এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি কি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত এবং যদি কেবল তাদের র‌্যাঙ্কগুলি সংযুক্ত থাকে?

Question

ধরে রাখুন সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহুর্তের সাথে ক্রমাগত এলোমেলো পরিবর্তনশীল। স্পিয়ারম্যানের র‌্যাঙ্কের সহসংস্থান সহগের জনসংখ্যার সংস্করণটিকে পিয়ারসনের প্রোডাক্ট-মুহুর্ত সহগ as হিসাবে সংশ্লেষের সংহতগুলির F_X (X) এবং F_Y (Y) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে , যেখানে F_X, F_Y এক্স এবং ওয়াই এর সিডিএফ , অর্থাৎ,$X,Y$$ρ_s$$F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$।

আমি আশ্চর্য হয়েছি যে কেউ এটির সিদ্ধান্ত নিতে পারে কিনা

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

অর্থাত্, যদি আমাদের সাথে র‌্যাঙ্কগুলির মধ্যে লিনিয়ার পারস্পরিক সম্পর্ক থাকে তবেই কি লিনিয়ার পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে?

আপডেট: মন্তব্যে দুটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে কেন

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

সাধারণভাবে সত্য নয়, এমনকি যদি $X$ এবং $Y$ একই বিতরণ থাকে। সুতরাং প্রশ্ন হিসাবে সংস্কার করা উচিত

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

$X$ এবং $Y$ একই বিতরণ থাকলে এটি সত্য / মিথ্যা কিনা তাও আমার কাছে অত্যন্ত আগ্রহের বিষয় ।

(দ্রষ্টব্য: যদি $X$ এবং $Y$ ইতিবাচক হয় পাদ নির্ভরশীল, অর্থাত্, $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ তারপর Hoeffding এর সহভেদাংক সূত্র $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ ফলন করে যে $ρ(X,Y)>0$ এবং $ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Comments

ইঙ্গিত: একটি উত্তর পেতে, একটি নির্বিচারে কঠোরভাবে একঘেয়ে রূপান্তরকরণের অধীনে প্রতিটি পারস্পরিক সম্পর্কের পরিমাপের কী ঘটে তা ভেবে দেখুন।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: ভাল, স্পিয়ারম্যানের rho কঠোরভাবে একঘেয়ে ট্রান্সফর্মেশনের অধীনে অবিচ্ছিন্ন, ধ্রুপদী রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ পরিবর্তন হবে, তবে এর অস্পষ্ট কিভাবে (?) ... বিশেষত আমি জানি না যে লিনিয়ার পারস্পরিক মানটি তার মান রূপটি শূন্যে পরিবর্তন করতে পারে কিনা? কঠোরভাবে একঘেয়ে রূপান্তরের অধীনে শূন্য নয় ... তবে আমি কি আপনার বক্তব্য মিস করেছি?

— এফএসপ্যানহেল

তুমি কি সঠিক পথে আছো! এবং আসুন । এখন, এই দু'জনের কঠোর একঘেয়ে রূপান্তর দেখুন। আমি স্পষ্টভাবে চেক করিনি, তবে সম্ভবত কাজ করবে। $X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y = X^2$$g(z) = \exp(-z/2)$

— কার্ডিনাল

আপনি ঠিক বলেছেন। দ্বিতীয় উদাহরণটি যেমন আমার ইচ্ছা / সন্দেহ হয়েছিল তেমন কার্যকর হয় না। যাইহোক, এই জাতীয় কাউন্টারিক্স নমুনা কীভাবে নির্মাণ করবেন তার সাধারণ নীতি এখনও ধারণ করে। এবং, হ্যাঁ, এই বিষয়টি কোপুলাসের সাথে শক্তভাবে বেঁধে রাখা যেতে পারে। :-)

— কার্ডিনাল

একবার আপনি আপনার পাল্টা নমুনা নিশ্চিত হয়ে গেলে, দয়া করে এই পোস্টের উত্তরে সেগুলি লিখতে বিবেচনা করুন। আমি এটি upvote খুশি হবে। চিয়ার্স।

— কার্ডিনাল

Answer 1

পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য নয় অপরিহার্যভাবে আপনাকে অন্য সম্পর্কে খুব বেশি কিছু বলে দেয়, যেহেতু তারা ডেটা - বিশেষত চরম ডেটা - একেবারেই আলাদাভাবে 'ওজন' করে দেয়। আমি কেবল নমুনাগুলি নিয়ে খেলতে যাচ্ছি, তবে অনুরূপ উদাহরণগুলি দ্বিবিভক্ত ডিস্ট্রিবিউশন / কোপুলাস দিয়ে নির্মিত যেতে পারে।

1. স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক 0 পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক 0 :

প্রশ্নে উল্লিখিত হিসাবে, মন্তব্যে উদাহরণ রয়েছে, তবে মূল কাঠামোটি হল "স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক 0 হ'ল একটি কেস তৈরি করুন, তারপরে একটি চূড়ান্ত পয়েন্ট নিন এবং স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক পরিবর্তন না করে এটিকে আরও চরম করুন"

মন্তব্যের উদাহরণগুলি খুব ভালভাবে কভার করে, তবে আমি এখানে আরও একটি 'এলোমেলো' উদাহরণ দিয়ে খেলতে চলেছি। সুতরাং এই ডেটাটি বিবেচনা করুন (আর এ), যা নির্মাণের মাধ্যমে স্পিয়ারম্যান এবং পিয়ারসন উভয়ই পারস্পরিক সম্পর্ক 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

এখন 1000 থেকে y [12] যোগ করুন এবং x [9] থেকে 0.6 বিয়োগ করুন; স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক অপরিবর্তিত তবে পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক এখন 0.1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(আপনি যদি পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্কের বিষয়ে দৃ strong় তাত্পর্য চান তবে পুরো নমুনাটি কয়েকবার প্রতিলিপি করুন))

২. পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক 0 স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক 0 :

এখানে শূন্য পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্কের দুটি উদাহরণ রয়েছে তবে ননজারো স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ক (এবং আবারও যদি আপনি এই স্পিয়ারম্যান সম্পর্কের বিষয়ে দৃ strong় তাত্পর্য চান তবে কেবল পুরো নমুনাটি কয়েকবার প্রতিলিপি করুন)।

উদাহরণ 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

উদাহরণ 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

এই শেষ উদাহরণে, পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ককে 0-এ বজায় রাখতে শীর্ষে বাম এবং নীচে দুটি পয়েন্টকে আরও চূড়ান্ত করার সময় y = x এ আরও পয়েন্ট যুক্ত করে স্পিয়ারম্যান পারস্পরিক সম্পর্ককে আরও শক্তিশালী করা যেতে পারে।