর তাই হয় হয় । আপনি যেমনটি বলেছেন, পূর্ববর্তীটি সীমাহীন থাকলে এগুলি সবই শূন্য। পরিবর্তে আমরা সম্ভাবনার সাথে আবদ্ধ হওয়ার চেষ্টা করতে পারি এবং আমার কাছে মনে হয় যে এমএলইতে যে কোনও সম্ভাবনা ব্যবহার করা হয় তা হয় বাঁধা বা দৃ strongly ় অবতল ( en.wikedia.org/wiki/Maximum_ Like امکان_13## ব্যক্তিগত ) উভয়ই ব্যবহৃত হতে পারে একটি সাধারণ প্রমাণ নির্মাণ। কোন চিন্তা?

α < 0

$\alpha < 0$

α > 1

$\alpha > 1$

f

$f$

1 / f

$1/f$

— লুইজ ম্যাক্স কারভালহো

দুঃখিত, আমি এটি মিস করেছি, হ্যাঁ মনে হচ্ছে এটি একটি আকর্ষণীয় প্রচেষ্টা করতে চাই!

— ইনফপ্রবএসসিএক্স