একই মডেলের দুটি পরামিতি অনুমান উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হলে আমি কীভাবে পরীক্ষা করতে পারি?

আমি মডেল আছে

y = x^{a} \times z^{b} + e

$y=x^a \times z^b + e$

যেখানে $y$ নির্ভরশীল ভেরিয়েবল, $x$ এবং $z$ ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল, $a$ এবং $b$ হ'ল প্যারামিটার এবং $e$ একটি ত্রুটি শর্ত term আমি পরামিতি অনুমান আছে $a$ এবং $b$ এবং এই অনুমান একটি সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স। $a$ এবং $b$ উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক হলে আমি কীভাবে পরীক্ষা করব ?

statistical-significance nonlinear-regression

— কে। রোলফস
সূত্র

অনুমান করা হয় যে $a$ এবং $b$ পৃথক পৃথক অনুমানটি $a - b = 0$ (বিকল্পটির বিপরীতে যে $a-b\ne 0$ ) পরীক্ষা করার সমান ।

নিম্নলিখিত বিশ্লেষণ অনুমান আপনার অনুমান করার জন্য যুক্তিযুক্ত $a-b$ যেমন

U = \hat{a} - \hat{b} .

$U = \hat a - \hat b.$ এটি আপনার মডেল সূত্রটিও গ্রহণ করে (যা প্রায়শই যুক্তিসঙ্গত হয়), যা - কারণ ত্রুটিগুলি সংযোজনীয় (এবং এমনকি

y

$y$ নেতিবাচক পর্যবেক্ষণ করা মানগুলিও উত্পন্ন করতে পারে ) - উভয় পক্ষের লগারিদম গ্রহণ করে আমাদের এটিকে লিনিয়ারাইজ করার অনুমতি দেয় না ।

ভ্যারিয়েন্স $U$ সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে $(c_{ij})$ এর $(\hat a, \hat b)$ যেমন

Var (U) = Var (\hat{a} - \hat{b}) = Var (\hat{a}) + Var (\hat{b}) - 2 Cov (\hat{a}, \hat{b}) = c_{11} + c_{22} - 2 c_{12}^{2} .

$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$

যখন $(\hat a, \hat b)$ হয় লিস্ট স্কোয়ার সঙ্গে আনুমানিক এক সাধারণত একটি "টি পরীক্ষা;" ব্যবহার অর্থাৎ, of এর বিতরণ

t = U / \sqrt{V a r (U)}

$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$ সাথেশিক্ষার্থী টি বিতরণদ্বারা আনুমানিক

n - 2

$n-2$ ডিগ্রি স্বাধীনতা (যেখানে

n

$n$ ডেটা গণনা এবং

2

$2$ সহগের সংখ্যা গণনা করে)। নির্বিশেষে,

t

$t$ সাধারণত যে কোনও পরীক্ষার ভিত্তি। আপনি একটি জেড পরীক্ষা করতে পারেন (যখন

n

$n$ বড় হয় বা যখন সর্বোচ্চ সম্ভাবনার সাথে মানানসই থাকে) বা এটি বুটস্ট্র্যাপ করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ।

সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, টি পরীক্ষার পি-মানটি দেওয়া হয়

p = 2 t_{n - 2} (- | t |)

$p = 2t_{n-2}(-|t|)$

যেখানে $t_{n-2}$ হল স্টুডেন্ট টি (ক্রমবর্ধমান) বিতরণ ফাংশন। "লেজ এলাকা:" এটা এক অভিব্যক্তি সুযোগ করে একটি স্টুডেন্ট T (পরিবর্তনশীল $n-2$ স্বাধীন ডিগ্রীগুলির) সমান বা পরীক্ষা পরিসংখ্যাত আকার অতিক্রম করে $|t|.$

আরো সাধারণভাবে, সংখ্যার জন্য $c_1,$ $c_2,$ এবং $\mu$ যদি আপনি কোন হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য ঠিক একই পদ্ধতির ব্যবহার করতে পারেন

H_{0} : c_{1} a + c_{2} b = μ

$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$

$(c_{ij})$ $U = c_1 a + c_2 b$

t = (c_{1} \hat{a} + c_{2} \hat{b} - μ) / \sqrt{Var (U)} .

$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$

$(c_1,c_2) = (1,-1)$ $\mu=0.$

Re $t$ $t$ $500$ $n=5$ $t$ $a=b=-1/2.$

$a,$ $b,$ $\sigma$ $n$

কোডটি এখানে।

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)

— whuber
সূত্র

এটি দুর্দান্ত। তত্ত্বের সাথে উত্তর, অন্যান্য পরীক্ষার পুনরাবৃত্তি অনুসরণের পদক্ষেপগুলি সহ, স্পষ্টতার জন্য একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতির সাথে এবং কোড সহ। এটি সোনার মান।

— সিক্রেটএজেন্টম্যান

আমি খুঁজে " হাইপোথিসিস যে a ও b ভিন্ন" আপনার উদ্বোধনী বাক্যে দ্ব্যর্থক, কারণ এটি স্পষ্ট নয় যে একটি ফাঁকা বা বিকল্প হাইপোথিসিস কিনা। ওপি-র প্রশ্নটি পরিষ্কার করে দেয় যে তারা পার্থক্যের প্রমাণ খুঁজছে, এবং আপনার বাক্যের দ্বিতীয় ধারাটি এটির সাথে কথা বলে। শিক্ষাগতভাবে আমি মনে করি এটি অনুমানের পরীক্ষাতে লোকেদের আরও স্পষ্ট করে তুলতে সহায়তা করে। (তবে সামগ্রিকভাবে আপনার উত্তরের জন্য +1 :)

— অ্যালেক্সিস

@ অ্যালেক্সিস আপনাকে ধন্যবাদ - আমি বলছি আপনি কী বলছেন। কারণ আমার মনে এই জাতীয় লোক রয়েছে, আমি স্পষ্ট করব।

— শুক্র