বোমাটি কোথায়: সম্ভাব্যতাটি কীভাবে দেওয়া যায়, প্রদত্ত সারি এবং কলামের योग?

Question

এই প্রশ্নটি পোকেমন সোলসিলবারের একটি মিনি-গেম দ্বারা অনুপ্রাণিত:

কল্পনা করুন এই 5x6 অঞ্চলে 15 টি বোমা লুকানো রয়েছে (EDIT: সর্বাধিক 1 বোমা / সেল):

এখন, সারি / কলামের যোগফল দেওয়া সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রের উপরে বোমা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনাটি আপনি কীভাবে অনুমান করবেন?

আপনি যদি কলাম 5 (মোট বোমা = 5) দেখুন, তবে আপনি ভাবতে পারেন: এই কলামের মধ্যে সারি 2-তে একটি বোমা খুঁজে পাওয়ার সুযোগটি সারি 1 এ একটি খুঁজে পাওয়ার দ্বিগুণ সুযোগ।

এই (ভুল) প্রত্যক্ষ অনুপাতের অনুমান, যা মূলত স্ট্যান্ডার্ড স্বাধীনতা-পরীক্ষা অপারেশনগুলি (চি-স্কোয়ারের মতো) ভুল প্রসঙ্গে আঁকানো হিসাবে বর্ণনা করা যায়, নিম্নলিখিত অনুমানগুলিতে নেতৃত্ব দেয়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে, সরাসরি আনুপাতিকতা 100% এরও বেশি সম্ভাবনার অনুমানের দিকে নিয়ে যায় এবং এর আগেও ভুল হতে পারে।

সুতরাং আমি সমস্ত সম্ভাব্য ক্রমের একটি গণনামূলক সিমুলেশন করলাম যার ফলে 15 টি বোমা দেওয়ার 276 অনন্য সম্ভাবনা তৈরি হয়েছিল। (প্রদত্ত সারি এবং কলামের পরিমাণ)

এখানে 276 টির সমাধানের গড় রয়েছে:

এটি সঠিক সমাধান, তবে সূচকীয় গণনার কাজগুলির কারণে, আমি একটি অনুমানের পদ্ধতিটি খুঁজতে চাই।

আমার প্রশ্ন এখন: এটি নির্ধারণের জন্য কোনও প্রতিষ্ঠিত পরিসংখ্যান পদ্ধতি আছে? আমি ভাবছিলাম যে এটি একটি পরিচিত সমস্যা ছিল কিনা, কীভাবে এটি বলা হয় এবং যদি কোনও কাগজপত্র / ওয়েবসাইট থাকে তবে আপনি সুপারিশ করতে পারেন!

Comments

দ্রুত এবং সহজ পদ্ধতির: সারি ও কলামগুলির উচ্চতর সংখ্যার জন্য, আপনি একটি মন্টি কার্লো সিমুলেশন পরিচালনা করতে পারেন, যেখানে আপনি সম্ভাব্য কনফিগারেশনের এলোমেলো সাবম্যাম্পেল পরীক্ষা করতে পারবেন যা তারপরে সম্ভাবনার সংখ্যা কম। এটি আপনাকে একটি আনুমানিক সমাধান দেবে।

— টিম

আমি আপনার গণনার সমাধান বুঝতে পারি না। কোষে সংখ্যা কি? তারা অবশ্যই 100% পর্যন্ত যোগ করে না, এটি পিএমএফ নয়। তারা সিডিএফের মতো দেখতেও দেখায় না, ডান / নীচের ঘরটি 100% নয়

— আকসাকাল

@ আকসাকাল এগুলি এমন প্রান্তিক সম্ভাবনা যা প্রদত্ত যে কোনও ঘরে একটি বোমা রয়েছে। সংখ্যা 15 যোগ করে বোর্ডে মোট বোমা সংখ্যা।

— ডগল

আপনি যদি ধরেই নিচ্ছেন যে দুটি মার্জিন মার্জিনে শর্তসাপেক্ষ শর্তযুক্ত টেবিলগুলির বিতরণ থেকে (প্যাটফিল্ডের অ্যালগরিদমের মাধ্যমে) নমুনার তুলনায় তুলনামূলকভাবে সহজ are এই আর মান বন্টন বাস্তবায়িত হয় r2dtable(এবং দ্বারা ব্যবহৃত chisq.testএবং fisher.testকিছু পরিস্থিতিতে)।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি কিন্তু পেটফিল্ড অ্যালগরিদমে প্রতি সেল প্রতি ইভেন্টের সংখ্যা কেবল একটিতে সীমাবদ্ধ নয়।

— জারলে টুফ্টো

Answer 1

সমাধান স্থান (বৈধ বোমা কনফিগারেশন) প্রদত্ত ডিগ্রি ক্রম সহ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের সেট হিসাবে দেখা যায়। (গ্রিডটি হ'ল বিয়াডজেসেন্সি ম্যাট্রিক্স)) সেই জায়গাতে অভিন্ন বিতরণ তৈরি করার জন্য মার্কভ চেইন মন্টি কার্লো (এমসিএমসি) পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে যোগাযোগ করা যেতে পারে: "স্যুইচস" এর ক্রম ব্যবহার করে অন্য সমাধানগুলি থেকে প্রতিটি সমাধান নেওয়া যেতে পারে যা আপনার ধাঁধা গঠনে solution মত চেহারা:

$$\begin{pmatrix} x & - \\ - & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} - & x \\ x & - \end{pmatrix}$$

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে এটিতে একটি দ্রুত মেশানো সম্পত্তি রয়েছে। সুতরাং, কোনও বৈধ কনফিগারেশন দিয়ে শুরু করা এবং কিছুক্ষণের জন্য চলমান এমসিসিএম সেট করা, আপনার সমাধানগুলির উপর অভিন্ন বিতরণের একটি আনুমানিক সমাপ্তি হওয়া উচিত, যা আপনি অনুসন্ধানের সম্ভাবনার জন্য পয়েন্টওয়াইজ গড় করতে পারেন can

আমি কেবল এই পদ্ধতিগুলি এবং তাদের গুণগত দিকগুলির সাথে অস্পষ্টভাবে পরিচিত, তবে কমপক্ষে এইভাবে আপনি কোনও সমাধান ছাড়াই সমাধানের বিষয়টি এড়াতে পারবেন না।

বিষয়টিতে সাহিত্যের একটি সূচনা:
https://facchool.math.illinois.edu/~mlavrov/seminar/2018-erdos.pdf
https://arxiv.org/pdf/1701.07101.pdf
https: // www। tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001303

Comments

এটি একটি আশ্চর্যজনক ধারণা! আমার মনে হয় আমি পেয়েছি! আমি নির্ধারিত পরিমাণ পুনরাবৃত্তির জন্য যে কোনও পরিচিত সমাধানের মাধ্যমে মিশ্রণ করি (যেগুলি আমি কাগজপত্রগুলিতে সন্ধানের প্রত্যাশা করি) এবং তারপরে গড় অনন্য সমাধানের উপরে গড় হিসাবে আশা করি যে বেশিরভাগটি পাওয়া যায়। অনেক ধন্যবাদ!

— KaPy3141

এমসিএমসি হ'ল সঠিক উপায় এবং আমি এটিও পেয়েছি: arxiv.org/pdf/1904.03836.pdf

— KaPy3141

@ KaPy3141 উপরের সারি এবং কলামের অঙ্কের জন্য, আমার আয়তক্ষেত্রের লুপ অ্যালগরিদম প্রয়োগ (আরক্সিভ প্রিপ্রিন্টে) কেবল 276 টি স্বতন্ত্র রাজ্য পরিদর্শন করেছে এমনকি যদি আমি পুনরাবৃত্তির জন্য অ্যালগরিদম চালাইও। $10^6$

— জারলে টুফ্টো

যা পরামর্শ দেয় যে @ আকসাকালের পরামর্শ অনুসারে গণনাটি আরও দক্ষ হতে পারে।

— জারলে টুফ্টো

@ জারেল টুফ্টো, তবে ওপি বলছে এখানে কেবল ২ 276 টি অনন্য (বৈধ) রাষ্ট্র রয়েছে; আপনি সব খুঁজে পেয়েছেন!

— বেন রেইনিজার

Answer 2

এর কোনও অনন্য সমাধান নেই

আমি মনে করি না যে আপনি কিছু অতিরিক্ত অনুমান না করলে সত্যিকারের আলাদা আলাদা সম্ভাবনা বন্টন পুনরুদ্ধার করা সম্ভব। আপনার পরিস্থিতি মূলত প্রান্তিকের থেকে যৌথ বিতরণ পুনরুদ্ধার করার একটি সমস্যা। এটি কখনও কখনও শিল্পে কপুলাস ব্যবহার করে সমাধান করা হয় , উদাহরণস্বরূপ আর্থিক ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা, তবে সাধারণত অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য।

উপস্থিতি, স্বতন্ত্র, এএস 205

উপস্থিতি সমস্যাটিতে একটি ঘরে একটির বেশি বোমা ব্যবহারের অনুমতি নেই। আবার, স্বাধীনতার বিশেষ ক্ষেত্রে, তুলনামূলকভাবে দক্ষ গণনীয় সমাধান রয়েছে।

আপনি যদি ফরট্রানকে জানেন, আপনি এই কোডটি ব্যবহার করতে পারেন যা এএস 205 অ্যালগরিদমকে প্রয়োগ করে: আয়ান স্যান্ডার্স, অ্যালগরিদম এএস 205: পুনরাবৃত্ত সারি টোটালস, ফলিত পরিসংখ্যান, খণ্ড 33, সংখ্যা 3, 1984, পৃষ্ঠা 340-352 সহ আর এক্স সি সি টেবিলগুলির সংখ্যা। এটি পেনফিল্ডের আলগো সম্পর্কিত যা @ গ্লেন_বি উল্লেখ করেছেন to

এই আলগো সমস্ত উপস্থিতি টেবিলগুলি গণ্য করে, অর্থাত্ সমস্ত সম্ভাব্য টেবিলগুলির মধ্য দিয়ে যায় যেখানে কেবল একটি বোমা মাঠে। এটি বহুগুণকেও গণনা করে, যেমন একাধিক সারণী যা একই দেখায় এবং কিছু সম্ভাবনা গণনা করে (আপনার আগ্রহী নয়)। এই অ্যালগরিদমের সাহায্যে আপনি সম্পূর্ণ গণনাটি আপনার আগের চেয়ে দ্রুত চালাতে সক্ষম হতে পারেন।

উপস্থিতি, স্বতন্ত্র নয়

এএস 205 অ্যালগরিদম এমন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে সারি এবং কলামগুলি স্বতন্ত্র নয়। এই ক্ষেত্রে আপনাকে গণনা যুক্তি দ্বারা উত্পাদিত প্রতিটি টেবিলের জন্য আলাদা ওজন প্রয়োগ করতে হবে। বোমা স্থাপনের প্রক্রিয়াটির উপর ওজন নির্ভর করবে।

গণনা, স্বাধীনতা

গণনা সমস্যা পারবেন একটির বেশি বোমা অবশ্যই, একটি কক্ষে স্থাপিত। গণনা সমস্যার স্বতন্ত্র সারি এবং কলামগুলির বিশেষ ক্ষেত্রেটি সহজ: যেখানে এবং সারি এবং কলামের প্রান্তিক। উদাহরণস্বরূপ, সারি এবং কলাম , সুতরাং বোমাটি সারি 6 এবং কলাম 3 এ রয়েছে এর সম্ভাবনা । আপনি আসলে আপনার প্রথম সারণীতে এই বিতরণটি তৈরি করেছেন।$P_i^j=P_i\times P^j$$P_i$$P^j$$P_6=3/15=0.2$$P^3=3/15=0.2$$P_6^3=0.04$

গণনা, স্বতন্ত্র নয়, স্বতন্ত্র কোপুলাস

সারি এবং কলামগুলি স্বতন্ত্র নয় এমন গণনাগুলির সমস্যা সমাধানের জন্য, আমরা পৃথক কোপুলাস প্রয়োগ করতে পারি। তাদের সমস্যা আছে: এগুলি অনন্য নয়। এটি যদিও তাদের অকেজো করে না। সুতরাং, আমি আলাদা কপুলাস প্রয়োগ করার চেষ্টা করব। আপনি তাদের সম্পর্কে জেনেস্ট, সি এবং জে নীলেহোভা (2007) এ একটি ভাল ওভারভিউ খুঁজে পেতে পারেন । গণনা ডেটার জন্য কপুলাসের একটি প্রাইমার। অস্টিন বুল 37 (2), 475–515।

কোপুলারা বিশেষত কার্যকর হতে পারে, কারণ তারা সাধারণত স্পষ্টভাবে নির্ভরতা প্ররোচিত করতে বা ডেটা উপলব্ধ হলে ডেটা থেকে এটি অনুমান করার অনুমতি দেয়। বোমা দেওয়ার সময় সারি এবং কলামগুলির নির্ভরতা বলতে চাই। উদাহরণস্বরূপ, ঘটনাটি ঘটতে পারে যখন বোমাটি প্রথম সারিতে থাকে তবে সম্ভবত এটি প্রথম কলামও হবে।

উদাহরণ

আসুন আমরা ধরে নিই কিমেল্ডর্ফ এবং স্যাম্পসন কপুলাকে আপনার ডেটাতে প্রয়োগ করুন, আবার ধরে নিই যে একটি কোষে একাধিক বোমা রাখা যেতে পারে। নির্ভরতা প্যারামিটার-কোটার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: of আপনি ভাবতে পারেন পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের একটি এনালগ হিসাবে।$\theta$

$$C(u,v)=(u^{-\theta}+u^{-\theta}-1)^{-1/\theta}$$ $\theta$

স্বাধীন

আসুন দুর্বল নির্ভরতার ক্ষেত্রে শুরু করুন, , যেখানে আমাদের নিম্নলিখিত সম্ভাব্যতা রয়েছে (পিএমএফ) এবং প্রান্তিক পিডিএফগুলি ডানদিকে এবং নীচে প্যানেলগুলিতে খুব দেখানো হয়েছে:$\theta=0.000001$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে 5 কলামে দ্বিতীয় সারির সম্ভাবনাটি প্রথম সারির চেয়ে দ্বিগুণ বেশি সম্ভাবনা রয়েছে। আপনি নিজের প্রশ্নের মধ্যে যা বোঝাতে চেয়েছিলেন তার বিপরীতে এটি ভুল নয়। সমস্ত সম্ভাবনা অবশ্যই 100% পর্যন্ত যোগ করে, যেমন প্যানেলে প্রান্তিকগুলি ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে মেলে। উদাহরণস্বরূপ, নীচের প্যানেলে 5 কলামটি 1/3 দেখায় যা প্রত্যাশা অনুযায়ী মোট 15 টির মধ্যে 5 টি বোমার সাথে মিল রয়েছে।

ইতিবাচক সম্পর্ক

সাথে শক্তিশালী নির্ভরতা (ধনাত্মক সম্পর্ক) এর জন্য আমাদের নিম্নলিখিত রয়েছে:$\theta=10$

নেতিবাচক সম্পর্ক

শক্তিশালী তবে নেতিবাচক সম্পর্ক (নির্ভরতা) এর জন্য একই :$\theta=-0.2$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সমস্ত সম্ভাবনা অবশ্যই 100% পর্যন্ত যোগ করে। এছাড়াও, আপনি নির্ভরতা কীভাবে পিএমএফ এর আকারকে প্রভাবিত করে তা দেখতে পারেন। ধনাত্মক নির্ভরতা (পারস্পরিক সম্পর্ক) জন্য আপনি তির্যককে কেন্দ্র করে সর্বাধিক পিএমএফ পান

Comments

আপনার উত্তর এবং কপুলাসের জন্য আপনার আকর্ষণীয় লিঙ্কগুলির জন্য অনেক ধন্যবাদ! দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি কপুলগুলি কখনও ব্যবহার করি নি, তাই আমার পক্ষে এমন কোনও সমাধান খুঁজে পাওয়া শক্ত হবে যেটি প্রতি ঘরে প্রতি 1 টি বোমা প্রয়োগ করে, তবে আমি আরও ভালভাবে বুঝতে পারলে অবশ্যই আমি চেষ্টা করব!

— KaPy3141

@ KaPy3141, আমি কোডটি উল্লেখ করেছি যা আপনি সমস্যার সমাধান করতে ব্যবহার করতে পারেন। এটা তোলে F90 মধ্যে, কিন্তু তুলনামূলকভাবে সহজবোধ্য numpy সঙ্গে পাইথন রূপান্তর

— Aksakal

$\theta$$\theta$

প্রক্রিয়াটির জন্য আপনাকে পরামিতিগুলি ফিট করতে হবে। উত্পাদনের প্রক্রিয়াটির সাথে সামঞ্জস্য থাকলে সমস্যাটি খাঁটি সমন্বয়মূলক।

— আকসকাল

Answer 3

আপনার প্রশ্নটি এটিকে পরিষ্কার করে দেয় না, তবে আমি ধরে নিতে চলেছি যে প্রথম দিকে বোমাটি কোষগুলির উপর প্রতিস্থাপন না করে সাধারণ-এলোমেলো-নমুনা দিয়ে বিতরণ করা হয়েছে (সুতরাং কোনও ঘরে একটির বেশি বোমা থাকতে পারে না)। আপনার উত্থাপিত প্রশ্নটি মূলত সম্ভাবনা বন্টনের জন্য একটি অনুমানের পদ্ধতির বিকাশের জন্য জিজ্ঞাসা করছে যা হুবহু (তত্ত্বীয়ভাবে) গণনা করা যেতে পারে, তবে এটি বৃহত প্যারামিটার মানগুলির জন্য গণনা করার জন্য অক্ষম হয়ে যায়।

---

সঠিক সমাধানটি বিদ্যমান, তবে এটি গণনামূলকভাবে নিবিড়

$n \times m$$b$

$\mathbf{x} = (x_1,...,x_{nm})$$\mathbf{s} = (r_1, ..., r_n, c_1, ..., c_m)$$S: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{s}$, যা বরাদ্দ ভেক্টর থেকে সারি এবং কলামের অঙ্কগুলিতে মানচিত্র।

$\mathbb{P}(\mathbf{x}) \propto 1$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(\mathbf{x} | \mathbf{s}) = \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}, \mathbf{s})}{\mathbb{P}(\mathbf{s})} &= \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{1}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|} \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s}) \\[6pt] &= \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathscr{X}_\mathbf{s} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | S(\mathbf{x}) = \mathbf{s} \}$$\mathbf{s}$$\mathbf{x} | \mathbf{s} \sim \text{U}(\mathscr{X}_\mathbf{s})$। অর্থাত, বোমাগুলির জন্য বরাদ্দ ভেক্টরের শর্তযুক্ত বিতরণ পর্যবেক্ষণ করা সারি এবং কলামের योगের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমস্ত বরাদ্দ ভেক্টরগুলির সেটের তুলনায় সমান। প্রদত্ত কক্ষে বোমার প্রান্তিক সম্ভাবনা তখন এই যৌথ বিতরণকে প্রান্তিককরণের মাধ্যমে পাওয়া যায়:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \sum_{\mathbf{x}: x_{ij} = 1} \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}) = \frac{|\mathscr{X}_{ij} \cap \mathscr{X}_\mathbf{s}|}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|}. \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathscr{X}_{ij} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | x_{ij} = 1 \}$$i$$j$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$|\mathscr{X}_\mathbf{s}| = 276$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$n$$m$$b$

---

ভাল অনুমানের পদ্ধতিগুলি অনুসন্ধান করা হচ্ছে

$\mathscr{X}_\mathbf{s}$

নিষ্পাপ অভিজ্ঞতামূলক অনুমানক: আপনি আপনার সবুজ ছকটিতে প্রস্তাব এবং ব্যবহার করেছেন এমন অনুমানকটি হ'ল:

$$\hat{\mathbb{P}}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \frac{r_i}{b} \cdot \frac{c_j}{b} \cdot b = \frac{r_i \cdot c_j}{b}.$$

$b$

Comments

আপনার গভীর উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ! প্রকৃতপক্ষে, আমার সবুজ চার্টে ইতিমধ্যে 133% পর্যন্ত মান রয়েছে। এটি জেনে রাখা ভাল যে এই সমস্যার জন্য কোনও জনপ্রিয় পদ্ধতি নেই এবং এটি নিজের জন্য পরীক্ষা গ্রহণযোগ্য! আমার সবচেয়ে সঠিক অনুমানকটি "সবুজ" পদ্ধতির সাথে সমান, তবে পি (সারি) / যোগফল (পি (সারি)) * পি (সি) / যোগ (পি (কোলস)) এর সমানুপাতিক বোমা বরাদ্দ করার পরিবর্তে, আমি একটি ব্যবহার করি কাল্পনিক পি (আর) / (1-পি (আর)) / যোগফল (সারি) এবং তারপরে পণ্যটি ফিরিয়ে আনুন: পি (রিয়েল) = পি (ইমেগ) / (1 + পি (ইমেজ) This এটি পি <1 কে জোর করে। এখন আমার অনুমান, আমার কেবল

— গণ্যিকভাবে

@ KaPy3141 আপনি একটি নির্দিষ্ট বোমাটি একটি ঘরে রয়েছে এমন মানটি ব্যবহার করতে পারেন (যা 1 টির উপরে হওয়ার সমস্যা নেই) এবং তারপরে সমস্যাটিকে সেই বন্টন থেকে 15 টি বোমা হিসাবে আঁকতে হবে যা প্রতিটি কক্ষের কেবল শর্তে রয়েছে describe মান 0 বা 1 (প্রতিস্থাপন ছাড়াই অঙ্কন)। এই সম্ভাবনা যে 1. অতিক্রম না প্রদান করবে

— সেক্সটাস Empiricus