প্রতিসম বিতরণের কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি

আমি এটি দেখানোর চেষ্টা করছি যে একটি প্রতিসম বিতরণের কেন্দ্রীয় মুহূর্ত: বিজোড় সংখ্যার জন্য শূন্য। সুতরাং উদাহরণস্বরূপ তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্তআমি show show দেখানোর চেষ্টা করে শুরু করেছিআমি নিশ্চিত না এখান থেকে কোথায় যাব, কোন পরামর্শ? এটি প্রমাণ করার আরও ভাল উপায় আছে কি?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
সূত্র

ইঙ্গিত: সরলতার জন্য, ধরে নিন যে প্রায় প্রতিসম হয় । তারপরে আপনি এবং মধ্যে অবিচ্ছেদ্য বিভক্ত করে এবং প্রতিসাম্যতা অনুমান ব্যবহার করে দেখাতে পারেন। তারপর আপনি শুধু দেখাতে হবে যে আছে জন্য । এটি আবার অবিচ্ছেদ্য বিভাজন এবং অনুরূপ যুক্তি ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

তবে, ইঙ্গিত , @ প্রিলিনেটর পরামর্শের সাথে সতর্কতা অবলম্বন করুন (+1)! অন্যথায় আপনি কিছু মিথ্যা "প্রমাণ" করতে পারেন! আপনাকে দেখাতে হবে যে বিভক্ত ইন্টিগ্রালের প্রতিটি টুকরো সীমাবদ্ধ। (এক হয়, তাহলে অন্যান্য পাশাপাশি হতে হবে।)

— অঙ্কবাচক

মধ্যে পার্থক্য কি এবং ?

a

$a$

u

$u$

— হেনরি

@ দিলিপ সরওয়াতে আপনি কেন এমন সব মন্তব্যে মন্তব্যে সন্ধানের পরিবর্তে উত্তরে এই ধারণাগুলি ক্যাপচার করবেন না যেগুলি বিস্তৃত উত্তর হওয়ার ইচ্ছে করে না?

@ ম্যাক্রো: সত্যিই লজ্জাজনক। প্রিলিনেটর এখন বেশ কয়েকটি মূল্যবান অবদানকারীদের তালিকায় যোগ দিয়েছে (আমার মতে) আমরা গত কয়েক মাস ধরে স্পষ্টতই হারিয়েছি (বা যারা তাদের কার্যকলাপকে গুরুতরভাবে হ্রাস করেছেন)। প্লাস পক্ষে, আপনার সাম্প্রতিক অংশ গ্রহণের অংশটি দেখে খুব ভাল লাগছে! আমি আশা করি এটি অব্যাহত থাকবে।

— কার্ডিনাল

এই উত্তরের লক্ষ্য এমন একটি বিক্ষোভ করা যা যতটা সম্ভব প্রাথমিক হয়, কারণ এই জাতীয় জিনিসগুলি প্রায়শই প্রয়োজনীয় ধারণা লাভ করে। শুধুমাত্র তথ্য প্রয়োজন (বীজগাণিতিক হেরফেরের সহজ ধরনের পরলোক) সমাকলনের রৈখিকতা (অথবা এবং, equivalently, প্রত্যাশা), সমাকলনের জন্য ভেরিয়েবল সূত্রের পরিবর্তন, এবং সর্বজনবিদিত ফলে ঐক্য একটি PDF সংহত হয়।

এই বিক্ষোভকে এমন অন্তর্নিহিততা যখন সম্পর্কে প্রতিসম হয় , তখন প্রত্যাশায় যে পরিমাণ পরিমাণ এর অবদান পরিমাণ এর সমান ওজন , কারণ এবং বিপরীত পক্ষের উপর হয় এবং সমানভাবে পর্যন্ত তা থেকে। তবে প্রদত্ত, সমস্ত জন্য, সমস্ত কিছু বাতিল হয়ে যায় এবং প্রত্যাশা শূন্য হতে হবে। এবং মধ্যে সম্পর্ক তখন আমাদের প্রস্থান। $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

লক্ষ্য করুন, লিখে লিখেছেন যে সম্পর্কের দ্বারা প্রতিসাম্য ঠিক ততই প্রকাশ করা যেতে পারে $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

সব জন্য । যে কোনও পরিমাপযোগ্য ফাংশন , থেকে এর ভেরিয়েবলের এক-এক-একের পরিবর্তন থেকে পরিবর্তন করে , যখন বোঝায় $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

এই প্রত্যাশাটি বিদ্যমান বলে ধরে নেওয়া (যা অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরিত হয়), অখণ্ডের রৈখিকতা বোঝায়

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

সম্পর্কে বিজোড় মুহূর্ত বিবেচনা করুন , যা প্রত্যাশা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় , । এই ক্ষেত্রে $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

অবিকল কারণ বিজোড়। পূর্ববর্তী ফলাফল প্রয়োগ করে $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

কারণ ডান দিকে দ্বিগুণ ম সম্পর্কে মুহূর্ত দ্বারা বিভাজক অনুষ্ঠান এই মুহূর্তে শূন্য হয় যখনই বিদ্যমান। $k$ $a$ $2$

অবশেষে, গড়টি (এটি অনুমান করে এটি বিদ্যমান) হয়

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

আবার রৈখিকতা কাজে , এবং কে কারণ সম্ভাব্যতা বন্টন, আমরা পড়ার জন্য শেষ সমতাটি পুনর্বিন্যাস করতে পারি $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

অনন্য সমাধান সহ । সুতরাং সম্পর্কে আমাদের সমস্ত পূর্ববর্তী গণনাগুলি সত্যই কেন্দ্রীয় মুহুর্ত, কিউইডি। $\mu_X = a$ $a$

Postword

দ্বারা বিভক্ত করা প্রয়োজন বিভিন্ন স্থানে আসলে একটি আছে সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত গ্রুপ আদেশের পরিমাপযোগ্য ফাংশন উপর অভিনয় (যথা, গ্রুপ প্রায় লাইনে প্রতিফলন দ্বারা উত্পন্ন )। আরও সাধারণভাবে, একটি প্রতিসম ধারণাটি যে কোনও গ্রুপের ক্রিয়ায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। গোষ্ঠী উপস্থাপনের তত্ত্বটি বোঝায় যে যখন চরিত্রটি $2$ $2$ $a$ কোনও ক্রিয়াকলাপের সেই ক্রিয়াটি তুচ্ছ নয়, এটি তুচ্ছ চরিত্রের সাথে সংলগ্ন এবং এর অর্থ ফাংশনের প্রত্যাশা শূন্য হতে হবে। অরথোগোনালিটি সম্পর্কগুলি গ্রুপের সাথে যুক্ত (বা সংহতকরণ) এর সাথে জড়িত, যেহেতু দলের আকার ক্রমাগত ডিনোনিটরে উপস্থিত হয়: এটি সীমাবদ্ধ হয়ে যাওয়ার পরে বা এর সংক্ষিপ্ত যখন সংক্ষিপ্ত হয় তখন এর মূলত্ব।

এই জেনারালাইজেশনটির সৌন্দর্য প্রকাশিত প্রতিসাম্যযুক্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে স্পষ্ট হয়ে ওঠে , যেমন বেনজিন অণু দ্বারা উদাহরণস্বরূপ প্রতিসংশ্লিষ্ট সিস্টেমগুলির গতি মেকানিকাল (বা কোয়ান্টাম মেকানিকাল) সমীকরণগুলিতে (যা একটি 12 উপাদান সমমিতি গ্রুপ রয়েছে)। (কিউএম অ্যাপ্লিকেশনটি এখানে অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক কারণ এটি স্পষ্টভাবে প্রত্যাশার গণনা করে।) শারীরিক আগ্রহের মূল্যবোধ - যা সাধারণত টেনেসরের বহুমাত্রিক সংহত থাকে - কেবলমাত্র জড়িত চরিত্রগুলি জেনে এখানে জড়িত ছাড়া আর কোনও কাজ করা যায় না comp integrands। উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন প্রতিসম অণুগুলির "রঙ" - বিভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্যে তাদের বর্ণালী - এই পদ্ধতির সাহায্যে নির্ধারণ করা যেতে পারে init

— whuber
সূত্র

(+1) " সম্পর্কে বিজোড় মুহুর্তগুলি বিবেচনা করুন ..." শুরুর অংশে , আমি বিশ্বাস করি যে তৃতীয় লাইনের পড়তে হবে ।

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— অনুমানযোগ্য

@ ম্যাক্স ইয়েপ: এত যত্ন সহকারে পড়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! (এটি এখন ঠিক হয়ে গেছে))

— শুক্রবার