গাউসিয়ান কপুলা থেকে কীভাবে অনুকরণ করা যায়?

মনে করুন যে আমার দুটি অখণ্ড প্রান্তিক বিতরণ রয়েছে, এবং , যা থেকে আমি অনুকরণ করতে পারি। এখন, গাউসিয়ান কপুলা , চিহ্নিত ব্যবহার করে তাদের যৌথ বিতরণ তৈরি করুন । সমস্ত পরামিতি জানা আছে। $F$ $G$ $C(F,G;\Sigma)$

এই কোপুলা থেকে অনুকরণের জন্য কি নন-এমসিএমসি পদ্ধতি রয়েছে?

normal-distribution simulation copula

— টিলো
সূত্র

ধরে নেওয়া যাক

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$ জন্য

i = 1, 2

$i=1,2$ অবশ্যই,: জেনারেট করুন

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$ । নিন

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$ এবং

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$ । সব শেষ.

— কার্ডিনাল

আর "কপুলা" নামে একটি প্যাকেজও রয়েছে যা বেশিরভাগ মানক কপুলাস অনুকরণ করতে পারে।

— semibruin

গাউসিয়ান কপুলা থেকে অনুকরণ করার জন্য একটি খুব সহজ পদ্ধতি রয়েছে যা মাল্টিভারিয়েট সাধারণ বিতরণ এবং গাউস কোপুলার সংজ্ঞা অনুসারে তৈরি হয়।

আমি মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য সরবরাহ করে শুরু করব, তারপরে গাউসিয়ান কপুলা এবং তারপরে আমি গাউস কোপুলা থেকে অনুকরণের জন্য অ্যালগরিদম সরবরাহ করব।

বহুচলকীয় সাধারণ বণ্টনের
একটি র্যান্ডম ভেক্টর টি বহুচলকীয় সাধারন বন্টনের যদি যেখানে একটি হল স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল -dimensional ভেক্টর, একটি হল ধ্রুবকের -dimensional ভেক্টর, এবং একটি হল ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স। স্বরলিপি $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ বিতরণে সমতা নির্দেশ করে। সুতরাং,

প্রতিটি উপাদানই মূলত স্বতন্ত্র স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ভারযুক্ত যোগফল। গড় জীবানুবাহক এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা আছে

এবং

সঙ্গে

, প্রাকৃতিক স্বরলিপি নেতৃস্থানীয়

।

X

$X$

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

গাউস যোজক
দ্য গাউস যোজক বহুচলকীয় স্বাভাবিক বন্টন, যে থেকে implicitely সংজ্ঞায়িত করা হয়, গাউস যোজক একটি বহুচলকীয় সাধারন বন্টনের সঙ্গে যুক্ত যোজক পদ নেই। বিশেষত, স্ক্লারের উপপাদ্য থেকে গাউস কোপুলা হল যেখানে

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$ স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ডিস্ট্রিবিউশন ক্রিয়াকে বোঝায় , এবং

পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স পি সহ মাল্টিভারিয়েট স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ ফাংশনটিকে বোঝায় So সুতরাং, গাউস কপুলা কেবল একটি প্রমিত বৈচিত্র্যময় সাধারণ বিতরণ যেখানে সম্ভাবনা ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মটি প্রতিটি মার্জিনে প্রয়োগ করা হয়।

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

সিমুলেশন অ্যালগরিদম
উপরের বিবেচনায় গাউস কপুলা থেকে সিমুলেট করার প্রাকৃতিক পদ্ধতিটি হ'ল একটি উপযুক্ত পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক্স দিয়ে মাল্টিভারিয়েট স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন থেকে অনুকরণ করা এবং স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটির সাথে সম্ভাব্য ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে প্রতিটি মার্জিনকে রূপান্তর করা। সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স সঙ্গে একটি বহুচলকীয় সাধারন বন্টনের থেকে simulating যতক্ষণ মূলত স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যেখানে "ওজন" ম্যাট্রিক্স একটি ভরযুক্ত সমষ্টি না আসে নিচে পাওয়া যেতে পারে Cholesky পচানি সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স । $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

অতএব, গাউস কপুলা থেকে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স দিয়ে নমুনাগুলি অনুকরণ করার একটি অ্যালগরিদম হ'ল: $n$ $P$

একটি Cholesky পচানি সঞ্চালন , এবং সেট ফলে নিম্ন ত্রিকোণ ম্যাট্রিক্স হিসাবে। $P$ $A$
নীচের পদক্ষেপটি বার পুনরাবৃত্তি করুন ।
1. একটি ভেক্টর জেনারেট করুন স্বাধীন আদর্শ স্বাভাবিক variates করুন। $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. সেট করুন $X = AZ$
3. রিটার্ন । $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

আর ব্যবহার করে এই অ্যালগরিদমের একটি উদাহরণ প্রয়োগের জন্য নিম্নলিখিত কোডগুলি:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

নিম্নলিখিত আর্টটি উপরের আর কোড থেকে প্রাপ্ত ডেটা দেখায়।

enter image description here

— QuantIbex
সূত্র

এফ এবং জি এর পরে কোথায় উপস্থিত হবে?

— lcrmorin

@ উইয়ার_ক্যাট, আপনার অর্থ কী?

— কোয়ান্টেবেেক্স

মূল প্রশ্নে এফ এবং জি, দুটি অদম্য বিতরণ উল্লেখ রয়েছে। আপনি কোপুলাস থেকে আরভি এফ এবং জি মার্জিনের সাথে কীভাবে যাবেন?

— lcrmorin

@ ওয়্যার_ক্যাট, ঠিক আছে তাই আপনি

এবং

কে রূপান্তর করতে চান যার

তে অভিন্ন বিতরণ আছে, বলুন,

এবং

যা যথাক্রমে

এবং

বিতরণ অনুসরণ করে । এটি করতে, কেবল

এবং

, যেখানে

এবং

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

এবং

এর পারস্পরিক কার্যগুলি বোঝায়।

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

— কোয়ান্টেবেেক্স

@ ওয়্যার_ক্যাট, উইকিপিডিয়া কোপুলা পৃষ্ঠাটি উদ্ধৃত করার জন্য : "একটি কোপুলা হ'ল বহুবিধ সম্ভাবনা বন্টন যার জন্য প্রতিটি ভেরিয়েবলের প্রান্তিক সম্ভাবনা বন্টন সমান।

— কোয়ান্টেবেেক্স