মন্টি হল সমস্যা একটি ফল্টি মন্টির সাথে

Question

দরজার পিছনে ছাগল ছিল কিনা (বা খালি ছিল) মন্টির সঠিক জ্ঞান ছিল। এই সত্যটি খেলোয়াড়কে অন্য দরজার সাথে "অনুমান" স্যুইচ করে সময়ের সাথে তার সাফল্যের হার দ্বিগুণ করতে দেয়। মন্টির জ্ঞান যদি নিখুঁত চেয়ে কম হত তবে কী হবে? তবে কখনও কখনও যদি ছাগলের মতো একই ডোরওয়েতে পুরস্কারটি সত্যই ছিল? আপনি নিজের দরজাটি চয়ন এবং খোলার পরেও আপনি এটি দেখতে পাচ্ছেন না? আপনি কীভাবে আমাকে আইএফ calc গণনা করতে এবং কতটা দিয়ে বুঝতে সাহায্য করতে পারেন - যখন মন্টির নির্ভুলতার হার 100% এর চেয়ে কম থাকে তখন প্লেয়ার তার সাফল্য উন্নত করতে পারে? উদাহরণস্বরূপ: যদি মন্টি ভুল হয় - সময় গড় - 50% এ? খেলোয়াড় তার অনুমান / দরজা স্যুইচিং থেকে এখনও উপকৃত হতে পারে? আমি কল্পনা করেছিলাম যে মন্টির যদি ডোরের পিছনে পুরস্কার নেই বলে সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা কম থাকে 33.3%, তবে প্লেয়ারের সেরা বিকল্পটি তার ডোর পছন্দটি স্যুইচ না করা। আপনি অনুগ্রহ করে ডান পিছনে থাকা পুরষ্কার সম্পর্কে সঠিক হওয়ার জন্য মন্টির বিভিন্ন সম্ভাব্যতা সন্নিবেশ করে স্যুইচিংয়ের সম্ভাব্য সুবিধাটি গণনা করার একটি উপায় আমাকে সরবরাহ করতে পারেন? হাই স্কুল গণিতের বাইরে আমার কিছু নেই এবং আমার বয়স 69 বছর, সুতরাং দয়া করে নম্র হোন।

---

অন্তর্দৃষ্টি এবং সূত্র সরবরাহ করার জন্য ধন্যবাদ। মনে হয় এটি যদি "ফললিটি মন্টি" কোনও পুরষ্কার / গাড়ির অনুপস্থিতিতে ভবিষ্যদ্বাণী করতে কেবলমাত্র 66% সঠিক হয় তবে আপনার মূল পছন্দগুলির দরজা থেকে স্যুইচ করার ক্ষেত্রে জিরো সুবিধা রয়েছে .... কারণ তার 33% ত্রুটি হারটি ডিফল্ট পুরষ্কারের দরজার পিছনে থাকার জন্য বেইস রেট। তবে একটি অনুমান করে যে, যদি মন্টি অনুমান করে যেখানে কোন মূল্য নেই সেখানে% 66% এর চেয়ে ভাল হয়ে যায়, তারপরে স্যুইচিংয়ের ফলে আরও বেশি ইউটিলিটি পাওয়া যায়। আমি এই যুক্তিটি এমন একটি গেমটিতে প্রয়োগ করার চেষ্টা করব যেখানে "বিশেষজ্ঞ" একটি "বিশেষজ্ঞ ভবিষ্যদ্বাণী" করেন যে তিনটির মধ্যে প্রায় সমান সম্ভাব্য বিকল্পগুলির মধ্যে একটি সঠিক হবে। বিশেষজ্ঞের সঠিক হওয়ার বিষয়ে আমার খুব কম বিশ্বাস আছে এবং আমি নিশ্চিত যে তার "হিট রেট" 33% এর চেয়ে কম হবে - আরও 15% এর মতো। এ থেকে আমার উপসংহারটি যখন তখন "আমার মতো একই বিকল্প, আমি সম্ভবত নিশ্চিতভাবেই ভুল, এবং অন্য দুটির মধ্যে একটিতে পরিবর্তিত হওয়া উচিত! ;-)

Comments

যদি মন্টির যথার্থতা 100% এরও কম হয়, তার অর্থ কি তিনি মাঝে মাঝে পুরস্কারটি সহ দরজাটি খোলেন? যদি তা হয় তবে আপনার সম্ভবত দরজাটি বেছে নেওয়া উচিত।

— ফ্যাক্স

Answer 1

আসুন নিয়মিত মন্টি হল সমস্যাটি দিয়ে শুরু করি। তিনটি দরজা, যার একটির পিছনে একটি গাড়ি। অন্য দু'জনের পিছনে ছাগল রয়েছে। আপনি 1 নম্বর দরজাটি বেছে নিন এবং মন্টি তার পিছনে একটি ছাগল রয়েছে তা দেখানোর জন্য 2 নম্বর দরজাটি খোলেন। আপনার অনুমানটি 3 নম্বর দরজার দিকে স্যুইচ করা উচিত? (নোট করুন যে আমরা প্রতিটি দরজা উল্লেখ করার জন্য যে নম্বরগুলি ব্যবহার করি তা এখানে কিছু যায় আসে না We আমরা কোনও আদেশ চয়ন করতে পারি এবং সমস্যাটি একই, তাই জিনিসগুলি সহজ করার জন্য আমরা কেবল এই নম্বরটি ব্যবহার করতে পারি))

অবশ্যই উত্তরটি হ্যাঁ, যেমন আপনি ইতিমধ্যে জানেন, তবে আসুন তারা কীভাবে পরে পরিবর্তিত হয় তা দেখার জন্য গণনাগুলি চলুন। যাক $C$ গাড়ির সঙ্গে দরজার সূচক হতে হবে এবং $M$ ঘটনা মন্টি জানা যায় যে দরজা 2 একটি ছাগল রয়েছে বোঝান। আমাদের $p(C=3|M)$ গণনা করতে হবে । যদি এটি চেয়ে বড় $1/2$ , আমরা যে দরজা আমাদের অনুমান স্যুইচ করতে (যেহেতু আমরা কেবল দুই অবশিষ্ট অপশন আছে) প্রয়োজন হবে। এই সম্ভাবনাটি দেওয়া হয়েছে:

$$p(C=3|M)=\frac{p(M|C=3)}{p(M|C=1)+p(M|C=2)+p(M|C=3)}$$ (এটি কেবল$C$আগে একটি ফ্ল্যাট সহ বয়েসের নিয়ম প্রয়োগ করছে)$p(M|C=3)$1 এর সমান: যদি গাড়ীটি 3 নম্বর দরজার পিছনে থাকে তবে মন্টির কাছে 2 নম্বর দরজা খোলার বিকল্প ছিল না। $p(M|C=1)$সমান$1/2$ : যদি গাড়ীটি 1 দরজার পিছনে থাকে, তবে মন্টির বাকী দুটি দরজা দুটি খোলার পছন্দ ছিল, 2 বা 3.$p(M|C=2)$ 0 এর সমান হয়, কারণ মন্টি যে দরজাটি জানে তার দরজা কখনই খোলে না knows গাড়ী। এই সংখ্যাগুলি পূরণ করে আমরা পাই: $$p(C=3|M)=\frac{1}{0.5+0+1}=\frac{2}{3}$$ ফলাফল যা আমরা সাথে পরিচিত।

এখন আসুন সেই মামলাটি বিবেচনা করুন যেখানে কোন দরজাটির গাড়ি রয়েছে সে সম্পর্কে মন্টির সঠিক জ্ঞান নেই। সুতরাং, যখন তিনি তার দরজাটি চয়ন করেন (যা আমরা 2 নম্বর দরজা হিসাবে উল্লেখ করব), তিনি ঘটনাক্রমে গাড়িটির সাথে একটিটি বেছে নিতে পারেন, কারণ তিনি মনে করেন এটিতে একটি ছাগল রয়েছে। যাক $C'$ দরজা মন্টি যে হতে মনে গাড়ী আছে, এবং দিন $p(C'|C)$ সম্ভাব্যতা যে, তিনি গাড়ী মনে করে, তার প্রকৃত অবস্থান উপর শর্তাধীন একটি নির্দিষ্ট জায়গায় হতে। আমরা ধরে নিই করব যে এই একটি একক পরামিতি দ্বারা বর্ণনা করা হয় $q$ যে, তার সঠিকতা নির্ধারণ করে, যেমন যে: $p(C'=x|C=x) = q = 1-p(C'\neq x|C=x)$ । যদি$q$ সমান 1 হয়, মন্টি সর্বদা সঠিক। যদি$q$ 0 হয়, মন্টি সর্বদা ভুল থাকে (যা এখনও তথ্যবহুল)। যদি$q$ হয়$1/3$ , মন্টি তথ্য র্যান্ডম মনন চেয়ে উত্তম।

এর অর্থ হ'ল আমাদের কাছে এখন:

$$p(M|C=3) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=3)$$ $$= p(M|C'=1)p(C'=1|C=3) + p(M|C'=2)p(C'=2|C=3) + p(M|C'=3)p(C'=3|C=3)$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(1-q) + 0\times \frac{1}{2}(1-q) + 1 \times q$$ $$= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4}q+\frac{1}{4}$$

এটি হ'ল গাড়িটি যদি সত্যই দরজার 3 এর পিছনে থাকে তবে তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে যেগুলি খেলতে পারত: (1) মন্টি ভেবেছিল এটি 1 এর পিছনে, (2) মন্টি চিন্তাভাবনা 2 বা (3) মন্টি চিন্তাভাবনা 3. শেষ বিকল্পটি ঘটে সম্ভাব্যতা $q$ (তিনি কতবার এটি সঠিকভাবে গ্রহণ করেন) দিয়ে, অন্য দু'জনের মধ্যে সম্ভাবনাটি বিভক্ত হয়ে যায় যে তিনি তাদের মধ্যে ভুল $(1-q)$ । তারপরে, প্রতিটি দৃশ্যের পরিপ্রেক্ষিতে, তিনি কীভাবে 2 নম্বর দরজার দিকে নির্দেশ করতে বেছে নেবেন এমন সম্ভাবনা কী? যদি তিনি ভাবেন যে গাড়িটি 1 এর পিছনে ছিল, তবে সম্ভাবনাটি 2 এ 1 ছিল, যেহেতু তিনি 2 বা 3 বেছে নিতে পারতেন, যদি তিনি ভাবেন যে এটি 2 এর পিছনে ছিল তবে তিনি কখনই 2 পয়েন্টটি বেছে নিতে পারবেন না যদি তিনি ভাবেন যে এটি 3 এর পিছনে ছিল , তিনি সর্বদা 2 পছন্দ করতেন।

আমরা একইভাবে অবশিষ্ট সম্ভাব্যতাগুলি কাজ করতে পারি:

$$p(M|C=1) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=1)$$ $$=\frac{1}{2}\times q + 1\times \frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{q}{2}+\frac{1}{2}-\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$$

$$p(M|C=2) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=2)$$ $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(1-q) + 1 \times\frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q$$

এগুলি পূরণ করে আমরা পাই:

$$p(C=3|M)=\frac{\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q+\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}$$ $$=\frac{0.75q+0.25}{1.5}$$ স্যানিটি চেক হিসাবে, যখন$q=1$, আমরা দেখতে পাই যে আমরা আমাদের1 এরমূল উত্তরটি ফিরে পেয়েছি$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$ ।

সুতরাং, আমাদের কখন স্যুইচ করা উচিত? আমি সরলতার জন্য ধরে নেব যে মন্টি আপনাকে যে দরজাটি দেখিয়েছে তাতে আমাদের স্যুইচ করার অনুমতি নেই। এবং প্রকৃতপক্ষে, যতক্ষণ না মন্টি কমপক্ষে কিছুটা হলেও সঠিক হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে (যতটা সম্ভবত এলোমেলো অনুমানের চেয়ে বেশি), তিনি যে দরজাটি দেখিয়েছেন সে গাড়িটি অন্যের তুলনায় সর্বদা কমই থাকবে, সুতরাং এটি একটি কার্যকর বিকল্প নয় আমাদের জন্য যাই হোক না কেন। সুতরাং আমাদের কেবল দরজা 1 এবং 3 এর সম্ভাব্যতাগুলি বিবেচনা করা উচিত তবে গাড়িটি যখন 2 দরজার পিছনে থাকা অসম্ভব বলে মনে হত, তবে এই বিকল্পটির এখন অ-শূন্য সম্ভাবনা রয়েছে, এবং তাই আমাদের আর পরিবর্তন করা উচিত নয় the কখন $p(C=3|M)>0.5$ , তবে পি ( সি = 3) হলে আমাদের স্যুইচ করা উচিত$p(C=3|M)>p(C=1|M)$ (যা আগে একই জিনিস ব্যবহৃত হত)। এই সম্ভাবনাটি$p(C=1|M)=\frac{0.5}{1.5}=\frac{1}{3}$ , মূল মন্টি হল সমস্যার মতো। (এটি বোঝা যায় যেহেতু মন্টি কখনই পিছনের দিক নির্বিশেষে 1 দরজার দিকে নির্দেশ করতে পারে না এবং তাই সে দরজা সম্পর্কে কোনও তথ্য সরবরাহ করতে পারে না। বরং, যখন তার নির্ভুলতা 100% এর নীচে নেমে যায়, তখন এর প্রভাবটি সম্ভবত দরজার দিকে কিছুটা "ফুটো" হয়) 2 আসলে গাড়ী হচ্ছে) সুতরাং, আমরা বের করতে হবে।$q$যেমন যে$p(C=3|M) > \frac{1}{3}$ :

$$\frac{0.75q+0.25}{1.5}>\frac{1}{3}$$ $$0.75q+0.25 > 0.5$$ $$0.75q > 0.25$$ $$q > \frac{1}{3}$$ সুতরাং মূলত, এটি নির্ধারণের জন্য এটি একটি দীর্ঘ-ঘূর্ণিত উপায় ছিল, যতক্ষণ না গাড়িটির আসল অবস্থান সম্পর্কে মন্টির জ্ঞানটি এলোমেলো অনুমানের চেয়ে ভাল, আপনার দরজাগুলি স্যুইচ করা উচিত (যা আসলে এক ধরণের স্পষ্টতই, যখন আপনি চিন্তা করেন এটা)। মন্টির নির্ভুলতার একটি ফাংশন হিসাবে, সুইচ করার সময় আমরা কতটা বেশি জয়ের সম্ভাবনা রয়েছে তাও আমরা গণনা করতে পারি, যেমন এটি দেওয়া হয়েছে: $$\frac{p(C=3|M)}{p(C=1|M)}$$ $$=\frac{\frac{0.75q+0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}}=1.5q+0.5$$ (যা, যখন$q=1$, 2 টির উত্তর দেয়, এটি সত্যের সাথে মিলে যায় যে আমরা মন্টি হলের সমস্যাটিতে দরজা স্যুইচ করে আমাদের জয়ের সম্ভাবনা দ্বিগুণ করে))

সম্পাদনা: লোকজন দৃশ্যকল্প, যা হয়ে সুবিধাজনক যখন যেখানে আমরা যে মন্টি পয়েন্ট দরজার দিকে সুইচ করার অনুমতি দেওয়া হয় সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয় $q<\frac{1}{3}$ , অর্থাত্ যখন মন্টি একটি (কিছুটা) নির্ভরযোগ্য "মিথ্যাবাদী" হয়। অত্যন্ত চরম দৃশ্যে, যখন$q=0$, এর অর্থ মন্টি মনে করে যে দরজাটির কাছে গাড়িটি আসলে ছাগল আছে। যদিও দ্রষ্টব্য, বাকি দুটি দরজায় এখনও একটি গাড়ি বা ছাগল থাকতে পারে।

The benefit of switching to door 2 is given by:

$$\frac{p(C=2|M)}{p(C=1|M)} = \frac{ \frac{0.75 - 0.75q}{1.5} } { \frac{1}{3} } = 1.5-1.5q$$ Which is only larger than 1 (and thus worth switching to that door) if $1.5q<0.5$, i.e. if $q<\frac{1}{3}$, which we already established was the tipping point. Interestingly, the maximum possible benefit for switching to door 2, when $q=0$, is only 1.5, as compared to a doubling of your winning odds in the original Monty Hall problem (when $q=1$).

The general solution is given by combining these two switching strategies: when $q>\frac{1}{3}$, you always switch to door 3; otherwise, switch to door 2.

Comments

Wouldn't the expected value actually go back up when q < 1/3, because it isn't modeling how likely he is to be accurate, it is modeling how likely he is to be wrong? As it approached 0 it would mean he is always lying if he can, and your expected winnings would return to 2/3

— Cireo

@Cireo He wouldn't be lying, he would simply be wrong. Lying would imply him knowing his answer was wrong. I suspect the reason the expected value doesn't go back up is because the chance that he accidentally points to the door with the car behind it (ie, p(M|C=2) is going up) and you can't pick that door, no matter what). q=0 means he always misremembers where the car is, ie there's now a relatively high chance of him pointing to the door with the car behind it.

— Buurman

A more general solution (which this obviously needs) includes a "hostile" Monty; one who changes what he points at (or even if he points at something) depending on if you picked a goat or a car.

— Yakk

@Yakk: There are infinitely many more scenarios you can imagine that change the odds in infinitely many ways. It also all depends on if you know how Monty operates. If you know he's hostile, then actually he cannot decrease your odds below 1/3, because you would just decide to ignore whatever he does. If you don't know his decision process, then it totally depends on what you do assume and what he does do exactly, and there are many degrees of freedom there.

— Ruben van Bergen

@KalevMaricq: I didn't really talk about lying Monty. The problem with that is the car could be behind the door you initially picked, which Monty isn't allowed to choose (otherwise, I would argue it's no longer the Monty Hall problem). So he may only have two goat-doors he can choose from, in which case he cannot lie by saying there's a goat behind one of them. So I don't think it's possible to construct a true "liar Monty" within the confines of the problem. What I went with instead (for $q=0$) is a Monty who always mistakes a goat-door for the car-door, but we don't know which goat-door.

— Ruben van Bergen

Answer 2

এটি সমস্যাটির মোটামুটি সহজ প্রকরণ হওয়া উচিত (যদিও আমি আপনার সীমাবদ্ধ গণিতের পটভূমি নোট করি, তাই আমি অনুমান করি যে এটি আপেক্ষিক)। আমি আপনাকে পরামর্শ দেব যে আপনি প্রথমে মন্টে অপূর্ণযোগ্য, বা পুরোপুরি ফলস্ফুল কিনা তা শর্তসাপেক্ষে সমাধানটি নির্ধারণের চেষ্টা করুন । প্রথম কেসটি হ'ল সাধারণ মন্টি হলের সমস্যা, সুতরাং সেখানে কোনও কাজের প্রয়োজন নেই। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আপনি যে দরজাটি চয়ন করেন তা পুরষ্কার সহ দরজা সহ সমস্ত দরজাগুলির উপর এলোমেলো হিসাবে বিবেচনা করবেন (যেমন, তিনি এখনও কোনও পুরস্কারবিহীন একটি দরজা বেছে নিতে পারেন তবে এটি এখন এলোমেলো)। আপনি যদি এই ক্ষেত্রে প্রতিটি জয়ের সম্ভাবনা গণনা করতে পারেন তবে আপনি সম্পূর্ণ সম্ভাবনার আইনটি ব্যবহার করুন to determine the relevant win probabilities in the case where Monte has some specified level of fallibility (specified by a probability that we is infallible versus fully fallible).

Comments

I appreciate the response, but I was looking for something more specific. I'm specifying that Monty has picked a Door. I'm specifying that the probability of the Prize being behind that door could be anywhere from Zero to 100%. I was hoping for a formula which would allow me to simply enter the Probability that Monty is Right/Wrong and then working out the rest of the formula would provide a Numerical Estimate which indicates the Probability that Switching will result in a Win. Is that degree of assistance an unrealistic request?

— Pseudoego

Answer 3

বেনের উত্তরের মন্তব্যের ভিত্তিতে, আমি মন্টি হলের এই বৈকল্পিকের দুটি পৃথক ব্যাখ্যা উপস্থাপন করতে যাচ্ছি, রুবেন ভ্যান বার্গেনের থেকে পৃথক।

প্রথমটিকে আমি লিয়ার মন্টি এবং দ্বিতীয়টি অবিশ্বাস্য মন্টি বলতে যাচ্ছি। উভয় সংস্করণে সমস্যাটি নিম্নরূপে এগিয়ে যায়:

(0) তিনটি দরজা রয়েছে যার একটির পিছনে একটি গাড়ি এবং অন্য দুটি পিছনে ছাগল রয়েছে, এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়েছে।

(1) প্রতিযোগী এলোমেলোভাবে একটি দরজা চয়ন করে।

(২) মন্টি প্রতিযোগীর দরজার থেকে আলাদা একটি দরজা তুলে ধরে দাবি করে যে এর পিছনে একটি ছাগল রয়েছে।

(3) প্রতিযোগীকে তৃতীয় আনপিকড দরজাটিতে স্যুইচ করার প্রস্তাব দেওয়া হয় এবং সমস্যাটি হয় "দরজার পিছনে গাড়ি সন্ধানের সম্ভাবনা সর্বাধিক করার জন্য প্রতিযোগী কখন স্যুইচ করতে হবে?"

লিয়ার মন্টিতে, পদক্ষেপে (২), যদি প্রতিযোগী একটি ছাগলযুক্ত একটি দরজা বেছে নিয়ে থাকে, তবে মন্টি কিছু পূর্বনির্ধারিত সম্ভাবনা সহ গাড়ী সম্বলিত একটি দরজা বেছে নেয় (যেমন 0 এবং 100% এর মধ্যে একটি সুযোগ রয়েছে যে সে মিথ্যা বলবে যে ছাগলটি কিছু দরজার পিছনে রয়েছে)। নোট করুন যে এই রূপটিতে, প্রতিযোগী পদক্ষেপে (1) গাড়িটি বেছে নিলে মন্টি কখনই গাড়িযুক্ত দরজা রাখে না (অর্থাত্ মিথ্যা বলতে পারে না)।

অবিশ্বাস্য মন্টিতে, একটি পূর্বনির্ধারিত সম্ভাবনা রয়েছে যে মন্টি পিক-ইন স্টেপ (২) এ একটি গাড়ি রয়েছে। বেনের জবাব সম্পর্কে আমি আপনার মন্তব্য থেকে গ্রহণ করি যে এটি আপনার আগ্রহী দৃশ্যাবলী এবং আমার উভয় সংস্করণই রুবেন ভ্যান বার্গেনের থেকে পৃথক। দ্রষ্টব্য যে অবিশ্বাস্য মন্টি লিয়র মন্টির মতো নয়; আমরা পরে এই দুটি ক্ষেত্রে কঠোরভাবে পার্থক্য করব। তবে এটি বিবেচনা করুন, এই দৃশ্যে মন্টির দরজায় গাড়িটি এর চেয়ে বেশি কখনই থাকতে পারে না$\frac{2}{3}$ সময়ের সাথে, প্রতিযোগীর গাড়িটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে has $\frac{1}{3}$ সময়.

সমস্যার উত্তর দিতে আমাদের কিছু সমীকরণ ব্যবহার করতে হবে। আমি আমার উত্তরটি চেষ্টা করে যাচ্ছি যাতে এটি অ্যাক্সেসযোগ্য হয়। দুটি জিনিস যা আমি আশা করি খুব বিভ্রান্তিকর নয় তা হ'ল প্রতীকগুলির বীজগণিত হেরফের এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা। পূর্বেরদের জন্য, আমরা নিম্নলিখিতগুলি বোঝাতে প্রতীকগুলি ব্যবহার করব:

$$\begin{split} S &= \text{The car is behind the door the contestant can switch to.}\\ \bar{S} &= \text{The car is not behind the door the contestant can switch to.}\\ M &= \text{The car is behind the door Monty chose.}\\ \bar{M} &= \text{The car is not behind the door Monty chose.}\\ C &= \text{The car is behind the door the contestant chose in step (1).}\\ \bar{C} &= \text{The car is not behind the door the contestant chose in step (1).} \end{split}$$

আমরা ব্যাবহার করি $\Pr(*)$ "সম্ভাব্যতা বোঝাতে $*$", যাতে, একসাথে রাখা, যেমন কিছু $\Pr(\bar{M})$মন্টি যে দরজাটি বেছে নিয়েছে তার পিছনে গাড়িটি নেই বলে সম্ভাবনা রয়েছে। (অর্থাত্ যেখানেই আপনি চিহ্নগুলিতে জড়িত কোনও অভিব্যক্তি দেখেন সেখানে প্রতীকগুলি "ইংরেজী" সমতুল্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন))

We will also require some rudimentary understanding of conditional probability, which is roughly the probability of something happening if you have knowledge of another related event. This probability will be represented here by expressions such as $\Pr(S|\bar{M})$. The vertical bar $|$ can be thought of as the expression "if you know", so that $\Pr(S|\bar{M})$ can be read as "the probability that the door the contestant can switch to has the car, if you know that the car is not behind Monty's door. In the original Monty Hall problem, $\Pr(S|\bar{M}) = \frac{2}{3}$, which is larger than $\Pr(S) = \frac{1}{3}$, which corresponds to the case when Monty has not given you any information.

I will now demonstrate that Unreliable Monty is equivalent to Liar Monty. In Liar Monty, we are given the quantity $\Pr(M|\bar{C})$, the probability that Monty will lie about his door, knowing that the contestant has not chosen the car. In Unreliable Monty, we are given the quantity $\Pr(M)$, the probability that Monty lies about his door. Using the definition of conditional probability $\Pr(M \text{ and } \bar{C}) = \Pr(\bar{C} | M) \Pr(M) = \Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})$, and rearranging, we obtain:

$$\begin{split} \Pr(M) &= \frac{\Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})}{\Pr(\bar{C} | M)}\\ \frac{3}{2} \Pr(M) &= \Pr(M | \bar{C}), \end{split}$$ since $\Pr(\bar{C})$, the probability that the car is not behind the contestant's chosen door is $\frac{2}{3}$ and $\Pr(\bar{C} | M)$, the probability that the car is not behind the contestant's chosen door, if we know that it is behind Monty's door, is one.

Thus, we have shown the connection between Unreliable Monty (represented by LHS of the above equation) and Liar Monty (represented by the RHS). In the extreme case of Unreliable Monty, where Monty chooses a door that hides the car $\frac{2}{3}$ of the time, this is equivalent to Monty lying all the time in Liar Monty, if the contestant has picked a goat originally.

Having shown this, I will now provide enough information to answer the Liar version of the Monty Hall Problem. We want to calculate $\Pr(S)$. Using the law of total probability:

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(S|C)\Pr(C) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M)\Pr(\bar{C} \text{ and } M) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M})\Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M}) \end{split}$$ since $\Pr(S|C) = \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M) = 0$ and $\Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M}) = 1$ (convince yourself of this!).

Continuing:

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{M} | \bar{C}) \Pr(\bar{C}) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})) \end{split}$$

So you see, when Monty always lies (aka $\Pr(M | \bar{C})) = 1$) then you have a zero chance of winning if you always switch, and if he never lies then the probability the car is behind the door you can switch to, $\Pr(S)$, is $\frac{2}{3}$.

From this you can work out the optimal strategies for both Liar, and Unreliable Monty.

Addendum 1

In response to comment (emphasis mine):

"I added more details in my comment to @alex - Monty is never hostile nor devious, just FALLIBLE, as sometimes he can be wrong for whatever reasons, and never actually opens the door. Research shows that Monty is wrong roughly 33.3% of the time, and the car actually turns out to be there. That is a Posterior Probability of being correct 66.6% of the time, correct? Monty never chooses YOUR door, and you will never choose his. Do these assumptions change anything?"

This is as I understand, the Unreliable Monty Hall Problem introduced at the start of my answer.

Therefore, if Monty's door contains the car $\frac{1}{3}$ of the time, we have the probability of winning when you switch to the last unpicked door as:

$$\begin{split} \Pr(S) &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})\\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\Pr(M) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{split}$$

Thus, there is no difference between switching, remaining with the original door or if allowed, switching to Monty's chosen door (in line with your intuition.)

Comments

অ্যালেক্স এবং @ রুবেন ভ্যান বার্গেন এবং আল সহায়ক তথ্যের জন্য ধন্যবাদ। মনে করুন মন্টির কখনই শত্রু নয়, কেবল পতনযোগ্য এবং আপনাকে বলে যে "আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে গাড়ি এই দরজার পিছনে নেই"। কিন্তু দরজা খোলে না। আসুন গবেষণাটি ধরে নেওয়া যাক তিনি প্রায় 33.3% সময়কালে ভুল, সুতরাং 66.6% (একটি উত্তরোত্তর সম্ভাবনা?) সঠিক করুন। স্যুইচিংয়ে এখনও কিছু উপকার রয়েছে, তবে একবার তার নির্ভুলতা কেবলমাত্র 33.3% এ পৌঁছে গেলে তার দরজা বা অন্য কোনওটিতে স্যুইচ করার কোনও মানে হয় না। আক্ষরিক একটি ক্ষেত্রে "আপনার অনুমান আমার মতোই ভাল is" এর কি কোনও আপনার বিশ্লেষণ বা সূত্র পরিবর্তন করে?

— সিউডোয়েগো

না, এটি আমার বিশ্লেষণ পরিবর্তন করে না। আমি এমন কিছু যুক্ত করেছি যা আমি আশা করি আপনার মন্তব্যে প্রশ্নটি পরিষ্কার করে দেবে। বিটিডব্লিউ, আমি "প্রতিকূল", "পতনযোগ্য", "মন্টি মিথ্যা" শব্দগুলিতে খুব বেশি পড়তাম না। এগুলির সত্যিকার অর্থে কোনও অর্থ হয় না যতক্ষণ না (শর্তাধীন) সম্ভাবনা হিসাবে নির্ভুলতার সাথে সংজ্ঞা দেওয়া হয় যে মন্টি ছাগলযুক্ত একটি দরজা সম্পর্কে ভুল।

— অ্যালেক্স

Pretty annoyed that my OWN answer to MY OWN question would be deleted with the only explanation given is that this site is not for "discussion" - when I am mainly explaining why I think the Answers given so far are Correct, and explaining how they will be useful. There was far more discussion in most of the other answers given. This seems myopic to me - at best - and moronic - at worst - to delete somebody's answer to their own question: how can you possibly explain WHY you are rating an Answer as the BEST without discussing it? Thanks to all who replied regardless.

— সিউডেগো

@ সিউডোয়েগো আপনার শেষ মন্তব্যটি আপনার মূল প্রশ্নের মন্তব্য হিসাবে ভাল পোস্ট। আমি আপনার উত্তরটি দেখতে পেলাম না তবে মনে হচ্ছে আপনি বিদ্যমান উত্তরগুলি নিয়ে আলোচনা করতে চান, সেক্ষেত্রে আপনি আপনার মূল প্রশ্নটি পরিবর্তন করতে পারেন।

— অ্যালেক্স

Answer 4

For some reason, a moderator decided to delete my own answer to my own question, on the grounds that it contained "discussion." I don't really see HOW I can explain what is the Best Answer without discussing what makes it work for me, and how it can be applied in practice.

I appreciate the insights and formulae which were provided in the previous answers. It appears to be that IF "Fallible Monty" is only 66% accurate in predicting the absence of a Prize/Car THEN there is ZERO benefit to switching from your original choice of doors....because his 33% error rate is the default base rate for the Prize being behind ANY door. One assumes, though, that IF Monty gets better than 66% at predicting where there is NO PRIZE THEN switching derives greater Utility.