রিগ্রেশন সহগকে কীভাবে স্বাভাবিক করা যায় সে সম্পর্কে প্রশ্ন

Question

এখানে ব্যবহারের জন্য সাধারণ শব্দটি সঠিক শব্দ কিনা তা নিশ্চিত নন, তবে আমি কী জিজ্ঞাসার চেষ্টা করছি তা চিত্রিত করার জন্য যথাসাধ্য চেষ্টা করব। এখানে ব্যবহৃত অনুমানকটি সর্বনিম্ন স্কোয়ার।

ধরুন আপনার , আপনি এটিকে যেখানে কেন্দ্রস্থল করতে পারেন যেখানে এবং , তাই যে \ beta_0 ' আর আনুমানিক হিসাব কোন প্রভাব আছে \ beta_1 ।$y=\beta_0+\beta_1x_1$$y=\beta_0'+\beta_1x_1'$$\beta_0'=\beta_0+\beta_1\bar x_1$$x_1'=x-\bar x$$\beta_0'$$\beta_1$

আমি বিদাতের মাধ্যমে $\hat\beta_1$ মধ্যে $y=\beta_1x_1'$ সমতূল্য $\hat\beta_1$ মধ্যে $y=\beta_0+\beta_1x_1$ । আমরা স্বল্পতম বর্গাকার গণনার জন্য সমীকরণকে হ্রাস করেছি।

আপনি সাধারণভাবে এই পদ্ধতিটি কীভাবে প্রয়োগ করেন? এখন আমার কাছে y = \ beta_1e ^ {x_1t} + \ beta_2e ^ {x_2t the মডেল রয়েছে $y=\beta_1e^{x_1t}+\beta_2e^{x_2t}$, আমি এটি y = \ beta_1x 'এ হ্রাস করার চেষ্টা করছি $y=\beta_1x'$।

Comments

আপনি কী ধরণের ডেটা বিশ্লেষণ করছেন এবং কেন আপনি আপনার মডেল থেকে কোনও কোভারিয়েট, ই _1 _1 x_1t remove মুছে ফেলতে চান $e^{x_1t}$? এছাড়াও, এমন কোনও কারণ আছে যা আপনি বাধাটি মুছে ফেলছেন? আপনি যদি ডেটা-সেন্টারটি কেন্দ্র করে থাকেন তবে কোনও বাধা ছাড়াই / ছাড়া মডেলটিতে opeাল একই হবে, তবে ইন্টারসেপ্টযুক্ত মডেলটি আপনার ডেটার আরও ভাল ফিট করবে।

— ক্যাবুরকে

@ ক্যাবুরকে আমি মডেলের ফিট সম্পর্কে উদ্বিগ্ন নই, কারণ আমি $\beta_1$ এবং \ বিটা_2 গণনা করার পরে $\beta_2$এগুলি আবার মডেলটিতে রাখতে পারি। এই ব্যায়াম পয়েন্ট অনুমান হয় $\beta_1$ । মূল সমীকরণটি কেবলমাত্র y = \ beta_1x 'এ হ্রাস করার মাধ্যমে $y=\beta_1x'$, সর্বনিম্ন বর্গ গণনা সহজ হবে (x' আমি যা জানার চেষ্টা করছি তারই একটি অংশ, এতে ই ^ {x_1t$e^{x_1t}$ । অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে )। আমি পদ্ধতিগুলি শেখার চেষ্টা করছি, এটি টুয়ের একটি বই থেকে একটি প্রশ্ন।

— সাবের সিএন

@ CA আপনার মন্তব্যের শেষে পর্যবেক্ষণটি চমকে উঠছে। এটি সম্ভবত অ-রৈখিক এক্সপ্রেশনগুলির জন্য প্রযোজ্য নয় - এগুলিতে এমন কোনও কিছু নেই যা যুক্তিসঙ্গতভাবে ""াল" হিসাবে বিবেচিত হতে পারে - তবে এটি ওএলএস সেটিংয়ে সঠিক নয়: মধ্যকেন্দ্রিক ডেটাগুলির জন্য ফিটগুলি যথাযথভাবে যথাযথ হিসাবে ভাল একটি বাধা সঙ্গে ফিট। সাবের, আপনার মডেলটি দ্ব্যর্থক: কোনটি $\beta_1, \beta_2, x_1, x_2, t$ ভেরিয়েবল এবং কোনটি পরামিতি? উদ্দিষ্ট ত্রুটি কাঠামো কি? (এবং Tukey বই যা থেকে প্রশ্ন হল?)

— whuber

@ শুভ এটি টুয়ের বই "ডেটা বিশ্লেষণ এবং রিগ্রেশন: পরিসংখ্যানের দ্বিতীয় কোর্স" অধ্যায় 14 এ থেকে এসেছে। আমরা যে অনুমান করার চেষ্টা করছি, হ'ল এন পর্যবেক্ষণের সাথে প্রতিটি ভেরিয়েবল, আমি ধরে নিই পর্যবেক্ষণগুলির সাথে যুক্ত সময় পরিবর্তনশীল, তবে এটি নির্দিষ্ট করে নি। ত্রুটিটি স্বাভাবিক হওয়া উচিত এবং এই প্রশ্নের জন্য এড়ানো যায়। $\beta_1,\beta_2$$x_1,x_2$$t$

— সাবের সিএন

@ যেহেতু আমি বেশিরভাগই পোস্টের প্রথম অংশটি উল্লেখ করছিলাম তবে এটি আমার মন্তব্যে পরিষ্কার ছিল না। আমি যা বোঝাতে চাইছিলাম তা হল যদি আপনি কেবলমাত্র সেন্টার , এবং না হন, যেমন এটি ওপিতে প্রস্তাবিত বলে মনে হয়েছিল, এবং তারপরে ইন্টারসেপটি সরিয়ে ফেলুন তবে ফিটটি আরও খারাপ হবে, যেহেতু এটি । । ওপির শেষ লাইনে উল্লিখিত মডেলের সহগের জন্য Slাল স্পষ্টতই ভাল শব্দ নয়। $x$$y$$\bar{y}=0$

— ক্যাবর্ক

Answer 1

যদিও আমি এখানে প্রশ্নটির পক্ষে ন্যায়বিচার করতে পারি না - এর জন্য একটি ছোট মোনোগ্রাফের প্রয়োজন হবে - এটি কিছু মূল ধারণাগুলি পুনর্নির্মাণে সহায়ক হতে পারে।

প্রশ্নটি

আসুন প্রশ্নটি পুনরায় শুরু করে এবং দ্ব্যর্থহীন পরিভাষা ব্যবহার করে শুরু করি। তথ্য আদেশ জোড়া একটি তালিকা গঠিত । জ্ঞাত ধ্রুবক এবং নির্ধারণ মান এবং । আমরা একটি মডেল পোষ্ট$(t_i, y_i)$ $\alpha_1$$\alpha_2$$x_{1,i} = \exp(\alpha_1 t_i)$$x_{2,i} = \exp(\alpha_2 t_i)$

$$y_i = \beta_1 x_{1,i} + \beta_2 x_{2,i} + \varepsilon_i$$

জন্য ধ্রুবক এবং , আনুমানিক করা র্যান্ডম হয়, এবং - যাহাই হউক না কেন একটি ভাল পড়তা করুন - স্বাধীন ও একটি সাধারণ ভ্যারিয়েন্স (যার প্রাক্কলন সুদের হয়) হচ্ছে।β 2 ε $\beta_1$$\beta_2$$\varepsilon_i$

পটভূমি: লিনিয়ার "ম্যাচিং"

মোস্টেলার এবং টুকি = এবং কে "ম্যাচার্স" হিসাবে উল্লেখ করে। এগুলি এর একটি নির্দিষ্ট উপায়ে "মিল" করতে ব্যবহার করা হবে , যা আমি বর্ণনা করব। আরো সাধারণভাবে, দিন এবং একই ইউক্লিডিয় ভেক্টর স্থান কোন দুটি ভেক্টর, সাথে থাকতে "লক্ষ্য" এবং এর ভূমিকায় "মিলকারীর" যে। আমরা একাধিক দ্বারা আনুমানিক করার জন্য নিয়মিতভাবে একটি গুণফল পরিবর্তিত হয়ে চিন্তা করি । ( x 1 , 1 , x 1 , 2 , … ) x 2 y = ( y 1 , y 2 , … ) y x y x λ y λ x λ x y y - λ $x_1$$(x_{1,1}, x_{1,2}, \ldots)$$x_2$$y = (y_1, y_2, \ldots)$$y$$x$$y$$x$$\lambda$$y$$\lambda x$$\lambda x$$y$ হিসাবে সম্ভব। সমানভাবে, এর বর্গক্ষেত্র দৈর্ঘ্য হ্রাস করা হয়।$y - \lambda x$

এই ম্যাচিং প্রক্রিয়াটি ভিজ্যুয়ালাইজ করার একটি উপায় হ'ল এবং এর একটি স্কেটারপ্ল্লট তৈরি করা যার উপর mb ল্যাম্বদা এর গ্রাফ আঁকা । স্ক্যাটারপ্ল্লট পয়েন্ট এবং এই গ্রাফের মধ্যে উল্লম্ব দূরত্বগুলি অবশিষ্টাংশের ভেক্টর এর উপাদান ; তাদের স্কোয়ারগুলির যোগফল যতটা সম্ভব ছোট করা উচিত। আনুপাতিকতার ধারাবাহিকতা অবধি, এই স্কোয়ারগুলি হল সমান পয়েন্টগুলি কেন্দ্রিক বৃত্তের ক্ষেত্রগুলি : অবশিষ্টাংশগুলির সমান: আমরা এই সমস্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলগুলির যোগফল হ্রাস করতে চাই।y x → λ x y - λ x ( x i , y i$x$$y$$x \to \lambda x$ $y - \lambda x$$(x_i, y_i)$

মাঝের প্যানেলে সর্বোত্তম মান দেখানোর উদাহরণ এখানে রয়েছে :$\lambda$

স্ক্যাটারপ্লোটের পয়েন্টগুলি নীল; এর গ্রাফটি একটি লাল রেখা। এই চিত্রটিতে জোর দেওয়া হয়েছে যে লাল রেখাটি উত্সটি দিয়ে যেতে বাধ্য হয় : এটি লাইন ফিটিংয়ের একটি খুব বিশেষ ক্ষেত্রে case( 0 , 0 $x \to \lambda x$$(0,0)$

একাধিক রিগ্রেশন ক্রমিক মিলের মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে

প্রশ্নের সেটিংয়ে ফিরে এসে আমাদের কাছে একটি লক্ষ্য এবং দুটি ম্যাথার এবং । আমরা সংখ্যার চাইতে এবং যার জন্য দ্বারা ঘনিষ্ঠভাবে যতটা সম্ভব আনুমানিক হয় কম দূরত্ব অর্থে আবার। ইচ্ছামত শুরু , Mosteller & Tukey অবশিষ্ট ভেরিয়েবল মেলে এবং করার । এই ম্যাচের রেসিডুয়ালগুলি এবং as হিসাবে লিখুন : নির্দেশ করে যেx 1 x 2 b 1 b 2 y b 1 x 1 + b 2 x 2 x 1 x 2 y x 1 x 2 ⋅ 1 y ⋅ 1 ⋅ 1 x $y$$x_1$$x_2$$b_1$$b_2$$y$$b_1 x_1 + b_2 x_2$$x_1$$x_2$$y$$x_1$$x_{2\cdot 1}$$y_{\cdot 1}$$_{\cdot 1}$$x_1$ কে ভেরিয়েবলের "বাইরে" নেওয়া হয়েছে।

আমরা লিখতে পারি

$$y = \lambda_1 x_1 + y_{\cdot 1}\text{ and }x_2 = \lambda_2 x_1 + x_{2\cdot 1}.$$

নিয়ে যাওয়া হচ্ছে বাইরে এবং , আমরা লক্ষ্য অবশিষ্টাংশ মেলে এগিয়ে থেকে মিলকারীর অবশিষ্টাংশ । চূড়ান্ত অবশিষ্টাংশ হয় । বীজগণিতভাবে, আমরা লিখেছিx 2 y y ⋅ 1 x 2 ⋅ 1 y ⋅ $x_1$$x_2$$y$$y_{\cdot 1}$$x_{2\cdot 1}$$y_{\cdot 12}$

$$\eqalign{ y_{\cdot 1} &= \lambda_3 x_{2\cdot 1} + y_{\cdot 12}; \text{ whence} \\ y &= \lambda_1 x_1 + y_{\cdot 1} = \lambda_1 x_1 + \lambda_3 x_{2\cdot 1} + y_{\cdot 12} =\lambda_1 x_1 + \lambda_3 \left(x_2 - \lambda_2 x_1\right) + y_{\cdot 12} \\ &=\left(\lambda_1 - \lambda_3 \lambda_2\right)x_1 + \lambda_3 x_2 + y_{\cdot 12}. }$$

এ থেকে জানা যায় শেষ ধাপে সহগ হয় একটি ম্যাচিং মধ্যে এবং করার ।এক্স 2 এক্স 1 এক্স 2$\lambda_3$$x_2$$x_1$$x_2$$y$

আমরা শুধু পাশাপাশি প্রথম গ্রহণ করে অগ্রসর থাকতে পারে বাইরে এবং , উত্পাদক এবং , এবং তারপর গ্রহণ বাইরে , অবশিষ্টাংশ একটি ভিন্ন সেট ফলনশীল । এবার সহগ শেষ ধাপে পাওয়া যায় নি - আসুন একে ডাকতে সহগ --is একটি ম্যাচিং মধ্যে এবং করার ।x 1 y x 1 ⋅ 2 y ⋅ 2 x 1 ⋅ 2 y ⋅ 2 y ⋅ 21 x 1 μ 3 x 1 x 1 x 2$x_2$$x_1$$y$$x_{1\cdot 2}$$y_{\cdot 2}$$x_{1\cdot 2}$$y_{\cdot 2}$$y_{\cdot 21}$$x_1$$\mu_3$$x_1$$x_1$$x_2$$y$

পরিশেষে, তুলনার জন্য, আমরা এবং বিপরীতে একাধিক (সাধারণ সর্বনিম্ন স্কোয়ার রিগ্রেশন) চালাতে পারি । সেই অবশিষ্টাংশ হতে দিন । দেখা যাচ্ছে যে এই একাধিক রিগ্রেশনের পূর্বে পাওয়া এবং পাওয়া গিয়েছে এবং , , এবং , অভিন্ন।x 1 x 2 y ⋅ l m μ 3 λ 3 y ⋅ 12 y ⋅ 21 y ⋅ l $y$$x_1$$x_2$$y_{\cdot lm}$$\mu_3$$\lambda_3$$y_{\cdot 12}$$y_{\cdot 21}$$y_{\cdot lm}$

প্রক্রিয়া চিত্রিত করা

এগুলির কোনওটিই নতুন নয়: এটি সমস্ত কিছুই পাঠ্যে রয়েছে। আমি এখন অবধি যা কিছু পেয়েছি তার জন্য একটি স্ক্যাটারপ্লট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে চিত্রের বিশ্লেষণের প্রস্তাব দিতে চাই।

যেহেতু এই ডেটাগুলি সিমুলেটেড করা হয়েছে, আমাদের সর্বশেষ সারি এবং কলামে অন্তর্নিহিত "সত্য" মানগুলি দেখানোর বিলাসিতা রয়েছে : এগুলি ত্রুটিটি যুক্ত না করেই ।β 1 x 1 + β 2 x $y$$\beta_1 x_1 + \beta_2 x_2$

ত্রিভুজের নীচের স্ক্যাটারপ্লটগুলি প্রথম চিত্রের মতো ঠিক ম্যাচেরদের গ্রাফ দিয়ে সজ্জিত করা হয়েছে। শূন্য opালু সহ গ্রাফগুলি লাল রঙে আঁকা: এগুলি এমন পরিস্থিতি নির্দেশ করে যেখানে ম্যাচার আমাদের নতুন কিছু দেয় না; অবশিষ্টাংশ লক্ষ্য হিসাবে একই। এছাড়াও, রেফারেন্সের জন্য, উত্সটি (এটি প্লটের অভ্যন্তরে যেখানেই প্রদর্শিত হবে) একটি খোলা লাল বৃত্ত হিসাবে দেখানো হয়েছে: মনে রাখবেন যে সমস্ত সম্ভাব্য মিলিত লাইনগুলি এই বিন্দুটি দিয়ে যেতে হবে।

এই প্লট অধ্যয়নের মাধ্যমে রিগ্রেশন সম্পর্কে অনেক কিছু জানতে পারে। কিছু হাইলাইটগুলি হ'ল:

• থেকে (সারি 2, কলাম 1) এর মিল খুব কম। এটি একটি ভাল জিনিস: এটি নির্দেশ করে যে এবং খুব আলাদা তথ্য সরবরাহ করছে; উভয় একসাথে ব্যবহার সম্ভবত একা ব্যবহার না করে চেয়ে অনেক বেশি উপযুক্ত ।x 1 x 1 x 2$x_2$$x_1$$x_1$$x_2$$y$

• একবার কোনও ভেরিয়েবলকে লক্ষ্য থেকে বাইরে নিয়ে যাওয়ার পরে সেই পরিবর্তনশীলটিকে আবার বের করে নেওয়ার চেষ্টা করা ভাল নয়: সেরা মিলের লাইনটি শূন্য হবে। জন্য scatterplots দেখুন বনাম বা বনাম , উদাহরণস্বরূপ। x 1 y ⋅ 1 x $x_{2\cdot 1}$$x_1$$y_{\cdot 1}$$x_1$

• মান , , , এবং সব বাইরে নিয়ে যাওয়া হয়েছে ।x 2 x 1 ⋅ 2 x 2 ⋅ 1 y ⋅ l $x_1$$x_2$$x_{1\cdot 2}$$x_{2\cdot 1}$$y_{\cdot lm}$

• একাধিক রিগ্রেশন বিরুদ্ধে এবং কম্পিউটিং প্রথম অর্জন করা যেতে পারে এবং । এই স্ক্যাটারপ্লটগুলি যথাক্রমে (সারি, কলাম) = এবং হয়। এই অবশিষ্টাংশগুলি হাতে রেখে আমরা তাদের স্ক্র্যাপপ্লট এ দেখি । এই তিনটি এক-ভেরিয়েবল রিগ্রেশন কৌশলটি করে। মোস্টেলার এবং টুকি যেমন ব্যাখ্যা করেছেন, সহজাতগুলির স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলিও এই নিবন্ধগুলি থেকে প্রায় সহজেই পাওয়া যায় - তবে এটি এই প্রশ্নের বিষয় নয়, তাই আমি এখানেই থামব।$y$$x_1$$x_2$$y_{\cdot 1}$$x_{2\cdot 1}$$(8,1)$$(2,1)$$(4,3)$

কোড

এই ডেটাগুলি (পুনরুত্পাদনযোগ্য) Rসিমুলেশন দিয়ে তৈরি করা হয়েছিল । বিশ্লেষণ, চেক এবং প্লটগুলিও প্রস্তুত করা হয়েছিল R। এই কোড।

#
# Simulate the data.
#
set.seed(17)
t.var <- 1:50                                    # The "times" t[i]
x <- exp(t.var %o% c(x1=-0.1, x2=0.025) )        # The two "matchers" x[1,] and x[2,]
beta <- c(5, -1)                                 # The (unknown) coefficients
sigma <- 1/2                                     # Standard deviation of the errors
error <- sigma * rnorm(length(t.var))            # Simulated errors
y <- (y.true <- as.vector(x %*% beta)) + error   # True and simulated y values
data <- data.frame(t.var, x, y, y.true)

par(col="Black", bty="o", lty=0, pch=1)
pairs(data)                                      # Get a close look at the data
#
# Take out the various matchers.
#
take.out <- function(y, x) {fit <- lm(y ~ x - 1); resid(fit)}
data <- transform(transform(data, 
  x2.1 = take.out(x2, x1),
  y.1 = take.out(y, x1),
  x1.2 = take.out(x1, x2),
  y.2 = take.out(y, x2)
), 
  y.21 = take.out(y.2, x1.2),
  y.12 = take.out(y.1, x2.1)
)
data$y.lm <- resid(lm(y ~ x - 1))               # Multiple regression for comparison
#
# Analysis.
#
# Reorder the dataframe (for presentation):
data <- data[c(1:3, 5:12, 4)]

# Confirm that the three ways to obtain the fit are the same:
pairs(subset(data, select=c(y.12, y.21, y.lm)))

# Explore what happened:
panel.lm <- function (x, y, col=par("col"), bg=NA, pch=par("pch"),
   cex=1, col.smooth="red",  ...) {
  box(col="Gray", bty="o")
  ok <- is.finite(x) & is.finite(y)
  if (any(ok))  {
    b <- coef(lm(y[ok] ~ x[ok] - 1))
    col0 <- ifelse(abs(b) < 10^-8, "Red", "Blue")
    lwd0 <- ifelse(abs(b) < 10^-8, 3, 2)
    abline(c(0, b), col=col0, lwd=lwd0)
  }
  points(x, y, pch = pch, col="Black", bg = bg, cex = cex)    
  points(matrix(c(0,0), nrow=1), col="Red", pch=1)
}
panel.hist <- function(x, ...) {
  usr <- par("usr"); on.exit(par(usr))
  par(usr = c(usr[1:2], 0, 1.5) )
  h <- hist(x, plot = FALSE)
  breaks <- h$breaks; nB <- length(breaks)
  y <- h$counts; y <- y/max(y)
  rect(breaks[-nB], 0, breaks[-1], y,  ...)
}
par(lty=1, pch=19, col="Gray")
pairs(subset(data, select=c(-t.var, -y.12, -y.21)), col="Gray", cex=0.8, 
   lower.panel=panel.lm, diag.panel=panel.hist)

# Additional interesting plots:
par(col="Black", pch=1)
#pairs(subset(data, select=c(-t.var, -x1.2, -y.2, -y.21)))
#pairs(subset(data, select=c(-t.var, -x1, -x2)))
#pairs(subset(data, select=c(x2.1, y.1, y.12)))

# Details of the variances, showing how to obtain multiple regression
# standard errors from the OLS matches.
norm <- function(x) sqrt(sum(x * x))
lapply(data, norm)
s <- summary(lm(y ~ x1 + x2 - 1, data=data))
c(s$sigma, s$coefficients["x1", "Std. Error"] * norm(data$x1.2)) # Equal
c(s$sigma, s$coefficients["x2", "Std. Error"] * norm(data$x2.1)) # Equal
c(s$sigma, norm(data$y.12) / sqrt(length(data$y.12) - 2))        # Equal

Comments

এবং বিপরীতে একাধিক রিগ্রেশন এখনও এবং যদি এবং পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হয়ে গণনা করে অর্জন করা যায় ? তাহলে একটি বড় পার্থক্য কিনা আমরা ক্রমানুসারে regressed বানাতে যেতেন না Y উপর এক্স 1 এবং এক্স 2.1 বা এক্স 2 এবং এক্স 1.2 ? এটি কীভাবে একাধিক ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলগুলির সাথে একটি রিগ্রেশন সমীকরণের সাথে সম্পর্কিত? $y$$x_1$$x_2$$y_{.1}$$x_{2.1}$$x_1$$x_2$$y$$x_1$$x_{2.1}$$x_2$$x_{1.2}$

— মিউরা

@miura, এক leitmotifs Mosteller & Tukey যে অধ্যায়ের যে যখন সম্পর্কিত করা হয়, partials x আমি ⋅ ঞ কম ভেরিয়ানস আছে; যেহেতু তাদের বৈকল্পিকগুলি তাদের সহগের অনুমানের বৈকল্পিকের জন্য কোনও সূত্রের ডিনোমিনেটরে উপস্থিত হয় , এতে বোঝা যায় যে সংশ্লিষ্ট সহগের তুলনামূলকভাবে অনিশ্চিত অনুমান থাকবে। এটি তথ্য ও তথ্যের একটি সত্য, যা এমঅ্যান্ডটি বলে, এবং এটি আপনাকে স্বীকৃতি দেওয়া দরকার। এটা কোন পার্থক্য কিনা আপনার সাথে রিগ্রেশন শুরু তোলে এক্স 1 বা এক্স 2 তুলনা করুন: থেকে আমার কোডে। $x_i$$x_{i\cdot j}$$x_1$$x_2$y.21y.12

— whuber

আমি আজ এটি পেরিয়ে এসেছি, @ মিউরা দ্বারা এই প্রশ্নটি সম্পর্কে আমি যা মনে করি তা এখানে একটি 2 মাত্রিক স্থানের কথা ভাবুন যেখানে দুটি ভেক্টরের সংমিশ্রণ হিসাবে ওয়াইকে ভবিষ্যদ্বাণী করা হবে। y = ax1 + bx2 + res (= 0)। এখন y কে 3 টি ভেরিয়েবলের সংমিশ্রণ হিসাবে ভাবেন, y = ax1 + bx2 + cx3। এবং x3 = এমএক্স 1 + এনএক্স 2। সুতরাং অবশ্যই, আপনি আপনার ভেরিয়েবলগুলি ক্রমটি বেছে নেবেন সেটির সহগগুলি কার্যকর হবে। এর কারণ হ'ল: সর্বনিম্ন ত্রুটিটি এখানে বিভিন্ন সংমিশ্রণ দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। যাইহোক, কয়েকটি উদাহরণে, সর্বনিম্ন ত্রুটি কেবল একটি সংমিশ্রণ দ্বারা পাওয়া যেতে পারে এবং এটিই আদেশটি বিবেচনা করবে না।

— গৌরব সিংহল

@ হুবুহু আপনি কীভাবে এই সমীকরণটি ধ্রুবক শব্দযুক্ত একটি মাল্টিভারিয়েট রিগ্রেশন জন্য ব্যবহার করতে পারেন তা কী ব্যাখ্যা করতে পারেন? অর্থাৎ y = B1 * x1 + B2 * x2 + c? ধ্রুব শব্দটি কীভাবে উত্পন্ন হতে পারে তা আমার কাছে পরিষ্কার নয়। এছাড়াও আমি সাধারণভাবে বুঝতে পারি যে 2 টি ভেরিয়েবলের জন্য কী করা হয়েছিল, কমপক্ষে এটি এক্সলে প্রতিলিপি দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট। কীভাবে এটি 3 ভেরিয়েবলে প্রসারিত করা যায়? এক্স 1, এক্স 2, এক্স 3। এটি স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে আমাদের প্রথমে y, x1 এবং x2 থেকে x3 মুছে ফেলতে হবে। তারপরে x1 এবং y থেকে x2 সরান। তবে কীভাবে বি 3 পদ পাওয়া যায় তা আমার কাছে পরিষ্কার নয়।

— মোটামুটি Nerdy

উপরের মন্তব্যে আমার কিছু প্রশ্নের উত্তর আমি দিয়েছি। একটি 3 ভেরিয়েবল রিগ্রেশনের জন্য, আমাদের 6 টি পদক্ষেপ থাকবে। X1 থেকে এক্স 2, এক্স 3 থেকে এবং y থেকে সরান। তারপরে x3,1 এবং y1 থেকে x2,1 সরান। তারপরে y21 থেকে x3,21 সরান। এর ফলাফল 6 টি সমীকরণ, যার প্রতিটি ফর্ম ভেরিয়েবল = লামদা * বিভিন্ন ভেরিয়েবল + অবশিষ্টাংশ। এই সমীকরণগুলির মধ্যে একটিটির প্রথম ভেরিয়েবল হিসাবে রয়েছে এবং আপনি যদি কেবল অন্যান্য ভেরিয়েবলগুলি স্থির করে

— মোটামুটি নেরডি