Th দ্বারা প্রদত্ত

যার বিতরণ সম্পর্কে $n$ তম সংকলনটি দ্বারা দেওয়া আছে সেখানে কি কোনও তথ্য আছে? $\frac 1 n$ ? কোমল্যান্ট-জেনারেটিং ফাংশনটিফর্মের

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$ কিছু এলোমেলো ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ বিতরণ হিসাবে আমি এটি পেরিয়ে গিয়েছি তবে আমি এর কোনও তথ্য খুঁজে পাইনি।

distributions mgf cumulants

— লোক
সূত্র

আমি দেখতে পারছি না যে এই ফাংশন

তোমাদের দিয়েছি দাবি সম্পত্তি আছে! আপনি yoiur কাজ সংশোধন করা উচিত। এক্সফোনেনশিয়াল এন সমাকলনকে

সাথে শূন্যের নিকটে সংহত করে শূন্যের কাছাকাছি সংখ্যাগুলি

হয়ে যায় , তাই ডাইভারজেন্ট হয়। যাতে অবিচ্ছেদ্য কোনও ক্রম উত্পাদনকারী ফাংশন উপস্থাপন করতে পারে না।

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

পুনঃটুইট করুন Approximating

সঙ্গে

দেয়

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

জন্য

। এছাড়াও, অনুযায়ীএইফাংশন আমি দিয়েছিলাম হাইপারবোলিক কোসাইন এবং সাইন ইন্টেগ্রাল পরিপ্রেক্ষিতে একটি পরিচিত অবিচ্ছেদ্য হয়েছে। যে দেখাতে

দাবি সম্পত্তি ঠিক কাছাকাছি একটি পূর্ণ টেলর সিরিজ না

জন্য

এবং সমষ্টি মাধ্যমে অবিচ্ছেদ্য ধাক্কা জন্য টেলর সিরিজ পেতে

প্রায়

।

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— লোক

সিম্পি বলেছে যে অবিচ্ছেদ্যটি বিচ্ছিন্ন (তার নিজস্ব উদ্ভট উপায়ে!)। তবে সিম্পি অবশ্যই ভুল হতে পারে, আমি এখন এটি দেখতে পাচ্ছি, কিছু সংখ্যার একীকরণের জন্য পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছি এবং এটি ঠিক ভাল কাজ করে। আবার চেষ্টা করবে।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

ওল্ফ্রাম আলফাসের ফলাফলের দিকে তাকালে, এটিও সঠিক হতে পারে না, যখন টি শূন্যের কাছে পৌঁছায় তখন এটি একটি শূন্য-বহির সীমা থাকে, যখন

পরিষ্কার হয়।

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

আমি বিশ্বাস করি এটি সম্পূর্ণরূপে অবিরত

। এটি কম্পাউড পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলের সীমা হিসাবে উপলব্ধি করা হয়েছে; যেমন

একটি হার যৌগ পইসন

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

এবং জাম্পিং বিতরণ ঘনত্ব

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

এই বিতরণে দুর্বল রূপান্তরিত করে।

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— লোক

সঞ্চিতদের মানগুলি জানার ফলে আমাদের এই সম্ভাব্যতা বিতরণের গ্রাফটি কেমন হবে তার একটি ধারণা পাওয়ার অনুমতি দেয়। বিতরণের গড় এবং বৈকল্পিকতা

ই [ওয়াই] = κ_{1} = 1, var [ওয়াই] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

যদিও এর স্কিউনেস এবং অতিরিক্ত কুর্তোসিস সহগ রয়েছে

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

সুতরাং এটি পজিটিভ এলোমেলো ভেরিয়েবলের ইতিবাচক স্কিউনেস প্রদর্শন করার জন্য একটি চেনা গ্রাফিক হতে পারে। সম্ভাব্যতা বিতরণের খোঁজার জন্য হিসেবে, একটি কারিগর এর পদক্ষেপ, একটি জেনেরিক বিযুক্ত সম্ভাব্যতা বিতরণের উল্লেখ মান গ্রহণ হতে পারে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতা সঙ্গে $\{0,1,...,m\}$ , এবং তারপরে অজানা হওয়ার সম্ভাবনাগুলি সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠনের উদ্দেশ্য নিয়ে কাঁচা মুহুর্তগুলি গণনা করতে কমুলেন্টগুলি ব্যবহার করুন। Cumulants দ্বারা কাঁচা মুহূর্ত সাথে সম্পর্কিত হয় $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ প্রথম পাঁচটি কাঁচা মুহুর্তের জন্য সমাধান হয়েছে যা এটি দেয় (শেষে সংখ্যার মানটি আমাদের ক্ষেত্রে সংখ্যার তুলনায় নির্দিষ্ট)

κ_{এন} = μ_{এন}^{'} - Σ_{আমি = 1}^{এন - 1} (\binom{এন - 1}{আমি - 1}) κ_{আমি} μ_{এন - আমি}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

আমরা (প্রতিমুহূর্তে) সেট করেন তাহলে

আমরা সমীকরণ ব্যবস্থা আছে

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + + 3 κ_{2} κ_{1} + + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + + 4 κ_{3} κ_{1} + + 3 κ_{2}^{2} + + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + + 5 κ_{4} κ_{1} + + 10 κ_{3} κ_{2} + + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$

m = 5

$m=5$

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

Of course we do not want $m$ to be equal to $5$ . But increasing gradually $m$ (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

— Alecos Papadopoulos
সূত্র

এটি দুর্দান্ত। সম্ভবত আমি কিছু ধরণের এজওয়ার্থ সম্প্রসারণও করতে পারি? প্রকৃতপক্ষে, আমার ঘনত্বটি ইতিমধ্যে কেমন দেখায় সে সম্পর্কে ধারণা আছে (এটি বিদ্যমান বলে ধরে নিচ্ছি) যেহেতু আমি এখান থেকে সরাসরি অনুকরণ করতে পারি। এটি খুব আশ্চর্যজনক - এটি কিছু পরিসরের চেয়ে অভিন্ন দেখায়

(0, a)

$(0, a)$ এবং তারপর

(a, \infty)

$(a, \infty)$ এটি ক্ষতিকারক লেজের মতো কিছু নিয়ে ক্ষয় হয় (আমি সিমুলেশনটি তৈরি করে অনেক দিন হয়ে গেছে)।

— লোক

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies