বার্নৌলির নমুনা দেওয়ার জন্য আস্থার ব্যবধান val

আমি বের্নুলির র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি র্যান্ডম নমুনা আছে , যেখানে iidrv এবং , এবং একটি অজানা প্যারামিটার। $X_1 ... X_N$ $X_i$ $P(X_i = 1) = p$ $p$

স্পষ্টতই, : জন্য একটি অনুমান খুঁজে পেতে পারে । $p$ $\hat{p}:=(X_1+\dots+X_N)/N$

আমার প্রশ্ন হল আমি কীভাবে জন্য একটি আস্থা অন্তর তৈরি করতে পারি ? $p$

confidence-interval binomial bernoulli-distribution

— অ্যামিবা বলছেন মনিকাকে রিইনস্টেট করুন
সূত্র

বার্নোল্লি নমুনার জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানগুলি কীভাবে গণনা করতে হবে সে সম্পর্কে উইকিপিডিয়ায় বিশদ রয়েছে ।

উত্তর:

যদি গড়, , বা কাছাকাছি না হয় এবং নমুনার আকার যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় (যেমন এবং , আত্মবিশ্বাস ব্যবধানটি একটি সাধারণ বিতরণ এবং এইভাবে নির্মিত আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান দ্বারা অনুমান করা যায়: $\hat{p}$ $1$ $0$ $n$ $n\hat{p}>5$ $n(1-\hat{p})>5$

$\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}$ $\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
যদি এবং , confidence আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান প্রায় (জাভানোভিচ এবং লেভি, 1997) ; বিপরীতে । রেফারেন্সটি এবং ব্যবহার করে (পূর্ববর্তী তথ্য অন্তর্ভুক্ত করার জন্য পরে) ব্যবহার করেও আলোচনা করে । $\hat{p} = 0$ $n>30$ $95\%$ $[0,\frac{3}{n}]$ $\hat{p}=1$ $n+1$ $n+b$
অন্য উইকিপিডিয়া একটি ভাল ওভারভিউ সরবরাহ করে এবং সাধারণ আনুমানিকতা, উইলসন স্কোর, ক্লপার-পিয়ারসন, বা অ্যাগ্রেস্তি-কোলের অন্তরগুলি ব্যতীত অন্যান্য অনুমানের ব্যবহার সম্পর্কে বিশদ বিবরণ এবং অ্যাগ্রেস্তি এবং কুলি (1998) এবং রসকে (2003) নির্দেশ করে। এবং about সম্পর্কে উপরের অনুমানগুলি পূরণ না হলে এগুলি আরও নির্ভুল হতে পারে । $n$ $\hat{p}$

আর ফাংশন সরবরাহ করে binconf {Hmisc}এবং binom.confint {binom}যা নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

set.seed(0)
p <- runif(1,0,1)
X <- sample(c(0,1), size = 100, replace = TRUE, prob = c(1-p, p))
library(Hmisc)
binconf(sum(X), length(X), alpha = 0.05, method = 'all')
library(binom)
binom.confint(sum(X), length(X), conf.level = 0.95, method = 'all')

অ্যাগ্রেস্তি, অ্যালান; কল, ব্রেন্ট এ (1998)। "দ্বিপদী অনুপাতের ব্যবধান অনুমানের জন্য 'নির্ভুল' এর চেয়ে আনুমানিক ভাল" আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ 52: 119–126।

জোভানোভিচ, বিডি এবং পিএস লেভি, 1997 A রুল অফ থ্রি A আমেরিকান পরিসংখ্যান খণ্ড 51, নং 2, পিপি 137-139

রস, টিডি (2003)। "দ্বিপদী অনুপাত এবং পয়সোন হার অনুমানের জন্য নির্ভুল আস্থা অন্তর"। জীববিজ্ঞান এবং মেডিসিনে কম্পিউটারগুলি 33: 509–531।

— ডেভিড লেবাউর
সূত্র

(+1) ভাল উত্তর। এটি ভবিষ্যতে অনুরূপ প্রশ্নের জন্য একটি রেফারেন্সে পরিণত হবে, আমি মনে করি। তবে ক্রস পোস্টিং অস্বাভাবিক; প্রকৃতপক্ষে, আমি বিশ্বাস করি যে এটি অনর্থক, কারণ এটি প্রতিক্রিয়া / রেফারেন্সিং / থ্রেডিং / কমেন্টিং সিস্টেমের অনেকগুলি দিককে স্ক্রু করে। অনুগ্রহ করে একটি অনুলিপি অপসারণ এবং একটি মন্তব্যে একটি লিঙ্ক দ্বারা এটি প্রতিস্থাপন বিবেচনা করুন।

— whuber

@ প্রতিক্রিয়া জন্য শুভ ধন্যবাদ। আমি অন্য অনুলিপি সরিয়েছি।

— ডেভিড লেবাউর

প্রথম সূত্রে, জেড 1 এবং আলফা কী?

— সির্দেক

আমি আমার নিজের প্রশ্নের উত্তর পাওয়া গেছে: হয় আদর্শ সাধারন বন্টনের এর শতকরা এবং ত্রুটি শতকরা হয়। en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval

z_{1 - α / 2}

$z_{1-\alpha/2}$

1 - α / 2

${1-\alpha/2}$

α

$\alpha$

— Cirdec

যে হওয়া উচিত দ্বিতীয় বুলেট পয়েন্ট জন্য আস্থা ব্যবধান উপর?

3 / n

$3/n$

— জুয়ান এ নাভারো

সর্বাধিক সম্ভাবনার আস্থা অন্তর

বার্নোল্লি নমুনার স্বাভাবিক আনুমানিকতা তুলনামূলকভাবে বড় নমুনার আকার এবং লেজগুলি থেকে অনেক দূরের নমুনার অনুপাতের উপর নির্ভর করে। সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন লগ-ট্রান্সফর্মড প্রতিকূলতাকে কেন্দ্র করে এবং এটি -এর জন্য অ-প্রতিসামান্য, দক্ষ অন্তর সরবরাহ করে যা পরিবর্তে ব্যবহার করা উচিত। $p$

লগ- $\hat{\beta}_0 = \log(\hat{p}/(1-\hat{p}))$

1 জন্য একটি 1- সিআই এর দ্বারা দেওয়া হয়েছে: $\alpha$ $\beta_0$

CI (β_{0})_{α} = {\hat{β}}_{0} \pm Z_{α / 2} \sqrt{1 / (n \hat{p} (1 - \hat{p})}

$\text{CI}(\beta_0)_\alpha = \hat{\beta}_0 \pm \mathcal{Z}_{\alpha/2} \sqrt{1/(n\hat{p}(1-\hat{p})}$

এবং এটি সাথে একটি (অ-প্রতিসাম্য) ব্যবধানে আবার রূপান্তরিত হয়েছে : $p$

CI (p)_{α} = 1 / (1 + \exp (- CI (β_{0})_{α})

$\text{CI}(p)_\alpha = 1/(1+\exp(-\text{CI}(\beta_0)_\alpha)$

এই সিআইয়ের অতিরিক্ত সুবিধা রয়েছে যা অনুপাত 0 বা 1 এর ব্যবধানের মধ্যে থাকে এবং সিআই সঠিক মাত্রায় থাকার সময় স্বাভাবিক ব্যবধানের চেয়ে সর্বদা সংকীর্ণ থাকে। আপনি আর এ খুব সহজেই এটি উল্লেখ করে পেতে পারেন:

set.seed(123)
y <- rbinom(100, 1, 0.35)
plogis(confint(glm(y ~ 1, family=binomial)))

    2.5 %    97.5 % 
0.2795322 0.4670450

সঠিক দ্বিপদী আস্থা অন্তর

ছোট নমুনায়, এমএলই-এর স্বাভাবিক সান্নিধ্য - যদিও নমুনার অনুপাতে সাধারণ সান্নিধ্যের চেয়ে ভাল - এটি নির্ভরযোগ্য হতে পারে না। এটা ঠিক আছে. দ্বি দ্বি ঘনত্ব অনুসরণ করতে taken নেওয়া যেতে পারে । জন্য সীমা 2.5th এবং 97.5 তম এই ডিস্ট্রিবিউশন থেকে শতকরা গ্রহণ পাওয়া যেতে পারে। $Y = n\hat{p}$ $(n,p)$ $\hat{p}$

{CI}_{α} = (F_{\hat{p}}^{- 1} (0.025), F_{\hat{p}}^{- 1} (0.975))

$\text{CI}_\alpha = (F^{-1}_{\hat{p}}(0.025), F^{-1}_{\hat{p}}(0.975))$

খুব কম সময়েই সম্ভব, গণনা সংক্রান্ত পদ্ধতি ব্যবহার করে জন্য একটি সঠিক দ্বিপদী আত্মবিশ্বাসের অন্তর পাওয়া যায় । $p$

qbinom(p = c(0.025, 0.975), size = length(y), prob = mean(y))/length(y)
[1] 0.28 0.47

মিডিয়ান নিরপেক্ষ আত্মবিশ্বাসের বিরতি

এবং যদি 0 বা 1 ঠিক হয়, তবে মধ্যমা নিরপেক্ষ সম্ভাবনা ফাংশনের উপর ভিত্তি করে অবিবাহিত ব্যবধান অনুমানের জন্য একটি মিডিয়ান নিরপেক্ষ অনুমানকারী ব্যবহার করা যেতে পারে। আপনি তুচ্ছভাবে 0-টি ডাব্লুএলজি হিসাবে সমস্ত -0 কেসটির নিম্নতর সীমানাকে নিতে পারেন। উপরের এমন কোনও অনুপাত যা যা সন্তুষ্ট করে: $p$ $p_{1-\alpha/2}$

p_{1 - α / 2} : P (Y = 0) / 2 + P (Y > y) > 0.975

$p_{1-\alpha/2} : P(Y = 0)/2 + P(Y > y) > 0.975$

এটি একটি গণনার রুটিনও।

set.seed(12345)
y <- rbinom(100, 1, 0.01) ## all 0
cil <- 0
mupfun <- function(p) {
  0.5*dbinom(0, 100, p) + 
    pbinom(1, 100, p, lower.tail = F) - 
    0.975
} ## for y=0 successes out of n=100 trials
ciu <- uniroot(mupfun, c(0, 1))$root
c(cil, ciu)

[1] 0.00000000 0.05357998 ## includes the 0.01 actual probability

epitoolsআর এ প্যাকেজে শেষ দুটি পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছে।

— Adamo
সূত্র