সাধারণত বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির একগুচ্ছ বৃহত্তম কোনটি?

14

আমার কাছে র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি । এর গড় এবং বৈকল্পিক সহ একটি সাধারণ বিতরণ রয়েছে । ট্রাক স্বাভাবিকভাবে গড় সঙ্গে বিতরণ করা হয় এবং ভ্যারিয়েন্স । সবকিছু পারস্পরিক স্বাধীন। $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

আসুন ঘটনা বোঝাতে যে , এই বৃহত্তম অর্থাত, । আমি গণনা বা অনুমান করতে চাই । আমি , বা একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান বা হিসাবে একটি এক্সপ্রেশন খুঁজছি । $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

আমার অ্যাপ্লিকেশনটিতে, $n$ স্থির হয়েছে ( $n=61$ ) এবং আমি জন্য সবচেয়ে কম মান খুঁজে পেতে চাই $\mu$ যা $\Pr[E] \ge 0.99$ তবে আমি সাধারণ প্রশ্নটি সম্পর্কেও আগ্রহী।

probability normal-distribution

— ডিডাব্লিউ
সূত্র

কত বড়

n

$n$ ? বৃহত-নমুনা তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে কিছু ভাল অ্যাসেম্পোটিক এক্সপ্রেশন হওয়া উচিত।

— শুক্র

@ শুভ, ধন্যবাদ! আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি: আমার ক্ষেত্রে

n = 61

$n=61$ । এমনকি

n = 61

$n=61$ বৃহৎ হিসাবে গণনা করার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে বড় না হলেও, যদি

n

$n$ বড় হয় সেই ক্ষেত্রে যদি ভাল অ্যাসিপোটিক অনুমান হয় তবে এটি আকর্ষণীয় হবে।

— DW

5

সংখ্যাগত সংহতকরণ ব্যবহার করে, ।

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

এই জাতীয় সম্ভাবনার গণনা যোগাযোগ ইঞ্জিনিয়ারদের দ্বারা -ারি অরথোগোনাল সিগন্যালিং নামে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে যেখানে মডেলটি হ'ল সমান-শক্তি সমান সম্ভাব্য অর্থেগোনাল সিগন্যালগুলি সঞ্চারিত হচ্ছে এবং রিসিভার পরীক্ষা করে কোনটি সংক্রমণিত হয়েছিল তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার চেষ্টা করছে ফিল্টারগুলির ফলাফলগুলি সিগন্যালের সাথে মেলে । সংক্রমণিত সংকেতের সনাক্তকরণে শর্তযুক্ত, মিলিত ফিল্টারগুলির নমুনা আউটপুটগুলি (শর্তাধীন) স্বাধীন ইউনিট-ভেরিয়েন্স স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হয়। প্রেরিত সংকেতের সাথে মিলে যাওয়া ফিল্টারটির নমুনা আউটপুট হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যখন অন্য সমস্ত ফিল্টারগুলির আউটপুট হয় $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ এলোমেলো ভেরিয়েবল।

শর্তাধীন একটি সঠিক সিদ্ধান্ত সম্ভাব্যতা (যা বর্তমান প্রেক্ষিতে ঘটনা ) এ নিয়ন্ত্রিত হল যেখানে হ'ল একটি স্ট্যান্ডার্ডের সম্ভাব্যতা বিতরণ সাধারণ এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এবং অতএব শর্তহীন সম্ভাবনা হ'ল যেখানে $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ মান সাধারণ ঘনত্ব ফাংশন। এই অবিচ্ছেদ্য মানটির জন্য কোনও বদ্ধ-ফর্ম প্রকাশ নেই যা অবশ্যই সংখ্যাগতভাবে মূল্যায়ন করা উচিত। ইঞ্জিনিয়াররা পরিপূরক আগ্রহী - সিদ্ধান্তটি ত্রুটিযুক্ত - তবে এটি হিসাবে গণনা করতে পছন্দ করেন না কারণ এটি অনেকগুলি উল্লেখযোগ্য সংখ্যার যথার্থতার জন্য জন্য ইন্টিগ্রালের খুব যত্ন সহকারে মূল্যায়ন প্রয়োজন এবং এ জাতীয় মূল্যায়ণ উভয়ই কঠিন এবং সময়সাপেক্ষ is পরিবর্তে, জন্য অবিচ্ছেদ্য অংশগুলি একত্রিত হয়ে

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ এই অখণ্ডটি সংখ্যাসূচকভাবে মূল্যায়ন করা আরও সহজ, এবং লন্ডসে এবং সাইমন, প্রেন্টাইস-হল 1973, ডোভার দ্বারা টেলিযোগযোগ সিস্টেম ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের অধ্যায় 5-এ এর একটি ফাংশন হিসাবে এর মান গ্রাফড এবং ট্যাবলেট করা হয়েছে 1991 টিপুন ternative বিকল্পভাবে, ইঞ্জিনিয়াররা ইউনিয়ন গণ্ডি বা বনফেরোনি বৈষম্য যেখানে হল পরিপূরক संचयी স্বাভাবিক বিতরণ ফাংশন।

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

ইউনিয়ন আবদ্ধ থেকে আমরা দেখতে যে আকাঙ্ক্ষিত মান জন্য উপরে দ্বারা বেষ্টিত যা আবদ্ধ মূল্য আছে এ । এটি সংখ্যার একীকরণের মাধ্যমে @ ভুবার দ্বারা প্রাপ্ত আরও সঠিক মানের চেয়ে কিছুটা বড় । $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

যোগাযোগ ব্যবস্থার উপর একটি শ্রেণীর জন্য আমার বক্তৃতা নোটের পৃষ্ঠা 161-179 পৃষ্ঠাতে -অরথোগোনাল সিগন্যালিং সম্পর্কে আরও আলোচনা এবং বিশদটি পাওয়া যাবে $M$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

4

একটি আনুষ্ঠানিক উত্তর:

সর্বাধিক পরিবর্তনের সম্ভাব্যতা বিতরণ (ঘনত্ব) : যেখানে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব এবং হল সমষ্টিগত বিতরণ ফাংশন । $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

এটি থেকে আপনি সম্ভাবনাটি গণনা করতে পারেন যে চেয়ে অন্যান্যগুলির চেয়ে বড় $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

আপনার নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশনটির জন্য ট্র্যাক্টিক্যালি এটির মোকাবেলা করার জন্য আপনাকে বিভিন্ন আনুমানিক সন্ধান করতে হবে।

— ডেভ
সূত্র

6

+1 প্রকৃতপক্ষে, ডাবল ইন্টিগ্রাল একক অবিচ্ছেদে সহজ হয়েছে since প্রদান করে যা আমার উত্তর হিসাবে একই।

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— দিলীপ সরোতে