গড়, মধ্যম এবং মোডের মধ্যে অভিজ্ঞতামূলক সম্পর্ক

Question

একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য যা মাঝারিভাবে স্কিউড, আমাদের মধ্যবর্তী, মধ্যক এবং মোডের মধ্যে নিম্নলিখিত অনুশীলনমূলক সম্পর্ক রয়েছে: relationship এই সম্পর্কটি কেমন ছিল উদ্ভূত?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

কার্ল পিয়ারসন কি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর আগে এই হাজার হাজার সম্পর্কের পরিকল্পনা করেছিলেন, নাকি এই সম্পর্কের পিছনে যুক্তিযুক্ত যুক্তি রয়েছে?

Answer 1

বোঝাতে গড় ( গড়), মধ্যমা, স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন এবং মোড। অবশেষে, যাক নমুনা, একটি ক্রমাগত unimodal বন্টন একটি আদায় হতে , যার জন্য প্রথম দুই মুহূর্ত বিদ্যমান।≠ মি σ এম এক্স $\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

এটি এটি সর্বজনবিদিত

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

এটি একটি ঘন ঘন পাঠ্যপুস্তকের অনুশীলন:

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ first প্রথম সাম্যতা গড়ের সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত হয়, তৃতীয়টি আসে কারণ মিডিয়ানটি অনন্য মিনিমিজার (সমস্ত এর মধ্যে)এবং চতুর্থটি জেনসেনের অসমতার (অর্থাত্ উত্তল ক্রিয়াকলাপের সংজ্ঞা) থেকে। আসলে এই বৈষম্যকে আরও শক্ত করা যায়। প্রকৃতপক্ষে, কোনও , উপরের শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে, এটি দেখানো যেতে পারে [3]$c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

যদিও এটি সাধারণভাবে সত্য নয় ( আবাদির, ২০০৫ ) যে কোনও অবিবাহিত বিতরণ অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে এটি এখনও প্রদর্শিত হতে পারে যে অসাম্য

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

যেকোন ইউনিਮੋডাল, স্কোয়ার ইন্টিগ্রেটেবল বিতরণ (স্কিউ নির্বিশেষে) রাখে। জনসন এবং রজার্সে (1951) এটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত হয়েছে যদিও প্রমাণটি এখানে উপযুক্ত ফিট বেশ কয়েকটি সহায়ক লেমমার উপর নির্ভর করে। আসল কাগজটি দেখুন

---

সন্তুষ্ট করার জন্য ডিস্ট্রিবিউশনের পর্যাপ্ত শর্ত [২] এ দেওয়া হয়েছে। যদি :μ $F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

তারপরে । তদ্ব্যতীত, যদি , তবে বৈষম্য কঠোর। পিয়ারসন টাইপ প্রথম থেকে দ্বাদশ ডিস্ট্রিবিউশন সন্তুষ্টিজনক বিতরণের পরিবারের একটি উদাহরণ [4] (উদাহরণস্বরূপ, ওয়েইবুল একটি সাধারণ বিতরণ যার জন্য ধরে না, দেখুন [5])।μ ≠ এম ( 4 ) ( 4 $\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

এখন ধরে নিই যে দৃ strictly়ভাবে এবং log ধরে রেখেছে , আমাদের কাছে q বর্গক্ষেত্রσ = 1 3 ( মি - μ ) ∈ ( 0 , 3 √ ) $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

এবং যেহেতু এই দুটি ধারার দ্বিতীয়টি শূন্য নয়, অবশ্যই দৃ distrib় বিতরণগুলি পাওয়া সম্ভব যার জন্য এই দাবিটি সত্য (যেমন ) বিতরণের প্যারামিটারগুলির কিছু পরিসরের মানগুলির জন্য তবে এটি সমস্ত বিতরণের ক্ষেত্রে সত্য নয় এমনকি সমস্ত বিতরণ সন্তুষ্টকারীও নয় ।(4$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: ইউনিমোডাল বিতরণের জন্য মুহুর্তের সমস্যা। এনএল জনসন এবং সিএ রজার্স। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির অ্যানালস, খণ্ড। 22, নং 3 (সেপ্টেম্বর, 1951), পৃষ্ঠা 433-439
• [1]: গড়-মধ্যযুগীয়-মোড বৈষম্য: পাল্টা উদাহরণগুলি করিম এম। আবাদির একনোমেট্রিক থিওরি, খণ্ড। 21, নং 2 (এপ্রিল, 2005), পৃষ্ঠা 477-482
• [2]: ডাব্লুআর ভ্যান জায়েট, গড়, মধ্যম, মোড II, স্ট্যাটিস্ট নেরল্যান্ডিকা, 33 (1979), পৃষ্ঠা 1--5।
• [3]: গড়, মিডিয়ান এবং ইউনিমোডাল বিতরণের মোড: একটি বৈশিষ্ট্য। এস বসু এবং এ। দাশগুপ্ত (1997)। থিওরি প্রবাব। অ্যাপ্লিকেশন।, 41 (2), 210-22।
• [4]: গড়, মিডিয়ান, মোড এবং স্কিউনেস সম্পর্কে কিছু মন্তব্য। মিচিকাজু সাতো। অস্ট্রেলিয়ান জার্নাল অফ স্ট্যাটিস্টিকস। খণ্ড 39, সংখ্যা 2, পৃষ্ঠা 219-2224, জুন 1997
• [5]: পিটি ভন হিপ্পেল (2005)। গড়, মিডিয়ান এবং স্কিউ: পাঠ্যপুস্তকের বিধি সংশোধন করা। জার্নাল অফ স্ট্যাটিস্টিকস এডুকেশন ভলিউম 13, সংখ্যা 2।

Comments

আমি দুঃখিত, আমি কেবল প্রথম বর্ষের গণিতের ছাত্র। আপনি কি দয়া করে কোনও লিঙ্ক / বই / কাগজ সরবরাহ / সুপারিশ করতে পারেন যা বর্ণনা করে যে সম্পর্কটি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছিল?

— সারা

@ সারা আমি মনে করি এটি কার্ল পিয়ারসনের হয়ে গেছে, যা তাঁর "পিয়ারসন মোড স্কিউনেস" এর জন্য এই অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা ব্যবহার করে। এটি বাদ দিয়ে, আপনি এই অনলাইন নিবন্ধটি আকর্ষণীয় খুঁজে পেতে পারেন, j.mp/aWymCv ।

— chl

আপনি প্রদত্ত লিঙ্ক এবং উত্তরের জন্য chl এবং kwak ধন্যবাদ। আমি তাদের অধ্যয়ন করব।

— সারা

বিভিন্ন পয়েন্ট: কমিয়ে আনা হলে ট মধ্যমা হয় এক্স । ভন হিপ্পেলের নিবন্ধ (সিএল দ্বারা উপরে লিঙ্কিত) ব্যতিক্রমগুলি এবং btinternet.com/~se16/hgb/median.htm ব্যর্থতা এবং নিয়মিত এবং পৃথক বিতরণের জন্য উভয় গড়, মধ্যমা, মোড এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি মধ্যে সম্ভাব্য সম্পর্ক দেখায়। 3 আসলে কোনও মান নিতে পারে: ধনাত্মক, নেতিবাচক, শূন্য বা অসীম। $E|X-k|$$k$$X$

— হেনরি

এটি হতে পারে যে আমি কিছুটা ঘন হয়ে যাচ্ছি (এটি প্রথমবার হবে না)। আপনি নির্মল পারি (1) এবং (3) থেকে অনুসরণ করে? $|M-\mu|\leq 3|\mu-m|$

— Glen_b

Answer 2

কাগজ সিএইচএল কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দেয় - এটি সাধারণ নিয়মের কাছে নয় (এমনকী অবিচ্ছিন্ন, মসৃণ, "সুন্দর আচরণ" ভেরিয়েবলগুলির জন্য ওয়েইবুলের মতোও দেখায়)। সুতরাং এটি প্রায়শই সত্য হতে পারে তবে এটি প্রায়শই হয় না।

তাহলে পিয়ারসন কোথা থেকে আসছেন? কীভাবে তিনি এই প্রায় পৌঁছেছিলেন?

ভাগ্যক্রমে, পিয়ারসন বেশিরভাগ উত্তর আমাদের নিজেরাই বলছেন।

"স্কিউ" শব্দের প্রথম ব্যবহারটি আমরা যে অর্থে ব্যবহার করছি তা মনে হচ্ছে পিয়ারসন, 1895 [1] (এটি শিরোনামে ঠিক প্রদর্শিত হবে)। এই কাগজটি এমনও উপস্থিত হয়েছে যেখানে তিনি শব্দটি মোডটি প্রবর্তন করেছেন (পাদটীকা, p345):

সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি অর্ডিন্টের সাথে সম্পর্কিত অ্যাবসিসার জন্য শব্দ মোডটি ব্যবহার করা আমার পক্ষে সুবিধাজনক বলে মনে হয়েছে । "গড়", "মোড" এবং "মিডিয়ান" এর পরিসংখ্যানবিদদের কাছে সমস্ত স্বতন্ত্র অক্ষর রয়েছে।

এটি তার ফ্রিকোয়েন্সি কার্ভগুলির সিস্টেম সম্পর্কে তার প্রথম আসল বিবরণ বলে মনে হয় ।

সুতরাং পিয়ারসন প্রকারের তৃতীয় বিতরণে আকৃতির প্যারামিটারের অনুমানের বিষয়ে আলোচনা করতে (যা আমরা এখন একটি স্থানান্তর - এবং সম্ভবত উল্টানো - গামা) বলতে পারি, তিনি বলেছেন (p375):

$p$$^\dagger$

* এটি গামার সাথে আকৃতির প্যারামিটার এর সাথে মিলছে$>1$

$\dagger$$x$

এবং প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি গামা বিতরণের জন্য (গড়-মোড) থেকে (গড়-মধ্যমা) অনুপাতটি দেখি, তবে আমরা এটি পর্যবেক্ষণ করি:

(নীল অংশটি অঞ্চলটিকে চিহ্নিত করেছে পিয়ারসন বলেছেন যে অনুমাননটি যুক্তিসঙ্গত)।

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

এখানে বেশ কয়েকটি সুপরিচিত বিতরণ রয়েছে - যার বেশিরভাগই পিয়ারসনের সাথে পরিচিত ছিল - যার জন্য এটি বিভিন্ন পরামিতি মানের জন্য সত্যের কাছাকাছি; তিনি এটি গামা বিতরণের সাথে লক্ষ্য করেছেন, তবে তিনি বিবেচনা করতে পারবেন এমন আরও কয়েকটি বিতরণ সন্ধান করতে এসে ধারণাটি নিশ্চিত হয়ে যেত।

[1]: পিয়ারসন, কে। (1895),
"বিবর্তনের গাণিতিক তত্ত্বের অবদান, দ্বিতীয়: সমজাতীয়
পদার্থের মধ্যে স্কিউ পরিবর্তক ," রয়েল সোসাইটির দার্শনিক লেনদেন, সিরিজ এ, 186, 343-414
[কপিরাইটের বাইরে। নিখরচায় এখানে উপলভ্য ]

Answer 3

এই সম্পর্কটি উত্পন্ন হয়নি। এটি অনুমিতরূপে প্রতিসম বিতরণ কাছাকাছি ধরে রাখা লক্ষ্য করা গেছে । মধ্যে ইউল এর উদ্ভাস দেখুন পরিসংখ্যান তত্ত্ব পরিচিতি (1922), p.121, অধ্যায় সপ্তম অনুচ্ছেদ 20 তিনি উপহার গবেষণামূলক উদাহরণ।

Comments

+1 প্রকৃতপক্ষে, আমার পিয়ারসন 1895 এর উদ্ধৃতিটি ইঙ্গিত করে যে এটি এমন কিছু যা তিনি উত্পন্ন করার চেয়ে লক্ষ্য করেছেন।

— Glen_b

পুরানো গণিত পাঠগুলি আজকের লেখার চেয়ে পড়তে অনেক বেশি মজাদার

— আকসাকাল