এক্স এবং ওয়াই স্বতন্ত্র হলে দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের পণ্যের পিডিএফ কী? এক্স সাধারণ বিতরণ করা হয় এবং ওয়াই চি-স্কোয়ার বিতরণ করা হয়।

জেড = এক্সওয়াই

যদি $X$ সাধারণ বিতরণ থাকে তবে

X \sim N (μ_{x}, σ_{x}^{2})

$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} (\frac{x - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}}

$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$ এবং

Y

$Y$ সঙ্গে চি-বর্গক্ষেত্র ডিস্ট্রিবিউশন আছে

k

$k$ স্বাধীনতা ডিগ্রী

Y \sim χ_{k}^{2}

$Y\sim \chi_k^2$

f_{Y} (y) = \frac{y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} u (y)

$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$ whre

u (y)

$u(y)$ ইউনিট পদক্ষেপ ফাংশন।

এখন, এবং স্বতন্ত্র হলে পিডিএফ কী ? $Z$ $X$ $Y$

ওয়ান ওয়ে সমাধান খুঁজে বের করার Rohatgi এর সুপরিচিত ফলাফল (1976, p.141) ব্যবহার করতে যদি একটানা আরভি এর যৌথ পিডিএফ হতে এবং , এর পিডিএফ হয় $f_{XY}(x,y)$ $X$ $Y$ $Z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X Y} (\frac{z}{y}, y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$

যেহেতু, এবং স্বাধীন $X$ $Y$ $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{| y |} f_{X} (\frac{z}{y}) f_{Y} (y) d y

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$

যেখানে আমরা অবিচ্ছেদ্য সমাধানের সমস্যার মুখোমুখি

f_{Z} (z) = \frac{1}{σ_{x} \sqrt{2 π}} \frac{1}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

। কেউ কি আমাকে সাহায্য করতে পারবেন এই সমস্যা সমাধান জন্য.

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{| y |} e^{- \frac{1}{2} (\frac{\frac{z}{y} - μ_{x}}{σ_{x}})^{2}} y^{(k / 2) - 1} e^{- y / 2} d y

$\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

এটি সমাধান করার কোন বিকল্প উপায় আছে?

normal-distribution chi-squared random-variable

— পক্ষীবিশেষ
সূত্র

শেষ পদক্ষেপটি বেশ সঠিক দেখাচ্ছে না। "

"মানে মনে হচ্ছে

কিন্তু - আরো গুরুত্বপূর্ণভাবে - আপনি শুধু নিম্ন সীমা পরিবর্তন করতে পারেন

: আপনি দুটি আলাদা বেশী মধ্যে অবিচ্ছেদ্য ভঙ্গ করা প্রয়োজন

, পরিবর্তন

নেতিবাচক সীমার মধ্যে এক জন্য , এবং তারপরে দু'টিকে একত্রিত করুন I আমি বিশ্বাস করি এটি একীকরণকে ট্র্যাকটেবল করে তুলতে পারে: এটি সাধারণীকরণের

f_{\frac{X}{Y}}

$f_\frac{X}{Y}$

f_{X}

$f_X$

0

$0$

0

$0$

y \to - y

$y\to -y$

— হাইপারজেমেট্রিক

হ্যাঁ, যে একটা ভুল ছিল

হওয়া উচিত

f_{\frac{Z}{Y}} (\frac{z}{y})

$f_{Z\over Y}({z\over y})$

।

f_{X} (\frac{z}{y})

$f_X({z\over y})$

— রবিন

তবে আমি অনুমান করি যে নিম্ন সীমাটি 0 এ পরিবর্তন করা বৈধ হবে কারণ

একটি ফাংশন

যা ইউনিট স্টেপ ফাংশন

দ্বারা নির্দেশিত ।

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

u (y)

$u(y)$

— রবিন

আমি আর এই ধরণের কম্পিউটেশনের প্রশিক্ষণ পাই না ... তবে বন্ধ বদ্ধ সূত্রটি দিয়ে শেষ হওয়া সম্ভব বলে মনে হয় না। ব্যবহারিক প্রয়োগের জন্য যদি আপনার এটির প্রয়োজন হয় তবে আমার মনে হয় আপনার "কীভাবে এটি দক্ষতার সাথে গণনা করা যায়" তার দিকে মনোনিবেশ করা উচিত।

— এলভিস

এই প্রশ্নের জন্য কোন প্রেরণা আছে? একটি স্বাভাবিক একটি দ্বারা বিভক্ত

একটি স্টুডেন্টস হয়

, কিন্তু কেন আপনি বিবেচনা করবে একটি সাধারন গুন বা দ্বারা বিভক্ত

χ

$\chi$

t

$t$

χ^{2}

$\chi^2$

— শি'আন

simplify the term in the integral to

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

find the polynomial $p(y)$ such that

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

which reduces to finding $p(y)$ such that

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

which can be done evaluating all powers of $y$ seperately

edit after comments

Above solution won't work as it diverges.

Yet, some others have worked on this type of product.

Using Fourrier transform:

Schoenecker, Steven, and Tod Luginbuhl. "Characteristic Functions of the Product of Two Gaussian Random Variables and the Product of a Gaussian and a Gamma Random Variable." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

For the product $Z=XY$ with $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ and $Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$ they obtained the characteristic function:

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

with $D_\alpha$ Whittaker's function ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )

Using Mellin transform:

Springer and Thomson have described more generally the evaluation of products of beta, gamma and Gaussian distributed random variables.

Springer, M. D., and W. E. Thompson. "The distribution of products of beta, gamma and Gaussian random variables." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

They use the Mellin integral transform. The Mellin transform of $Z$ is the product of the Mellin transforms of $X$ and $Y$ (see http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 or https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201). In the studied cases of products the reverse transform of this product can be expressed as a Meijer G-function for which they also provide and prove computational methods.

They did not analyze the product of a Gaussian and gamma distributed variable, although you might be able to use the same techniques. If I try to do this quickly then I believe it should be possible to obtain an H-function (https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) although I do not directly see the possibility to get a G-function or make other simplifications.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

you get

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

and the distribution of $Z$ is:

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

which looks to me (after a change of variables to eliminate the $2^{\frac{3}{2}(s-1)}$ term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both $s$ and $s/2$ complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the $s/2$ could be transformed into $s$ by substituting the variable $x=w^2$ . But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.

— Sextus Empiricus
সূত্র

... which yields ...?

— wolfies

it gives the antiderivative of the term in the integral that is to be solved according to the question

— Sextus Empiricus

It is unclear what progress this analysis represents. Do you obtain a solution or not?

— whuber

Finding the coefficients of the polynomial

p (y)

$p(y)$ (which closes the solution) is a tedious, but straightforward, task which I left open. I will soon enter some examples for some

k

$k$ .

— Sextus Empiricus

দুটি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল, সাধারণ এবং চি-স্কোয়ারের পণ্যের পিডিএফ

edit after comments

Using Fourrier transform:

Using Mellin transform: