, বা

আমরা এটির জন্য বিভিন্ন পন্থা নিতে পারি, যার মধ্যে কিছু কিছু লোকের কাছে স্বজ্ঞাত এবং অন্যের কাছে স্বজ্ঞানের চেয়ে কম মনে হয়। এ জাতীয় ভিন্নতা সামঞ্জস্য করার জন্য, এই উত্তরটি গাণিতিক চিন্তার প্রধান বিভাগগুলি বিশ্লেষণ (অসীম এবং অনন্ত), জ্যামিতি / টোপোলজি (স্থানিক সম্পর্ক) এবং বীজগণিতকে (প্রতীকী ম্যানিপুলেশনের আনুষ্ঠানিক নিদর্শন) কভার করে এমন বেশ কয়েকটি পদ্ধতির জরিপ করে - সম্ভাবনা নিজেই। এটি একটি পর্যবেক্ষণে এসে পৌঁছায় যা চারটি পন্থাকেই এক করে দেয়, প্রদর্শিত হয় যে এখানে একটি আসল প্রশ্নের উত্তর দেওয়া উচিত এবং সমস্যাটি ঠিক কী তা দেখায়। প্রতিটি পদ্ধতি তার নিজস্ব উপায়ে স্বাধীন ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের যোগফলগুলির সম্ভাব্যতা বন্টন ফাংশনের আকারগুলির প্রকৃতির গভীরতর অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে।

পটভূমি

ইউনিফর্ম বন্টন $[0,1]$ বিভিন্ন মৌলিক বিবরণ রয়েছে। যখন এর যেমন বিতরণ হয়, $X$

একটি পরিমাপযোগ্য সেট এ থাকা সুযোগটি কেবল এর পরিমাপ (দৈর্ঘ্য) , লিখিত । $X$ $A$ $A \cap [0,1]$ $|A \cap [0,1]|$
এটি থেকে এটি তাত্ক্ষণিকভাবে ক্রম বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) হয়

$F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = | (- \infty, x] \cap [0, 1] | = | [0, min (x, 1)] | = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1. \end{cases} \end{array}$ $F_X(x) = \Pr(X \le x) = |(-\infty, x] \cap [0,1]| = |[0,\min(x,1)]| = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x\lt 0 \\ x & 0\leq x\leq 1 \\ 1 & x\gt 1. \end{array}\right. \end{array}$
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (পিডিএফ), যা সিডিএফ এর ডেরাইভেটিভ, জন্য এবং অন্যথায়। (এটি এবং )) $f_X(x) = 1$ $0 \le x \le 1$ $f_X(x)=0$ $0$ $1$

চরিত্রগত কার্যাদি (বিশ্লেষণ) থেকে অনুভূতি

চরিত্রগত ফাংশন কোনো এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের (সিএফ) প্রত্যাশা হয় (যেখানে কাল্পনিক একক, )। অভিন্ন বিতরণের পিডিএফ ব্যবহার করে আমরা গণনা করতে পারি $X$ $\exp(i t X)$ $i$ $i^2=-1$

ϕ_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (i t x) f_{X} (x) d x = \int_{0}^{1} \exp (i t x) d x = {\frac{\exp (i t x)}{i t} |}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{\exp (i t) - 1}{i t} .

$\phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i t x) f_X(x) dx = \int_0^1 \exp(i t x) dx = \left. \frac{\exp(itx)}{it} \right|_{x=0}^{x=1} = \frac{\exp(it)-1}{it}.$

সিএফ হ'ল পিডিএফটির ফুরিয়ার রূপান্তর, । ফুরিয়ার রূপান্তর সম্পর্কে সর্বাধিক প্রাথমিক উপপাদ্যগুলি হ'ল: $\phi(t) = \hat{f}(t)$

স্বাধীন ভেরিয়েবলের যোগফলের সিএফ তাদের সিএফগুলির পণ্য the $X+Y$
যখন মূল পিডিএফ অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং সীমাবদ্ধ থাকে, তখন ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্মের ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সংস্করণ দ্বারা সিএফ থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে , $f$ $X$ $f$ $\phi$

f (x) = \overset{ˇ}{ϕ} (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t .

$f(x) = \check{\phi}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt.$

যখন হয়, এর ডেরাইভেটিভটি অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের আওতায় গণনা করা যায়: $f$

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t = \frac{- i}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} t \exp (- i x t) ϕ (t) d t .$ $f'(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt = \frac{-i}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty t \exp(-i x t) \phi(t) dt.$
এটি ভাল সংজ্ঞায়িত করার জন্য, সর্বশেষ অবিচ্ছেদ্য অবশ্যই একেবারে রূপান্তর করতে হবে; এটাই,

$\int_{- \infty}^{\infty} | t \exp (- i x t) ϕ (t) | d t = \int_{- \infty}^{\infty} | t | | ϕ (t) | d t$ $\int_{-\infty}^\infty |t \exp(-i x t) \phi(t)| dt = \int_{-\infty}^\infty |t| |\phi(t)| dt$
সীমাবদ্ধ মানতে রূপান্তর করতে হবে। বিপরীতভাবে, যখন এটি রূপান্তরিত হয়, ডাইরিভেটিভ এই বিপরীত সূত্রগুলির গুণাবলী দ্বারা সর্বত্র বিদ্যমান।

এখন এটা স্পষ্ট ঠিক কিভাবে differentiable একটি সমষ্টি জন্য পিডিএফ অভিন্ন ভেরিয়েবল হল: প্রথম বুলেট থেকে IID ভেরিয়েবল সমষ্টি সিএফ তাদের এক উত্থাপিত সিএফ হয় শক্তি, এখানে সমান । । অংকটি সীমাবদ্ধ (এটি সাইন ওয়েভ নিয়ে গঠিত) এবং ডিনোমিনেটর । আমরা by দ্বারা এই জাতীয় সংখ্যাকে বহুগুণ করতে পারি এবং এবং শর্তসাপেক্ষে রূপান্তরিত হওয়ার পরে এটি একেবারে রূপান্তরিত হবে । সুতরাং, তৃতীয় বুলেটের বারবার প্রয়োগ দেখায় যে ইউনিফর্ম ভেরিয়েটের যোগফলের জন্য পিডিএফ অবিচ্ছিন্নভাবে $n$ $n^\text{th}$ $(\exp(i t) - 1)^n / (i t)^n$ $O(t^{n})$ $t^{s}$ $s \lt n-1$ $s = n-1$ $n$ $n-2$ সময়গুলি পার্থক্যযোগ্য এবং বেশিরভাগ জায়গায় এটি গুন পৃথক হতে পারে । $n-1$

সি = এন = 10 এর জন্য

নীল শেডযুক্ত বক্ররেখা আইড ইউনিফর্মের পরিবর্তনের যোগফলের সিএফের আসল অংশের নিখুঁত মানটির লগ-লগ প্লট । ড্যাশযুক্ত লাল রেখাটি একটি অসম্পূর্ণ; এর ope , পিডিএফ গুণ পার্থক্যযুক্ত দেখায় । রেফারেন্সের জন্য, ধূসর বক্ররেখা অনুরূপ আকারের গাউসিয়ান ফাংশন (একটি সাধারণ পিডিএফ) এর জন্য সিএফের আসল অংশ প্লট করে। $n=10$ $-10$ $10 - 2 = 8$

সম্ভাবনা থেকে অন্তর্দৃষ্টি

যাক এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেখানে হতে একটি অভিন্ন হয়েছে বন্টন। একটি সংকীর্ণ বিরতি বিবেচনা করুন । যে সুযোগটি এই ব্যবধানের সময়ের কাছাকাছি পর্যায়ে রয়েছে সেই সুযোগটি ঠিক সঠিক মাপের সাথে আমরা দিই জায়গা এই ব্যবধান দেওয়া যে ঘনিষ্ঠ যথেষ্ট: $Y$ $X$ $X$ $[0,1]$ $(t, t+dt]$ $X+Y \in (t, t+dt]$ $Y$ $X$ $X+Y$ $Y$

\begin{aligned} f_{X + Y} (t) d t = & Pr (X + Y \in (t, t + d t]) \\ = Pr (X + Y \in (t, t + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) Pr (Y \in (t - 1, t + d t]) \\ = Pr (X \in (t - Y, t - Y + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) \\ = 1 d t (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(t) dt = &\Pr(X+Y\in (t,t+dt])\\ & = \Pr(X+Y\in (t,t+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \Pr(Y \in (t-1, t+dt]) \\ & = \Pr(X \in (t-Y, t-Y+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right) \\ & = 1 dt \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right). }$

এর পিডিএফ এর এক্সপ্রেশন থেকে চূড়ান্ত সাম্যতা আসে । উভয় পক্ষকে দ্বারা এবং সীমাটি দেওয়া $X$ $dt$ $dt\to 0$

f_{X + Y} (t) = F_{Y} (t) - F_{Y} (t - 1) .

$f_{X+Y}(t) = F_Y(t) - F_Y(t-1).$

অন্য কথায়, একটি অভিন্ন যোগ পরিবর্তনশীল থেকে কোন পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পিডিএফ একটি differenced সিডিএফ মধ্যে । কারণ পিডিএফ সিডিএফ ডেরিভেটিভ, এই যে বোঝা প্রতিটি সময় আমরা একটি স্বাধীন অভিন্ন পরিবর্তনশীল যোগ , ফলে পিডিএফ এক সময় আরো আগের চেয়ে differentiable হয়। $[0,1]$ $X$ $Y$ $f_Y$ $F_Y(t) - F_Y(t-1)$ $Y$

ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল দিয়ে শুরু করে এই অন্তর্দৃষ্টিটি প্রয়োগ করি । মূল পিডিএফ বা এ পার্থক্যযোগ্য নয় : এটি সেখানে বিচ্ছিন্ন। পিডিএফ এ differentiable নয় , , বা , কিন্তু এটা সেই বিন্দুতে একটানা হতে হবে কারণ এটি PDF এর ইন্টেগ্রাল এর পার্থক্য নেই । অন্য স্বাধীন অভিন্ন পরিবর্তনশীল যোগ : এর পিডিএফ হয় এ differentiable , , , এবং এটা অগত্যা নেই --but দ্বিতীয় $Y$ $0$ $1$ $Y+X$ $0$ $1$ $2$ $Y$ $X_2$ $Y+X+X_2$ $0$ $1$ $2$ $3$ এই পয়েন্টগুলিতে ডেরিভেটিভস। ইত্যাদি।

জ্যামিতি থেকে অন্তর্দৃষ্টি

এ সিডিএফ একটি সমষ্টি এর IID অভিন্ন variates ইউনিট hypercube ভলিউম সমান অর্ধ স্থান মধ্যে মিথ্যা । অবস্থা variates এখানে প্রদর্শিত হয়, সঙ্গে এ সেট , , এবং তারপর । $t$ $n$ $[0,1]^n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n \le t$ $n=3$ $t$ $1/2$ $3/2$ $5/2$

3 ডি কিউব

হিসাবে থেকে অগ্রগতি মাধ্যমে , hyperplane ক্রস ছেদচিহ্ন এ , । প্রতিটি সময়ে ক্রস বিভাগের আকার পরিবর্তিত হয়: চিত্রটিতে এটি প্রথমে একটি ত্রিভুজ (একটি সিম্প্লেক্স), তারপরে একটি ষড়ভুজ, তারপরে আবার একটি ত্রিভুজ। পিডিএফ এই মানগুলিতে তীক্ষ্ণ নমন করে না কেন ? $t$ $0$ $n$ $H_n(t): x_1+x_2+\cdots+x_n=t$ $t=0$ $t=1, \ldots, t=n$ $2$ $t$

এটি বুঝতে, প্রথমে ছোট মানগুলি বিবেচনা করুন । এখানে হাইপারপ্লেন একটি -সিম্প্লেক্স কেটে দেয় । সকল সিমপ্লেক্স এর মাত্রা হয় সরাসরি সমানুপাতিক করতে , কোথা তার "এলাকা" সমানুপাতিক হয় । এর জন্য কিছু স্বরলিপি পরে কাজে আসবে। যাক হতে "ইউনিট পদক্ষেপ ফাংশন," $t$ $H_n(t)$ $n-1$ $n-1$ $t$ $t^{n-1}$ $\theta$

θ (x) = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0. \end{cases} \end{array}

$\theta(x) = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \lt 0 \\ 1 & x\ge 0. \end{array}\right. \end{array}$

যদি এটি হাইপারকিউবের অন্য কোণগুলির উপস্থিতি না হয় তবে এই স্কেলিং অনির্দিষ্টকালের জন্য অবিরত থাকবে। সিমপ্লেক্সের ক্ষেত্রফলের একটি প্লট নীচের শক্ত নীল বক্ররেখার মতো দেখতে লাগবে: এটি নেতিবাচক মানগুলিতে শূন্য এবং সমানইতিবাচক একটিতে, স্বাচ্ছন্দ্যে লিখিত। এটির উত্সটিতে অর্ডার এর একটি "কিঙ্ক" রয়েছে , এই অর্থে যে অর্ডার মাধ্যমে সমস্ত ডেরাইভেটিভ বিদ্যমান এবং ক্রমাগত রয়েছে তবে অর্ডার এর বাম এবং ডান ডেরিভেটিভ উপস্থিত রয়েছে তবে উত্সটিতে একমত নয় । $n-1$ $t^{n-1}/(n-1)!$ $\theta(t) t^{n-1}/(n-1)!$ $n-2$ $n-3$ $n-2$

(এই চিত্রটিতে প্রদর্শিত অন্যান্য বক্ররেখাগুলি (লাল), (সোনার), এবং (কালো)। ক্ষেত্রে তাদের ভূমিকা আরও নীচে আলোচনা করা হয়েছে।) $-3\theta(t-1) (t-1)^{2}/2!$ $3\theta(t-2) (t-2)^{2}/2!$ $-\theta(t-3) (t-3)^{2}/2!$ $n=3$

সাধারণ ক্ষেত্রের প্লট

অতিক্রম করলে কী হয় তা বুঝতে , আসুন বিশদভাবে পরীক্ষা করে দেখি , যেখানে সমস্ত জ্যামিতি একটি বিমানে ঘটে। চতুর্ভুজগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে আমরা ইউনিটটি "কিউব" (এখন কেবলমাত্র একটি বর্গক্ষেত্র) দেখতে পাচ্ছি, এখানে দেখানো হয়েছে: $t$ $1$ $n=2$

অর্ধেই

প্রথম চতুর্ভুজটি ধূসরতে নীচের বাম প্যানেলে উপস্থিত হয়। পাঁচটির প্যানেলে প্রদর্শিত তির্যক রেখা নির্ধারণ করে এর মান হয় । সিডিএফ ডানদিকে দেখানো হলুদ অঞ্চল সমান। এই হলুদ অঞ্চলটি সমন্বিত: $t$ $1.5$

নীচের বাম প্যানেলে ত্রিভুজাকার ধূসর অঞ্চল,
উপরের বাম প্যানেলে ত্রিভুজাকার সবুজ অঞ্চলটি বিয়োগ করুন,
নিম্ন মধ্য প্যানেলে ত্রিভুজাকার লাল অঞ্চলটি বিয়োগ করুন,
প্লাস উচ্চ মধ্যম প্যানেলে কোন নীল এলাকা (কিন্তু সেখানে নেই কোন এলাকা, কিংবা যতক্ষণ না থাকবে ছাড়িয়ে গেছে )। $t$ $2$

এই প্রত্যেকেরই একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্র। প্রথম এক দাঁড়িপাল্লা মত , পরবর্তী দুই জন্য শূন্য এবং অন্যথায় মত স্কেল , এবং শেষ জন্য শূন্য এবং অন্যথায় মতো স্কেলগুলি । এই জ্যামিতিক বিশ্লেষণটি প্রতিষ্ঠিত করেছে যে সিডিএফটি সমানুপাতিক = ; ; সমানভাবে, পিডিএফ তিনটি ফাংশনের যোগফলের সমানুপাতিক , , এবং $2^n=4$ $t^n=t^2$ $t\lt 1$ $(t-1)^n = (t-1)^2$ $t\lt 2$ $(t-2)^n$ $\theta(t)t^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t^2 - 2 \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t$ $-2\theta(t-1)(t-1)$ $\theta(t-2)(t-2)$ ( এগুলির প্রত্যেকটি যখন রৈখিকভাবে স্কেলিং করে )। এই চিত্রের বাম প্যানেলটি তাদের গ্রাফগুলি দেখায়: স্পষ্টতই, তারা মূল গ্রাফের সমস্ত সংস্করণ ta থিতা , তবে (ক) , , এবং ইউনিট দ্বারা ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়েছে এবং (খ) দ্বারা উদ্ধার হয়েছে , , এবং যথাক্রমে। $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $1$ $2$ $1$ $-2$ $1$

এন = 2 এর জন্য গ্রাফ

ডান প্যানেলটি এই গ্রাফগুলির সংমিশ্রণটি দেখায় (শক্ত কালো বক্ররেখা, ইউনিটের ক্ষেত্রফল হিসাবে সাধারণত: এটি মূল প্রশ্নের মধ্যে নিখুঁতভাবে কৌনিক দেখাচ্ছে পিডিএফ)।

এখন আমরা আইডি ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের যোগফলের পিডিএফে "কিঙ্কস" এর প্রকৃতিটি বুঝতে পারি। তারা সব ঠিক "গিরা" যে ঘটে মত ফাংশনে , সম্ভবত rescaled এবং পূর্ণসংখ্যার স্থানান্তরিত যেখানে hyperplane সংশ্লিষ্ট অতিক্রম করে। জন্য , এই দিক একটি দৃশ্যমান পরিবর্তন: ডান ব্যুৎপন্ন এ হয় যখন তার বাম ব্যুৎপন্ন হয় । জন্য এটি একটি অবিচ্ছিন্ন $0$ $\theta(t)t^{n-1}$ $1,2,\ldots, n$ $H_n(t)$ $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $0$ $1$ $n=3$ দিক পরিবর্তন, কিন্তু দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভে হঠাৎ (বিচ্ছিন্ন) পরিবর্তন। সাধারণ , অর্ডার মাধ্যমে অবিচ্ছিন্ন ডেরাইভেটিভস থাকবে তবে ডেরিভেটিভের মধ্যে একটি বিচ্ছিন্নতা থাকবে । $n$ $n-2$ $n-1^\text{st}$

বীজগণিত ম্যানিপুলেশন থেকে অনুভূতি

সিএফ গণনা করার সংহতকরণ, সম্ভাব্য বিশ্লেষণে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার রূপ, এবং চতুর্ভুজগুলির একরৈখিক রৈখিক সংশ্লেষ হিসাবে হাইপারকিউবের সংশ্লেষণ সমস্তই মূল ইউনিফর্ম বিতরণে ফিরে আসার এবং সহজ জিনিসগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে পুনরায় প্রকাশ করার পরামর্শ দেয় । প্রকৃতপক্ষে, এর পিডিএফ লেখা যেতে পারে

f_{X} (x) = θ (x) - θ (x - 1) .

$f_X(x) = \theta(x) - \theta(x-1).$

আমাদের শিফট অপারেটর পরিচয় করিয়ে দিন : এটা কোন ফাংশন উপর কাজ করে অধিকার তার গ্রাফ এক ইউনিট নাড়াচাড়া দ্বারা: $\Delta$ $f$

(Δ f) (x) = f (x - 1) .

$(\Delta f)(x) = f(x-1).$

সাধারণভাবে, তারপরে, ইউনিফর্ম ভেরিয়েবল আমরা লিখতে পারি $X$

f_{X} = (1 - Δ) θ .

$f_X = (1 - \Delta)\theta.$

একটি সমষ্টি এর পিডিএফ IID ইউনিফর্ম সংবর্তন হয় নিজেই সঙ্গে বার। এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি সমষ্টি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে: সংবর্তন দুই ফাংশন এবং ফাংশন $n$ $f_X$ $n$ $f$ $g$

(f ⋆ g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d y .

$(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y) dy.$

Verify দিয়ে কনভোলশন কমিট তা যাচাই করা সহজ । কেবল থেকে সংহতকরণের পরিবর্তনশীলটি পরিবর্তন করুন : $\Delta$ $y$ $y+1$

\begin{aligned} (f ⋆ (Δ g)) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) (Δ g) (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y - 1) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f ((x - 1) - y) g (y) d y \\ = (Δ (f ⋆ g)) (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ (f \star (\Delta g)) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)(\Delta g)(y) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y-1) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f((x-1)-y)g(y) dy \\ &= (\Delta (f \star g))(x). }$

আইড ইউনিফর্মগুলির যোগফলের পিডিএফের জন্য, আমরা এখন বীজগণিতভাবে লিখতে এগিয়ে যেতে পারি $n$

f = f_{X}^{⋆ n} = ((1 - Δ) θ)^{⋆ n} = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n}

$f = f_X^{\star n} = ((1 - \Delta)\theta)^{\star n} = (1-\Delta)^n \theta^{\star n}$

(যেখানে "শক্তি" বারবার সমঝোতা বোঝায়, পয়েন্টওয়াইজ গুণফল নয়!)। এখন হ'ল একটি সরাসরি, প্রাথমিক ইন্টিগ্রেশন $\star n$ $\theta^{\star n}$

θ^{⋆ n} (x) = θ (x) \frac{x^{n - 1}}{n - 1!} .

$\theta^{\star n}(x) = \theta(x) \frac{x^{n-1}}{{n-1}!}.$

বাকীটি বীজগণিত, কারণ দ্বিপদী উপপাদ্য প্রযোজ্য (যেমন এটি বাস্তবের তুলনায় যে কোনও পরিবর্তনশীল বীজগণিতের ক্ষেত্রে রয়েছে):

f = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) Δ^{i} θ^{⋆ n} .

$f = (1-\Delta)^n \theta^{\star n} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} \Delta^i \theta^{\star n}.$

কারণ নিছক তার যুক্তি দ্বারা বদল , এই চিত্র প্রদর্শনীতেও পিডিএফ এর স্থানান্তরিত সংস্করণ একটি রৈখিক সংমিশ্রন হিসেবে , ঠিক আমরা জ্যামিতিক অনুমিত হিসাবে: $\Delta^i$ $i$ $f$ $\theta(x) x^{n-1}$

f (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) (x - i)^{n - 1} θ (x - i) .

$f(x) = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} (x-i)^{n-1}\theta(x-i).$

(জন কুক তার ব্লগ পোস্টে এই সূত্রটি উদ্ধৃত করে for । $(x-i)^{n-1}_+$ $(x-i)^{n-1}\theta(x-i)$

তদনুসারে, everywhere সর্বত্র একটি মসৃণ ফাংশন, পিডিএফের যে কোনও একক আচরণ কেবলমাত্র সেই জায়গাগুলিতেই ঘটবে যেখানে একক (স্পষ্টত মাত্র ) এবং সেই জায়গাগুলিতে দ্বারা ডানদিকে স্থানান্তরিত । সেই একক আচরণের প্রকৃতি - মসৃণতার ডিগ্রি - সুতরাং সমস্ত অবস্থানের ক্ষেত্রে একই হবে । $x^{n-1}$ $\theta(x)$ $0$ $1, 2, \ldots, n$ $n+1$

এটি উদাহরণস্বরূপ , যা (বাম প্যানেলে) যোগফলের পৃথক পদগুলি এবং (ডান প্যানেলে) আংশিক অঙ্কগুলি দেখায়, যোগফলটি নিজেই শেষ হয় (শক্ত কালো বাঁকানো): $n=8$

N = 8 এর জন্য প্লট

মন্তব্য বন্ধ

এটি লক্ষণীয় যে এই শেষ পদ্ধতির অবশেষে আইড ইউনিফর্ম ভেরিয়েবলের যোগফলের পিডিএফ কম্পিউটিংয়ের জন্য একটি কমপ্যাক্ট, ব্যবহারিক অভিব্যক্তি পাওয়া গেছে । (সিডিএফের জন্য একটি সূত্র একইভাবে প্রাপ্ত)) $n$

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যটি এখানে খুব কমই বলেছে। সর্বোপরি, আইআইডি দ্বিপদী ভেরিয়েবলগুলির একটি যোগফল একটি সাধারণ বিতরণে রূপান্তরিত করে তবে এই যোগফলটি সর্বদা বিযুক্ত হয়: এটির কোনও পিডিএফ কখনও হয় না! সিএলটি থেকে আগত "কিঙ্কস" বা পিডিএফের স্বতন্ত্রতার অন্যান্য পদক্ষেপের সম্পর্কে আমাদের কোনও অন্তর্নিহনের আশা করা উচিত নয়।

— whuber
সূত্র

(+1) চমত্কার! এখন, আপনার এই সমস্ত কিছু একসাথে রাখতে কতক্ষণ সময় লেগেছে ?!

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল এটি গত সোমবার শক্তি হারাবার আগে আমি শেষ প্রশ্নটি পড়েছিলাম। আসন্ন সপ্তাহে, দীর্ঘ অন্ধকার সন্ধ্যাগুলি :-) এর মাধ্যমে এটি চিন্তা করার এবং একাধিক উত্তর বিকাশের সুযোগ করে দেয়। গত সপ্তাহান্তে শক্তিটি পুনরুদ্ধার হওয়ার পরে চিত্রণগুলি তৈরি করার জন্য এবং এটি সমস্ত লেখার জন্য কিছুটা সময় খুঁজে পাওয়ার বিষয় ছিল (যা প্রত্যাশার চেয়ে বেশি সময় নিয়েছিল, আমি স্বীকার করি)। আমি আশা করি যে সম্ভবত এই থ্রেডের কিছু এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরিমাণ সম্পর্কে ভবিষ্যতের সম্পর্কিত প্রশ্নের রেফারেন্স হিসাবে কাজ করতে পারে।

— whuber

কি দারুন. আমি পারা প্রিয় 'এই ইচ্ছুক উত্তর ।

— রোববার্ব

হুঁশিয়ার, এটি একেবারে আশ্চর্যজনক। এত সহজ প্রশ্ন কত গভীর হতে পারে তা আমি কখনই বুঝতে পারি নি। আপনার উত্তরটি আঁকতে আমাকে কিছুটা সময় লাগবে, তবে আপাতত আপনাকে অনেক ধন্যবাদ!

— tetragrammaton

আমি মন্তব্যগুলিতে এসই নীতি লঙ্ঘন করব, এই বলে যে আমাদের (ক্রসওলিয়েট ডট কম) আপনার বিদ্যুৎ সংস্থাকে আরও প্রায়শই বিদ্যুৎ কেটে দেওয়ার জন্য ঘুষ দেওয়া উচিত :)

— এমপিটকাস