জিআরচ এবং এআরএমএর মধ্যে পার্থক্য কী?

Question

আমি দ্বিধান্বিত. আমি একটি এআরএমএ এবং একটি জিআরসি প্রক্রিয়াটি বুঝতে পারছি না .. আমার কাছে কি একই আছে?

এখানে (জি) আর্চ (পি, কিউ) প্রক্রিয়া রয়েছে

$$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$$

এবং এখানে এআরএমএ ( ) রয়েছে:$p, q$

$$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$$

এআরএমএ কি কেবল জিআরচ-এর এক্সটেনশান, জিআরচ কেবলমাত্র রিটার্নের জন্য এবং যেখানে একটি শক্তিশালী সাদা প্রক্রিয়া অনুসরণ করে?$r = \sigma\varepsilon$$\varepsilon$

Comments

Fg nu এর উত্তর ছাড়াও, জিআরচিতে পরিবর্তনের প্রক্রিয়া সময়-পরিবর্তিত। তবে, এখানে একটি কৌশল আছে যে এসপি 500 এর লগ-রিটার্নের একটি সময়-সিরিজ দেওয়া হয়েছে, তারপরে অস্থিরতা প্রক্রিয়াটি পেতে আমাদের কী করা উচিত? কিছু লোক বলে যে আমাদের অবশিষ্টাংশগুলি প্রত্যাহার করতে এআরএমএ মডেলটি ব্যবহার করা দরকার, তারপরে শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিক প্রক্রিয়াটি পেতে এই অবশিষ্টাংশ সিরিজটি জিআরচ মডেলটিতে প্লাগ করুন? বা শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতা অর্জনের জন্য জিপিআরসি মডেলটিতে এসপি 500 এর লগ-রিটার্ন প্রক্রিয়াটি সরাসরি লগ-রিটার্ন প্লাগ প্লাগ করুন?

Answer 1

আপনি কোনও প্রক্রিয়াটির প্রতিনিধিত্ব সহ বৈশিষ্ট্যগুলি বিভ্রান্ত করছেন। (রিটার্ন) প্রক্রিয়া ।$(Y_t)_{t=0}^\infty$

• একটি এআরএমএ (পি, কিউ) মডেল প্রক্রিয়াটির শর্তসাপেক্ষ মাধ্যম হিসাবে উল্লেখ করে

$$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$$ এখানে, হল তে নির্ধারিত তথ্য , যা ফলাফল প্রক্রিয়াটির মানগুলি দ্বারা উত্পন্ন । টিσ( ওয়াই টি$\mathcal{I}_t$$t$$\sigma$$(Y_t)$

• জিআরচ (আর, এস) মডেল প্রক্রিয়াটির শর্তসাপেক্ষ উল্লেখ করে $$\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$$

বিশেষত প্রথম সমতুল্য ।$\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

পাশে : এই প্রতিনিধিত্বের ভিত্তিতে, আপনি যেখানে একটি শক্তিশালী শব্দের প্রক্রিয়া, তবে প্রক্রিয়াটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার পদ্ধতি থেকে এটি অনুসরণ করে।Z

$$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$$ $Z_t$

• দুটি শর্ত (শর্তাধীন গড় এবং বৈকল্পিক জন্য) একে অপরের সাথে পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ, যাতে প্রক্রিয়াটির গড়টি এআরএমএ হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে, এবং জিআরচ হিসাবে রূপগুলি। এটি নীচের উপস্থাপনার মতো প্রক্রিয়াটির জন্য একটি এআরএমএ (পি, কিউ) -গ্রাচ (আর, গুলি) মডেলের সম্পূর্ণ স্পেসিফিকেশন বাড়ে $$\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$$

Comments

যদি রেজিস্ট্রাররা সবাই পিছিয়ে থাকে তবে আপনার কি সেই সময় এ তথ্য দেওয়া উচিত নয় ? $t-1$

— জেস

@ জেস সংজ্ঞাটি নোট করুন, "এখানে, সময়ে নির্ধারিত তথ্য , যা ফলাফল প্রক্রিয়া থাকা মান দ্বারা উত্পন্ন ।" এটি হ'ল, । কিছু লেখক হিসাবে এই লিখতে কিন্তু যে একটি তথ্য সেটের ধারণা পাল্টা হয় সময়ে । $\mathcal{I}_t$σ ( Y t ) I t = σ ( Y t - 1 , Y t - 2 … , ) আমি টি - 1 টি$t$$\sigma$$(Y_t)$$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$$\mathcal{I}_{t-1}$$t$

— tchakravarty

নিস! আপনি কি জানেন যে আমরা সিগমা-বীজগণিত ব্যবহার করি, পরিস্রাবণ নয়?

— জেস

@ জেস, তথ্য সেটগুলির ক্রম একটি পরিস্রাবণ গঠন করে । $(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

Answer 2

সম্পাদনা: আমি বুঝতে পেরেছি যে উত্তরটির অভাব রয়েছে এবং এইভাবে আরও সুনির্দিষ্ট উত্তর সরবরাহ করেছেন (নীচে দেখুন - বা সম্ভবত উপরে)। আমি এটিকে সত্যিক ভুলের জন্য সম্পাদনা করেছি এবং রেকর্ডের জন্য রেখে দিচ্ছি।

---

বিভিন্ন ফোকাস পরামিতি:

• এআরএমএ হ'ল প্রক্রিয়াটির শর্তাধীন গড়ের একটি নির্দিষ্ট কাঠামো চাপিয়ে দেওয়া স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধির জন্য একটি মডেল ।
• প্রক্রিয়াটির শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পিকতার একটি নির্দিষ্ট কাঠামো চাপিয়ে দেওয়া স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধির জন্য জিরিচ একটি মডেল ।

স্টোকাস্টিক বনাম ডিটারমিনিস্টিক মডেল:

• এআরএমএ হ'ল একটি স্টোকাস্টিক মডেল যে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল - স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটির উপলব্ধি - ল্যাগড ডিপেন্ডেন্ট ভেরিয়েবল এবং লেগড মডেল ত্রুটির (শর্তসাপেক্ষ মানে) এবং একটি স্টোকেস্টিক ত্রুটি শব্দটির একটি নির্ধারিত ফাংশনের যোগফল হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয় ।
• গুর্চ হ'ল একটি নির্ধারিত মডেল যে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল - প্রক্রিয়াটির শর্তসাপেক্ষ ভেরিয়েশন - ল্যাগড ভেরিয়েবলগুলির একটি খাঁটি নির্মাতামূলক কার্য।

Comments

GARCH প্রক্রিয়ার শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স আপনার সংজ্ঞায়িত অর্থে একটি নির্ণায়ক হয়, buth GARCH প্রক্রিয়া সাল থেকে নয় , এবং এর lags স্বাধীন । $r_t=\sigma_t\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$t$

— এমপিটিকাস

@ এমপিটাস, সত্য যদি জিআরচ মডেলটিতে দুটি সমীকরণ থাকে, একটি শর্তাধীন গড়ের জন্য (যার উদাহরণ উপরে আপনি লিখেছেন) এবং অন্যটি শর্তাধীন পরিবর্তনের জন্য (যা স্বজ্ঞাত, যদিও গাণিতিকভাবে নয়, মডেলের "প্রধান সমীকরণ"), আমার যুক্তি কেবলমাত্র প্রযোজ্য পরবর্তী সমীকরণ।

— রিচার্ড হার্ডি

Answer 3

Arma

বিবেচনা করুন যা একটি এআরএমএ ( ) প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। ধরুন সরলতার জন্য এর শূন্য গড় এবং ধ্রুব বৈকল্পিক রয়েছে। শর্তাধীন information তথ্যের উপর , একটি জ্ঞাত (পূর্বনির্ধারিত) অংশ (যা প্রদত্ত এর শর্তসাপেক্ষ মাধ্যম ) এবং একটি র্যান্ডম অংশ :$y_t$$p,q$$I_{t-1}$$y_t$$\mu_t$$y_t$$I_{t-1}$$u_t$

$$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$$

যেখানে কিছু ঘনত্ব।$D$

শর্তাধীন গড় নিজেই একটি প্রক্রিয়া Arma (অনুরূপ অনুসরণ ) কিন্তু ছাড়া র্যান্ডম সমসাময়িক ত্রুটি শব্দ: যেখানে ; জন্য ; এবং জন্য । নোট করুন যে এই প্রক্রিয়াটির হিসাবে ( ) পরিবর্তে অর্ডার ( ) । পি , $\mu_t$$p,q$

$$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$$ $m:=\max(p,q)$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$$p,m$$p,q$$y_t$

আমরা এর পূর্ববর্তী শর্তসাপেক্ষে (অতীতে উপলব্ধি করা মানগুলির তুলনায়) এবং মডেল পরামিতিগুলির ক্ষেত্রে লিখতে পারি$y_t$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$$

পরবর্তী প্রতিনিধিত্ব আরআরএমএর তুলনা জিআরচ এবং এআরএমএ-জিআরচকে সহজ করে তোলে।

GARCH

বিবেচনা করুন যা একটি ( ) প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। ধরুন সরলতার জন্য এর অবিরাম অর্থ আছে। তারপর$y_t$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

যেখানে এবং কিছু ঘনত্ব।$u_t:=y_t-\mu_t$$D$

শর্তাধীন ভ্যারিয়েন্স একটি প্রক্রিয়া Arma (অনুরূপ অনুসরণ করে ) কিন্তু ছাড়া র্যান্ডম সমসাময়িক ত্রুটি পরিভাষা।$\sigma_t^2$$s,r$

Arma-GARCH

বিবেচনা করুন যা শর্তহীন গড় শূন্য এবং একটি এআরএমএ ( ) -গ্রাচ ( ) প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। তারপর$y_t$$p,q$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

যেখানে ; কিছু ঘনত্ব, যেমন সাধারণ; জন্য ; এবং জন্য । ডি φ আমি = 0 আমি > পি θ ঞ = 0 ঞ > $u_t:=y_t-\mu_t$$D$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$

---

শর্তাধীন গড় Arma কারণে প্রক্রিয়া হিসেবে মূলত একই আকৃতি আছে শর্তসাপেক্ষ ভ্যারিয়েন্স GARCH কারণে প্রক্রিয়া শুধু ল্যাগ আদেশ ভিন্ন হতে পারে (একটি অশূন্য নিঃশর্ত গড় ফলে এই ফলাফল উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তন করা উচিত)। গুরুত্বপূর্ণভাবে, দু'জনের একবারে on এ শর্তযুক্ত র্যান্ডম ত্রুটি শর্ত থাকে নি , সুতরাং উভয়ই পূর্বনির্ধারিত।I t - $y_t$$I_{t-1}$

Answer 4

এআরএমএ এবং জিআরচ প্রক্রিয়াগুলি তাদের উপস্থাপনায় খুব একই রকম। যখন একটি এআরএমএ প্রক্রিয়া ত্রুটি বৈকল্পের জন্য অনুমান করা হয় তখন আমরা জিআরচ পাই বলে উভয়ের মধ্যে বিভাজন রেখাটি খুব পাতলা।