গামা বিতরণ এবং সাধারণ বিতরণের মধ্যে সম্পর্ক

সম্প্রতি আমি গড় 0 সহ একটি সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের জন্য পিডিএফ প্রাপ্ত করার প্রয়োজনীয়তা পেয়েছি কারণ যাই হোক না কেন, আমি আগে থেকেই বৈকল্পিকতা স্বাভাবিক না করার জন্য বেছে নিয়েছি। আমি যদি এটি সঠিকভাবে করে থাকি তবে এই পিডিএফটি নিম্নরূপ:

N^{2} (x; σ^{2}) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π} \sqrt{x}} e^{\frac{- x}{2 σ^{2}}}

$N^2(x; \sigma^2) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} \sqrt{x}} e^{\frac{-x}{2\sigma^2}}$

আমি লক্ষ্য করেছি যে এটি আসলে গামা বিতরণের একটি প্যারামিট্রিসেশন ছিল:

N^{2} (x; σ^{2}) = Gamma (x; \frac{1}{2}, 2 σ^{2})

$N^2(x; \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{1}{2}, 2 \sigma^2)$

এবং তারপরে, দুটি গ্যামার যোগফল (একই স্কেল প্যারামিটার সহ) অন্য গামার সমতুল্য, এটি অনুসরণ করে যে গামা স্কোয়ার্ড সাধারণ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের সমান। $k$

N_{Σ}^{2} (x; k, σ^{2}) = Gamma (x; \frac{k}{2}, 2 σ^{2})

$N^2_\Sigma(x; k, \sigma^2) = \operatorname{Gamma}(x; \frac{k}{2}, 2 \sigma^2)$

এটি আমার জন্য কিছুটা অবাক হয়েছিল। যদিও আমি জানতাম যে distribution বিতরণ - বর্গক্ষেত্রের স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ আরভিগুলির যোগফলের বিতরণ - এটি গামার একটি বিশেষ ঘটনা ছিল, আমি বুঝতে পারি না যে গামা মূলত কেবলমাত্র একটি সাধারণীকরণ যা সাধারণের যোগফলের জন্য অনুমতি দেয় allowing যেকোন ভেরিয়েন্সের এলোমেলো ভেরিয়েবল । এটি অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলিতেও নেতৃত্ব দেয় যা আমি এর আগে পাইনি যেমন ঘনিষ্ঠভাবে বিতরণ দুটি স্কোয়ারের সাধারণ বিতরণের যোগফলের সমতুল্য। $\chi^2$

এটি আমার কাছে কিছুটা রহস্যজনক। স্বাভাবিক বন্টনটি আমি উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে গামা বিতরণ উপার্জনের মৌলিক কি? বেশিরভাগ সংস্থাগুলি আমি যাচাই করেছিলাম সেগুলি উল্লেখ করে না যে দুটি বিতরণ এই জাতীয়ভাবে সম্পর্কিত বা এমনকি গামাটি কীভাবে উত্পন্ন হয়েছে তা বর্ণনা করে। এটি আমাকে ভাবতে বাধ্য করে যে কিছু নিম্ন স্তরের সত্য যে খেলায় রয়েছে যা আমি কেবল একটি সংশ্লেষিত উপায়ে হাইলাইট করেছি?

normal-distribution gamma-distribution

— timxyz
সূত্র

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অনেক স্নাতক পাঠ্যপুস্তক উপরের সমস্ত ফলাফল উল্লেখ করে; কিন্তু সম্ভবত পরিসংখ্যান পাঠ্য এই ধারণাগুলি কভার করে না? , একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল কেবলমাত্র যেখানে একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং তাই (iid ভেরিয়েবলের জন্য) কেবলমাত্র একটি মাপা। এলোমেলো পরিবর্তনশীল যারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি অধ্যয়ন করেছেন তাদের জন্য অবাক হওয়ার কিছু নেই।

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

Y_{i}

$Y_i$

σ X_{i}

$\sigma X_i$

X_{i}

$X_i$

\sum_{i} Y_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i} X_{i}^{2}

$\sum_i Y_i^2 = \sigma^2 \sum_i X_i^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— দিলীপ সরোতে

আমি একটি কম্পিউটার দর্শনের ব্যাকগ্রাউন্ড থেকে এসেছি তাই সাধারণত সম্ভাবনার তত্ত্বটির মুখোমুখি হোন না। আমার কোনও পাঠ্যপুস্তক (বা উইকিপিডিয়া) এই ব্যাখ্যার উল্লেখ করে না। আমি মনে করি আমি এটিও জিজ্ঞাসা করছি, দুটি সাধারণ বিতরণের বর্গের যোগফলের জন্য বিশেষ কী এটি এটি অপেক্ষা করার সময় (অর্থাত্‍ সূচকীয় বিতরণ) জন্য একটি ভাল মডেল করে তোলে। এখনও মনে হচ্ছে আমি আরও গভীর কিছু অনুভব করছি।

— টিম্যাকিজ

উইকিপিডিয়া যেহেতু এন.ইউইকিপিডিয়া. org / উইকি / সি - স্কয়ার_ডিজিবিউশনেশনের স্কোয়ার্ড নরমালদের যোগফল হিসাবে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনকে সংজ্ঞায়িত করে এবং চি-স্কোয়ারটি গ্যামার একটি বিশেষ কেস হিসাবে উল্লেখ করেছে ( এন.ইউইকিপিডিয়া . org / উইকিতে / গামা_ বিতরণ # অন্যান্য ), কেউ খুব কমই দাবি করতে পারেন যে এই সম্পর্কগুলি সুপরিচিত নয়। বৈকল্পিক নিজেই সমস্ত ক্ষেত্রে পরিমাপের একক (একটি স্কেল প্যারামিটার) প্রতিষ্ঠিত করে এবং কোনও অতিরিক্ত জটিলতার কোনও কারণই দেয় না।

— whuber

এই ফলাফলগুলি সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে সুপরিচিত, আপনার নিজের বিশ্লেষণে এগুলি পুনরায় আবিষ্কার করার জন্য @ ফিক্সিজাইজকে আপনার পক্ষে ভাল করেছেন।

— মনিকা পুনরায় ইনস্টল করুন

সংযোগটি রহস্যজনক নয়, কারণ তারা বিতরণকারীদের তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারের সদস্য যেগুলির প্রধান সম্পত্তি হ'ল তারা ভেরিয়েবল এবং / বা পরামিতিগুলির পরিবর্তে এসে পৌঁছাতে পারে। উদাহরণ সহ নীচের দীর্ঘ উত্তর দেখুন।

— কার্ল

উত্তর:

যেমনটি প্রফেসর সরওয়াতে মন্তব্য লিখেছেন, স্কোয়ার্ড স্বাভাবিক এবং চি-স্কোয়ারের মধ্যকার সম্পর্কগুলি একটি বহুল প্রচারিত সত্য - এটিও হওয়া উচিত যে চি-স্কোয়ারটি গামা বিতরণের একটি বিশেষ ঘটনা মাত্র:

এক্স ~ এন (0, σ^{2}) \Rightarrow {এক্স}^{2} / σ^{2} ~ χ_{1}^{2} \Rightarrow {এক্স}^{2} ~ σ^{2} χ_{1}^{2} = গ্রীক বর্ণমালার তৃতীয় বর্ণ (\frac{1}{2}, 2 σ^{2})

$X \sim N(0,\sigma^2) \Rightarrow X^2/\sigma^2 \sim \mathcal \chi^2_1 \Rightarrow X^2 \sim \sigma^2\mathcal \chi^2_1= \text{Gamma}\left(\frac 12, 2\sigma^2\right)$

গামার স্কেলিং সম্পত্তি থেকে নিম্নলিখিত শেষ সমতা।

সূচকীয়র সাথে সম্পর্কের ক্ষেত্রে, সঠিকভাবে বলতে গেলে এটি দুটি স্কোয়ার-শূন্য-মধ্যবর্তী নরমালের সমষ্টি যা একে অপরের ভিন্নতার দ্বারা পরিমাপিত হয় , যা ঘনঘটিত বিতরণের দিকে পরিচালিত করে:

X_{1} \sim N (0, σ_{1}^{2}), X_{2} \sim N (0, σ_{2}^{2}) \Rightarrow \frac{X_{1}^{2}}{σ_{1}^{2}} + \frac{X_{2}^{2}}{σ_{2}^{2}} \sim χ_{2}^{2} \Rightarrow \frac{σ_{2}^{2} X_{1}^{2} + σ_{1}^{2} X_{2}^{2}}{σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}} \sim χ_{2}^{2}

$X_1 \sim N(0,\sigma^2_1),\;\; X_2 \sim N(0,\sigma^2_2) \Rightarrow \frac{X_1^2}{\sigma^2_1}+\frac{X_2^2}{\sigma^2_2} \sim \mathcal \chi^2_2 \Rightarrow \frac{\sigma^2_2X_1^2+ \sigma^2_1X_2^2}{\sigma^2_1\sigma^2_2} \sim \mathcal \chi^2_2$

\Rightarrow σ_{2}^{2} X_{1}^{2} + σ_{1}^{2} X_{2}^{2} \sim σ_{1}^{2} σ_{2}^{2} χ_{2}^{2} = Gamma (1, 2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}) = Exp (\frac{1}{2 σ_{1}^{2} σ_{2}^{2}})

$\Rightarrow \sigma^2_2X_1^2+ \sigma^2_1X_2^2 \sim \sigma^2_1\sigma^2_2\mathcal \chi^2_2 = \text{Gamma}\left(1, 2\sigma^2_1\sigma^2_2\right) = \text{Exp}( {1\over {2\sigma^2_1\sigma^2_2}})$

তবে দুটি স্কোয়ার শূন্যের যোগফলের মধ্যে "বিশেষ কিছু" বা "গভীর" সন্দেহ রয়েছে তা বোঝার কারণগুলি "অপেক্ষা করার সময়ের জন্য তাদেরকে একটি ভাল মডেল করে তোলে" তা ভিত্তিহীন: প্রথমত, এক্সপেনশিয়াল বিতরণে বিশেষ কী তা তৈরি করে এটি "অপেক্ষা করার সময়" জন্য একটি ভাল মডেল? অবশ্যই স্মরণহীনতা, তবে এখানে কি "গভীর" কিছু রয়েছে, বা কেবল এক্সফোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের সাধারণ কার্যকরী রূপ এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে ? অনন্য বৈশিষ্ট্যগুলি গণিত জুড়ে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে এবং বেশিরভাগ সময় তারা কিছু "গভীর অন্তর্নিহিত" বা "কাঠামো" প্রতিফলিত করে না - এগুলি কেবল উপস্থিত রয়েছে (কৃতজ্ঞতার সাথে)। $e$

দ্বিতীয়ত, একটি ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রটির স্তরটির সাথে খুব কম সম্পর্ক থাকে। কেবল এ বিবেচনা করুন, বলুন, : $f(x) = x$ $[-2,\,2]$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

... বা চি-বর্গক্ষেত্রের ঘনত্বের বিরুদ্ধে মানক সাধারণ ঘনত্বের চিত্র: তারা একে অপরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত হলেও সম্পূর্ণ স্টোকাস্টিক আচরণগুলি প্রতিফলিত করে এবং উপস্থাপন করে, যেহেতু দ্বিতীয়টি একটি ভেরিয়েবলের ঘনত্ব যা প্রথমটির বর্গ। সাধারণ গাণিতিক পদ্ধতির একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ স্তম্ভ হতে পারে যা আমরা স্টোকাস্টিক আচরণের মডেল করার জন্য বিকাশ করেছি - তবে আপনি একবার এটি বর্গাকার করে নিলে এটি সম্পূর্ণ অন্য কিছু হয়ে যায়।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আমার শেষ অনুচ্ছেদে বিশেষত প্রশ্নগুলি সম্বোধনের জন্য ধন্যবাদ Thanks

— টিমকাইজ

আপনাকে স্বাগতম. আমাকে স্বীকার করতে হবে আমি প্রশ্ন প্রকাশিত হওয়ার 26 মাস পরে আমার উত্তরটি মূল ওপিতে পৌঁছে খুশি।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আসুন উত্থাপিত প্রশ্নটির সমাধান করুন, এটি আমার কাছে কিছুটা রহস্যজনক। সাধারণ বিতরণ কি গামা বিতরণের উপকরণের মৌলিক ...? আসলে কোন রহস্য নেই, এটি কেবল সাধারণ বিতরণ এবং গামা বিতরণ সদস্যদের সাথে বিতরণের ক্ষতিকারক পরিবারের অন্যান্য সদস্যদের মধ্যে রয়েছে , যে পরিবারটি প্যারামিটার এবং / অথবা ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপনের দ্বারা সমীকরণীয় রূপগুলির মধ্যে রূপান্তর করার ক্ষমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। ফলস্বরূপ, বিতরণগুলির মধ্যে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে অনেকগুলি রূপান্তর রয়েছে, যার কয়েকটি নীচের চিত্রটিতে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে।

লেইমিস, লরেন্স এম; জ্যাকলিন টি। ম্যাকুইয়েস্টন (ফেব্রুয়ারী ২০০৮)। "অবিচ্ছিন্ন বিতরণ সম্পর্ক" (পিডিএফ)। আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ। 62 (1): 45–53। doi: 10.1198 / 000313008x270448 cite

এখানে বৃহত্তর বিশদে দুটি স্বাভাবিক এবং গামা বিতরণ সম্পর্ক রয়েছে (অন্যের অজানা সংখ্যার মধ্যে যেমন চি-স্কোয়ার এবং বিটার মাধ্যমে)।

প্রথমে গামা বিতরণ (জিডি) এবং সাধারণ বিতরণ (এনডি) এর সাথে গড় শূন্যের সাথে আরও সরাসরি সম্পর্ক রয়েছে। সহজ কথায় বলতে গেলে জিডি আকারে স্বাভাবিক হয়ে যায় কারণ এর আকারের প্যারামিটারটি বাড়ানোর অনুমতি দেওয়া হয়। সেই বিষয়টি প্রমাণ করা আরও কঠিন। জিডির জন্য,

জিডি (z- র; একটি, খ) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{খ^{- একটি} {z- র}^{একটি - 1} ই^{- \frac{z- র}{খ}}}{Γ (একটি)} & z- র > 0 \\ 0 & অন্যান্য \end{cases} । \end{array}

$\text{GD}(z;a,b)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{b^{-a} z^{a-1} e^{-\dfrac{z}{b}}}{\Gamma (a)} & z>0 \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \,. \\ \end{array}$

জিডি আকৃতি হিসাবে পরামিতি , জিডি আকৃতি, আরো প্রতিসম ও স্বাভাবিক হয়ে যাই হোক, বেড়ে গড় বৃদ্ধির , আমরা বাম স্থানান্তর দ্বারা জিডি আছে এটিকে স্থির রাখার জন্য hold , এবং অবশেষে, আমরা যদি আমাদের স্থানান্তরিত জিডির জন্য একই স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি বজায় রাখতে চাই তবে আমাদের স্কেল প্যারামিটার ( ) হ্রাস করতে হবে সমানুপাতিকভাবে । $a\rightarrow \infty$ $a$ $(a-1) \sqrt{\dfrac{1}{a}} k$ $b$ $\sqrt{\dfrac{1}{a}}$

বুদ্ধিমানভাবে, একটি সীমাবদ্ধ কেস এনডিতে একটি জিডিকে রূপান্তরিত করার জন্য আমরা দিয়ে জিডিটি বামে স্থানান্তরিত করে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটিকে একটি ধ্রুবক ( ) হিসাবে নির্ধারণ করি প্রতিস্থাপন করে শূন্যের একটি মোডতারপরে $k$ $b=\sqrt{\dfrac{1}{a}} k$ $z=(a-1) \sqrt{\dfrac{1}{a}} k+x\ .$

জিডি ((একটি - 1) \sqrt{\frac{1}{একটি}} ট + + এক্স; একটি, \sqrt{\frac{1}{একটি}} ট) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{{(\frac{ট}{\sqrt{একটি}})}^{- একটি} ই^{- \frac{\sqrt{একটি} এক্স}{ট} - একটি + + 1} {(\frac{(একটি - 1) ট}{\sqrt{একটি}} + + এক্স)}^{একটি - 1}}{Γ (একটি)} & এক্স > \frac{ট (1 - একটি)}{\sqrt{একটি}} \\ 0 & অন্যান্য \end{cases} \end{array} ।

$\text{GD}\left((a-1) \sqrt{\frac{1}{a}} k+x;\ a,\ \sqrt{\frac{1}{a}} k\right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{\left(\dfrac{k}{\sqrt{a}}\right)^{-a} e^{-\dfrac{\sqrt{a} x}{k}-a+1} \left(\dfrac{(a-1) k}{\sqrt{a}}+x\right)^{a-1}}{\Gamma (a)} & x>\dfrac{k(1-a)}{\sqrt{a}} \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,.$

মনে রাখবেন যে সীমাতে এর সর্বাধিক নেতিবাচক মান যার জন্য এই জিডি ননজারো । অর্থাৎ, আধা-অসীম জিডি সমর্থন অসীম হয়ে যায় । সীমাবদ্ধতাটিকে পুনরায় সংশোধিত জিডির রাইটারো ইনফটি হিসাবে গ্রহণ করা , আমরা খুঁজে পাই $a\rightarrow\infty$ $x$ $\rightarrow -\infty$ $a\rightarrow \infty$

\underset{একটি \to \infty}{লিম} \frac{{(\frac{ট}{\sqrt{একটি}})}^{- একটি} ই^{- \frac{\sqrt{একটি} এক্স}{ট} - একটি + + 1} {(\frac{(একটি - 1) ট}{\sqrt{একটি}} + + এক্স)}^{একটি - 1}}{Γ (একটি)} = \frac{ই^{- \frac{{এক্স}^{2}}{2 ট^{2}}}}{\sqrt{2 π} ট} = এনডি (এক্স; 0, ট^{2})

$\lim_{a\to \infty } \, \frac{\left(\frac{k}{\sqrt{a}}\right)^{-a} e^{-\frac{\sqrt{a} x}{k}-a+1} \left(\frac{(a-1) k}{\sqrt{a}}+x\right)^{a-1}}{\Gamma (a)}=\dfrac{e^{-\dfrac{x^2}{2 k^2}}}{\sqrt{2 \pi } k}=\text{ND}\left(x;0,k^2\right)$

গ্রাফিক্যালি জন্য এবং জিডি নীল এবং সীমিত হয় কমলা, নীচে $k=2$ $a=1,2,4,8,16,32,64$ $\text{ND}\left(x;0,\ 2^2\right)$

দ্বিতীয়টি আসুন আমরা এই বিষয়টি তৈরি করি যে এই বিতরণগুলির মধ্যে ফর্মের মিলের কারণে, কেউ পাতলা বাতাসের বাইরে টান দিয়ে গামা এবং সাধারণ বিতরণগুলির মধ্যে সম্পর্ককে আরও উন্নত করতে পারে। বুদ্ধিমানভাবে, আমরা পরবর্তীকালে একটি "বিতরণ" গামা বিতরণ সাধারণ বন্টনের সাধারণীকরণ বিকাশ করি।

প্রথমে লক্ষ করুন যে এটি গামা বিতরণের আধিকারিক অসীম সমর্থন যা সাধারণ বন্টনের সাথে আরও সরাসরি সম্পর্ককে বাধা দেয়। তবে, অর্ধ-স্বাভাবিক বিতরণ বিবেচনা করার সময় সেই প্রতিবন্ধকতা সরানো যেতে পারে, যার অর্ধ-অসীম সমর্থনও রয়েছে। সুতরাং, কেউ প্রথমে আধা-স্বাভাবিক (এইচএনডি) ভাঁজ করে সাধারণ বিতরণকে (এনডি) সাধারণীকরণ করতে পারে, যা জেনারালাইজড গামা ডিস্ট্রিবিউশন (জিডি) এর সাথে সম্পর্কিত, তারপরে আমাদের ট্যুর ডি ফোর্সের জন্য, আমরা উভয়কে (এইচএনডি এবং "উদ্ঘাটন" করতে পারি) সাধারণভাবে এনডি (একটি জিএনডি) তৈরি করতে জিডি)।

জেনারেলাইজড গামা বিতরণ

জিডি (এক্স; α, β, γ, μ) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{γ ই^{- {(\frac{এক্স - μ}{β})}^{γ}} {(\frac{এক্স - μ}{β})}^{α γ - 1}}{β Γ (α)} & এক্স > μ \\ 0 & অন্যান্য \end{cases} \end{array},

$\text{GD}\left(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\mu \right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{\gamma e^{-\left(\dfrac{x-\mu }{\beta }\right)^{\gamma }} \left(\dfrac{x-\mu }{\beta }\right)^{\alpha \gamma -1}}{\beta \,\Gamma (\alpha )} & x>\mu \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,,$

অর্ধ-স্বাভাবিক বিতরণ হিসাবে পুনঃনির্মাণ করা যেতে পারে ,

জিডি (এক্স; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0) = \begin{array}{cc} {\begin{cases} \frac{2 θ ই^{- \frac{θ^{2} {এক্স}^{2}}{π}}}{π} & এক্স > 0 \\ 0 & অন্যান্য \end{cases} \end{array} = HND (এক্স; θ)

$\text{GD}\left(x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)=\begin{array}{cc} & \begin{cases} \dfrac{2 \theta e^{-\dfrac{\theta ^2 x^2}{\pi }}}{\pi } & x>0 \\ 0 & \text{other} \\ \end{cases} \\ \end{array}\,\,\,=\text{HND}(x;\theta)$

দ্রষ্টব্য যেসুতরাং, $\theta=\frac{\sqrt{\pi}}{\sigma\sqrt{2}}.$

এনডি (এক্স; 0, σ^{2}) = \frac{1}{2} HND (এক্স; θ) + + \frac{1}{2} HND (- এক্স; θ) = \frac{1}{2} জিডি (এক্স; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0) + + \frac{1}{2} জিডি (- এক্স; \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{π}}{θ}, 2, 0),

$\text{ND}\left(x;0,\sigma^2\right)=\frac{1}{2}\text{HND}(x;\theta)+\frac{1}{2}\text{HND}(-x;\theta)=\frac{1}{2}\text{GD}\left(x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)+\frac{1}{2}\text{GD}\left(-x;\frac{1}{2},\frac{\sqrt{\pi }}{\theta },2,0 \right)\,,$

যা বোঝায়

\begin{aligned} GND (এক্স; μ, α, β) & = \frac{1}{2} জিডি (এক্স; \frac{1}{β}, α, β, μ) + + \frac{1}{2} জিডি (- এক্স; \frac{1}{β}, α, β, μ) \\ = \frac{β ই^{- {(\frac{| এক্স - μ |}{α})}^{β}}}{2 α Γ (\frac{1}{β})} \end{aligned},

$\begin{align} \text{GND}(x;\mu,\alpha,\beta) &= \frac{1}{2}\text{GD}\left(x;\frac{1}{\beta},\alpha,\beta,\mu \right)+\frac{1}{2}\text{GD}\left(-x;\frac{1}{\beta},\alpha,\beta,\mu \right)\\ &= \frac{\beta e^{-\left(\dfrac{\left|x-\mu\right|}{\alpha }\right)^{\mathrm{\Large{\beta}}}}}{2 \alpha \Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}\\ \end{align} \,,$

এটি সাধারণ বিতরণের একটি সাধারণীকরণ, যেখানে হ'ল অবস্থান, হল স্কেল এবং হ'ল আকার এবং যেখানে একটি সাধারণ বিতরণ দেয়। এটিতে ল্যাপলেস বিতরণ অন্তর্ভুক্ত থাকে যখন । হিসাবে ঘনত্ব এগোয় উপর একটি অভিন্ন ঘনত্বের pointwise । নীচে সাধারণ ক্ষেত্রে blue এর জন্য নীল রঙের সাধারণ আছে । $\mu$ $\alpha>0$ $\beta>0$ $\beta=2$ $\beta=1$ $\beta\rightarrow\infty$ $(\mu-\alpha,\mu+\alpha)$ $\alpha =\frac{\sqrt{\pi} }{2}\,,\beta=1/2,1,4$ $\alpha =\frac{\sqrt{\pi} }{2},\,\beta=2$

উপরেরটিকে সাধারণীকৃত সাধারণ বিতরণ সংস্করণ 1 এবং বিভিন্ন প্যারামিটারাইজেশনগুলিতে সূচকীয় পাওয়ার বিতরণ এবং সাধারণ ত্রুটি বিতরণ হিসাবে দেখা যায় যা ঘুরে দেখা যায় অন্যান্য বেশ কয়েকটি সাধারণ সাধারণ বিতরণগুলির মধ্যে একটি ।

— কার্ল
সূত্র

সাধারণ বিতরণ থেকে চি-স্কোয়ার ডিস্ট্রিবিউশনটির ব্যয়টি তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ থেকে গামা বিতরণের ব্যয়ের জন্য অনেকটা অনুরূপ।

আমাদের এটি সাধারণ করতে সক্ষম হওয়া উচিত:

তাহলে A থেকে স্বাধীন ভেরিয়েবল সাধারণ সাধারন বন্টনের ক্ষমতা সহগ সঙ্গে তারপর কিছু ছোটো চি-স্কোয়ারড বন্টন (সঙ্গে সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত হতে পারেন "স্বাধীন ডিগ্রীগুলির" করার সমান )। $X_i$ $m$ $Y = \sum_{i}^n {X_i}^m$ $n/m$

উপমাটি নিম্নরূপ:

সাধারণ এবং চি-স্কোয়ার বিতরণগুলি স্কোয়ারের যোগফলের সাথে সম্পর্কিত

একাধিক স্বতন্ত্র স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির যৌথ ঘনত্ব বিতরণ $\sum x_i^2$
$f(x_1, x_2, ... ,x_n) = \frac{\exp \left( {-0.5\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2}\right)}{(2\pi)^{n/2}}$
যদি $X_i \sim N(0,1)$

তারপরে $\sum_{i=1}^n {X_i}^2 \sim \chi^2(\nu)$

ক্ষতিকারক এবং গামা বিতরণগুলি নিয়মিত যোগফলের সাথে সম্পর্কিত

একাধিক স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ ভেরিয়েবলের যৌথ ঘনত্ব বিতরণ উপর নির্ভর করে $\sum x_i$

$f(x_1, x_2, ... ,x_n) = \frac{\exp \left( -\lambda\sum_{i=1}^{n}{x_i} \right)}{\lambda^{-n}}$
যদি $X_i \sim Exp(\lambda)$

তারপরে $\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

সমস্ত পরিবর্তে পরিবর্তিত পরিবর্তনের মাধ্যমে করা যেতে পারে তবে কেবলমাত্র সংক্ষিপ্ত শব্দটির চেয়ে বেশি (পিয়ারসন 1900 সালে এটি করেছিলেন)। এটি উভয় ক্ষেত্রেই একই রকম উদ্ঘাটিত হয়। $x_1,x_2,...x_n$

জন্য বন্টন: $\chi^2$

\begin{array}{rcl} চ_{χ^{2} (এন)} (গুলি) ঘ গুলি & = & \frac{ই^{- গুলি / 2}}{{(2 π)}^{এন / 2}} \frac{ঘ ভী}{ঘ গুলি} ঘ গুলি \\ = & \frac{ই^{- গুলি / 2}}{{(2 π)}^{এন / 2}} \frac{π^{এন / 2}}{Γ (এন / 2)} {গুলি}^{এন / 2 - 1} ঘ গুলি \\ = & \frac{1}{2^{এন / 2} Γ (এন / 2)} {গুলি}^{এন / 2 - 1} ই^{- গুলি / 2} ঘ গুলি \end{array}

$\begin{array}{rcl} f_{\chi^2(n)}(s) ds &=& \frac{e^{-s/2}}{\left( 2\pi \right)^{n/2}} \frac{dV}{ds} ds\\ &=& \frac{e^{-s/2}}{\left( 2\pi \right)^{n/2}} \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}s^{n/2-1} ds \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}s^{n/2-1}e^{-s/2} ds \\ \end{array}$

যেখানে squ হয় বর্গাকার ব্যাসার্ধ সহ একটি এন-বলের n- মাত্রিক ভলিউম । $V(s) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}s^{n/2}$ $s$

গামা বিতরণের জন্য:

\begin{array}{rcl} চ_{জি (এন, λ)} (গুলি) ঘ গুলি & = & \frac{ই^{- λ গুলি}}{λ^{- এন}} \frac{ঘ ভী}{ঘ গুলি} ঘ গুলি \\ = & \frac{ই^{- λ গুলি}}{λ^{- এন}} এন \frac{{গুলি}^{এন - 1}}{এন!} ঘ গুলি \\ = & \frac{λ^{এন}}{Γ (এন)} {গুলি}^{এন - 1} ই^{- λ গুলি} ঘ গুলি \end{array}

$\begin{array}{rcl} f_{G(n,\lambda)}(s) ds &=& \frac{e^{-\lambda s}}{\lambda^{-n}} \frac{dV}{ds} ds\\ &=& \frac{e^{-\lambda s}}{\lambda^{-n}} n \frac{s^{n-1}}{n!}ds \\ &=& \frac{\lambda^{n}}{ \Gamma(n)} s^{n-1} e^{-\lambda s} ds \\ \end{array}$

যেখানে হল সাথে একটি এন-পলিটপের এন-ডাইমেনশনাল ভলিউম । $V(s) = \frac{s^n}{n!}$ $\sum x_i < s$

গামা বন্টন অপেক্ষা সময় হিসেবে দেখা যেতে পারে জন্য একটি পইসন প্রক্রিয়ায় -th ঘটনা এর সমষ্টি হিসাবে বিতরণ করা হয় ব্যাখ্যা মূলকভাবে বিতরণ ভেরিয়েবল। $Y$ $n$ $n$

আলেকোস পাপাদোপলস ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছেন যে এর চেয়ে আরও গভীর সংযোগ নেই যা স্কোয়ার্ড স্বাভাবিক ভেরিয়েবলগুলির যোগফলকে 'অপেক্ষা করার জন্য একটি ভাল মডেল' করে তোলে। গামা বিতরণ হ'ল সাধারণ বিতরণকৃত চলকগুলির যোগফল। এভাবেই দুজনে একত্রিত হন।

তবে যোগফলের ধরণ এবং ভেরিয়েবলের ধরণ আলাদা হতে পারে। গামা বিতরণ যখন তাত্ক্ষণিক বিতরণ (p = 1) থেকে প্রাপ্ত হয়, তাত্ক্ষণিক বিতরণ (প্রতীক্ষার সময়) এর ব্যাখ্যা পাওয়া যায়, আপনি বিপরীতে যেতে পারেন এবং স্কোয়ারড গাউসীয় ভেরিয়েবলের যোগফলটিতে ফিরে যেতে পারবেন না এবং একই ব্যাখ্যাটি ব্যবহার করতে পারবেন।

অপেক্ষার সময়ের জন্য ঘনত্বের বন্টন যা তাত্পর্যপূর্ণভাবে পড়ে এবং গাউসীয় ত্রুটির ঘনত্ব বিতরণ দ্রুত (বর্গক্ষেত্র) এর পতন হয়। এটি দুটি সংযুক্ত দেখতে অন্য উপায়।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস
সূত্র