আরএমএসই এবং এমএই এর একই মান থাকতে পারে?

আমি ক্রস বৈধকরণ বাস্তবায়ন করছি এবং আরএমএসই, , এমএই , এমএসই ইত্যাদির মতো ত্রুটি মেট্রিকগুলি গণনা করছি $R^2$

cross-validation rms mae

হ্যাঁ. কেন না? সর্বদা থাকুক এবং পূর্বাভাসকারী সর্বদা থাকুক । সেখানে আপনার এটি রয়েছে

X

$X$

0

$0$

X

$X$

1

$1$

— ডেভিড

উত্তর:

হ্যাঁ, তাত্ত্বিকভাবে। সবচেয়ে সহজ কেসটি আমি কল্পনা করতে পারি এমন একটি ডেটাসেট যেখানে সমস্ত পূর্বাভাস ত্রুটি (যেমন অবশিষ্টাংশ) হ'ল ১ । আরএমএসই এবং এমএই সমান মানগুলি ফিরিয়ে দেবে। একজন অন্য পরিস্থিতিও তৈরি করতে পারে, তবে খুব সম্ভবত কোনওটিই মনে হয় না। $\pm$

সম্পাদনা: চিহ্নিত করার জন্য @ দিলিপসারওয়েটকে ধন্যবাদ (তাদের দুর্দান্ত উত্তরে @ ব্যবহারকারী20160 দ্বারা আরও ব্যাখ্যা করা হয়েছে) যে সমস্ত ভবিষ্যদ্বাণী ত্রুটির পরম মানগুলি অভিন্ন হলে এই ফলাফলটি সম্ভব possible আমার উদাহরণে 1 1 এর মূল্য সম্পর্কে বিশেষ কিছুই নেই , অন্য কথায়; অন্য কোনও সংখ্যা 1 এর পরিবর্তে কাজ করবে। $\pm$

— এমকেটি - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

আপনি যে অন্যান্য পরিস্থিতিতে কল্পনা করেছিলেন তার উদাহরণ দিতে পারেন? আমি একটি উদাহরণস্বরূপ স্কেলার একাধিক ব্যতীত অন্য উদাহরণগুলি বলতে চাই (যখন সমস্ত অবশিষ্টাংশগুলি। পরিবর্তে হয় ) উপরের উদাহরণটির।

\pm σ

$\pm \sigma$

\pm 1

$\pm 1$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে আমি যখন এই বিষয়ে চিন্তা করছিলাম তখন ব্যবহারকারী ২০১60০ একটি আরও ভাল উত্তর যুক্ত করেছে যা এটি আমার চেয়ে আরও বিশদে আবৃত করে।

— এমকেটি -

@mkt এই ধরনের শব্দগুলির জন্য ধন্যবাদ। আপনার উত্তর সঠিক এবং সংক্ষিপ্ত (+1)

— ব্যবহারকারীর २०१201

@ দিলিপ সরওয়াতে ইনপুটটির জন্য ধন্যবাদ

— - মনিকা

আপনার উত্তর করার জন্য অতিরিক্ত অিঙ্করণশূন্য একটি দম্পতি: (ঝ) হতে হবে এমনকি (বলুন ) এবং (ii) ঠিক অবশিষ্টাংশ মান থাকা আবশ্যক এবং ঠিক অবশিষ্টাংশ মান থাকা আবশ্যক , অবশ্যই উপায়ে যা আপনার বক্তব্য অনুসারে সমস্ত অবশিষ্টের নিখুঁত মান তবে (ii) নিশ্চিত করে যে অবশিষ্টাংশগুলি অবশ্যই তাদের হিসাবে যোগ করবে। অবশিষ্টগুলি হ'ল গড় থেকে বিচ্যুতি এবং তাই অবশ্যই শূন্য হতে হবে।

n

$n$

n = 2 k

$n=2k$

k

$k$

+ σ

$+\sigma$

k

$k$

- σ

$-\sigma$

σ

$\sigma$

0

$0$

— দিলীপ সরোতে

গড় পরম ত্রুটি (এমএই) নির্দিষ্ট শর্তাধীন গড় স্কোয়ার ত্রুটি (এমএসই) বা মূল মানে স্কোয়ার ত্রুটি (আরএমএসই) এর সমান হতে পারে, যা আমি নীচে দেখাব। এই অবস্থাগুলি বাস্তবে হওয়ার সম্ভাবনা কম।

preliminaries

দিন $r_i = |y_i - \hat{y}_i|$ এর জন্য অবশিষ্টের নিরঙ্কুশ মান উল্লেখ করুন $i$ ম ডাটা পয়েন্ট, এবং যাক $r = [r_i, \dots, r_n]^T$ সবার জন্য পরম অবশিষ্টাংশ যুক্ত ভেক্টর হোন $n$ ডেটাসেটে পয়েন্টস। লেটিং $\vec{1}$ ইঙ্গিত a $n \times 1$ ভেক্টর, এমএই, এমএসই, এবং আরএমএসই এইভাবে লেখা যেতে পারে:

\begin{matrix} (1) & M A E = \frac{1}{n} {\vec{1}}^{T} r M S E = \frac{1}{n} r^{T} r R M S E = \sqrt{\frac{1}{n} r^{T} r} \end{matrix}

$MAE = \frac{1}{n} \vec{1}^T r \quad MSE = \frac{1}{n} r^T r \quad RMSE = \sqrt{\frac{1}{n} r^T r} \tag{1}$

MSE

এমএসইকে এমএই এর সমান সেট করা এবং পুনরায় সাজানো দেয়:

\begin{matrix} (2) & (r - \vec{1})^{T} r = 0 \end{matrix}

$(r - \vec{1})^T r = 0 \tag{2}$

এমএসই এবং এমএই সমস্ত ডেটাসেটের জন্য সমান যেখানে পরম অবশিষ্টাংশগুলি উপরের সমীকরণটি সমাধান করে। দুটি সুস্পষ্ট সমাধান হ'ল: $r = \vec{0}$ (শূন্য ত্রুটি আছে) এবং $r = \vec{1}$ (অবশিষ্টাংশ সব $\pm 1$ , যেমন এমকেটি উল্লিখিত হয়েছে)। তবে, অসীম অনেকগুলি সমাধান রয়েছে।

আমরা সমীকরণ ব্যাখ্যা করতে পারি $(2)$ জ্যামিতিকভাবে নিম্নরূপ: এলএইচএস হ'ল ডট পণ্য $r-\vec{1}$ এবং $r$ । জিরো ডট পণ্য অরথোগোনালিকে বোঝায়। সুতরাং, এমএসই এবং এমএই সমান হয় যদি প্রতিটি পরম অবশিষ্টাংশ থেকে 1 টি বিয়োগ করা হয় এমন কোনও ভেক্টরকে মূল পরম অবশিষ্টাংশগুলিতে অরথোগোনাল দেয়।

তদ্ব্যতীত, বর্গ সমাপ্ত করে সমীকরণ $(2)$ এটি আবার লিখতে পারেন:

\begin{matrix} (3) & (r - \frac{1}{2} \vec{1})^{T} (r - \frac{1}{2} \vec{1}) = \frac{n}{4} \end{matrix}

$\Big( r-\frac{1}{2} \vec{1} \Big)^T \Big( r-\frac{1}{2} \vec{1} \Big) = \frac{n}{4} \tag{3}$

এই সমীকরণটি একটি বর্ণনা করে $n$ - মাত্রিক গোলক কেন্দ্রিক $[\frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2}]^T$ ব্যাসার্ধ সহ $\frac{1}{2} \sqrt{n}$ । এমএসই এবং এমএই সমান এবং যদি কেবলমাত্র পরম অবশিষ্টাংশগুলি এই হাইপারস্পিয়ারের পৃষ্ঠে থাকে।

RMSE

এমএমই এর সমান আরএমএসই সেট করা এবং পুনরায় সাজানো দেয়:

\begin{matrix} (4) & r^{T} A r = 0 \end{matrix}

$r^T A r = 0 \tag{4}$

A = (n I - \vec{1} {\vec{1}}^{T})

$A = (n I - \vec{1} \vec{1}^T)$

কোথায় $I$ পরিচয় ম্যাট্রিক্স হয়। সমাধান সেট নাল স্থান এর $A$ ; যে, সব সেট $r$ যেমন যে $A r = \vec{0}$ । নাল স্থানটি সন্ধান করার জন্য এটি নোট করুন $A$ ইহা একটি $n \times n$ সমান তির্যক উপাদানগুলির সাথে ম্যাট্রিক্স $n-1$ এবং অন্যান্য সমস্ত উপাদান সমান $-1$ । বিবৃতি $A r = \vec{0}$ সমীকরণ সিস্টেমের সাথে মিলে যায়:

\begin{matrix} (5) & (n - 1) r_{i} - \sum_{j \neq i} r_{j} = 0 \forall i \end{matrix}

$(n-1) r_i - \sum_{j \ne i} r_j = 0 \quad \forall i \tag{5}$

বা, জিনিসগুলি পুনরায় সাজানো:

\begin{matrix} (6) & r_{i} = \frac{1}{n - 1} \sum_{j \neq i} r_{j} \forall i \end{matrix}

$r_i = \frac{1}{n-1}\sum_{j \ne i} r_j \quad \forall i \tag{6}$

অর্থাৎ প্রতিটি উপাদান element $r_i$ অন্যান্য উপাদানগুলির গড়কে সমান করতে হবে। এই উপাদানটি পূরণ করার একমাত্র উপায় হ'ল সমস্ত উপাদান সমান হয় (এর ফলস্বরূপ বিবেচনা করেও এই ফলাফলটি পাওয়া যেতে পারে) $A$ )। অতএব, সমাধান সেটটিতে অভিন্ন প্রবেশিকা সহ সমস্ত নন-নেগেটিভ ভেক্টর রয়েছে:

{r ∣ r = c \vec{1} \forall c \geq 0}

$\{r \mid r = c \vec{1} \enspace \forall c \ge 0\}$

সুতরাং, আরএমএসই এবং এমএই সমান এবং কেবল যদি অবশিষ্ট অবধিগুলির পরম মানগুলি সমস্ত ডাটা পয়েন্টের জন্য সমান হয়।

— user20160
সূত্র

+1 টি। আমি যাচাই করার একটি প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছি যে এই হাইপারস্ফিয়ার বেশিরভাগ অঞ্চলে রয়েছে যেখানে সমস্ত উপাদান রয়েছে

r

$r$ অ-নেতিবাচক, যা নিখুঁত অবশিষ্টাংশগুলির একটি প্রয়োজনীয়তা: যা আমাকে নিশ্চিত করেছিল যে সত্যই একটি দুর্দান্ত (অ-তুচ্ছ) সমাধান রয়েছে।

— whuber

আসলে, প্রশ্নটি ছিল আরএমএসই এবং এমএই কখনও সমান হতে পারে এবং এমএসই এবং এমএই কখনও সমান হতে পারে কিনা তা নয়। সম্ভবত @ এম কে টি এর উত্তর (বা এর সাধারণ সংস্করণ যা আমি একটি মন্তব্যে বলেছিলাম) আরএমএসই = এমএ প্রশ্নের একমাত্র উত্তর?

— দিলিপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে, হ্যাঁ, এটি পোস্ট করার পরে বুঝতে পেরেছিলাম যে আমি 'আর' অংশটি এড়িয়ে গেছি। আমি এখন আরএমএসই অন্তর্ভুক্ত করতে সম্পাদনা করেছি। আমি বিশ্বাস করি যে আপনি যে সংস্করণটির পরামর্শ দিয়েছেন সেটিই এই ক্ষেত্রে একমাত্র সম্ভাব্য উত্তর।

— ব্যবহারকারী20160

@ শুভ এটি একটি ভাল পয়েন্ট। আমি এই জাতীয় কিছুতে সম্পাদনা করার চেষ্টা করব।

— ব্যবহারকারী20160

@ হাইমাম যদি এখানে কেবল 1 টি মান থাকে তবে সংজ্ঞা অনুসারে আরএমএসই অবশ্যই এমএই এর সমান হতে হবে। কারণ এখানে কেবল 1 ত্রুটি রয়েছে, এটিকে স্কোয়ার করা এবং মূলটি খালি আসল ত্রুটির প্রকৃত মান প্রদান করে।

— এমকেটি - মনিকা পুনরায়