একটি পরিসংখ্যান বিতরণ সন্ধান করা

Question

একটি পরীক্ষা জন্য পড়াশোনা। এর উত্তর দিতে পারিনি।

iid এলোমেলো চলক চলুন Let নির্ধারণ করা$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

এবং ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

, এর বিতরণ কী ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

এই জাতীয় সমস্যা শুরু করার সময় আমি কীভাবে ব্যবহার করতে পারি সেরা পদ্ধতির ধারণা?

Comments

আপনি কি স্থির বা অ্যাসেম্পটোটিক বিতরণের জন্য বিতরণ চান ? আপনি কি এবং এর প্রান্তিক বিতরণে বা তাদের যৌথ বিতরণে আগ্রহী? $n$$\overline W_n$$S_n^2$

— কার্ডিনাল

অস্পষ্টতার জন্য দুঃখিত। রাখুন সংশোধন, এবং আমি শুধুমাত্র তাদের marginals আগ্রহী। তারা পরে জিজ্ঞাসা করে যে দুটি পরিসংখ্যান স্বতন্ত্র কিনা, তাই আমি বসুর উপপাদ্যটির কিছু ব্যবহারের প্রত্যাশা করছি। $n$

— টেলর

Answer 1

এটি একটি কৌশল।

শর্তসাপেক্ষে আমাদের কাছে সমান এই সত্যটি থেকে অনুসরণ করে সংশোধন করা হয়েছে যে এই দুটি স্বাধীন রূপান্তরের রৈখিক একটি সহজ -distributed ভেরিয়েবল এবং । কোথা থেকে, এর একটি সাধারণ বিতরণ রয়েছে। শর্তসাপেক্ষ 0 হিসাবে দেখা যায় এবং শর্তসাপেক্ষ স্বাধীনতার ধারনা অনুসারে) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

যেহেতু এর শর্তাধীন বিতরণ উপর নির্ভর করে না আমরা এই সিদ্ধান্তে যে এটি এর প্রান্তিক বন্টনও, অর্থাৎ$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

বাকিগুলি স্বতন্ত্র স্বাভাবিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের গড় এবং অবশিষ্টাংশের মানক ফলাফলগুলি অনুসরণ করে follows কোনও কিছুর জন্য বসুর উপপাদ্য প্রয়োজন হয় না।

Comments

খুব চিত্তাকর্ষক!

— ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন

ভাল দাগযুক্ত (+1)। তবে, এর যৌথ বিতরণের জন্য , বসুর উপপাদ্য অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক। $(\overline{W}_n,S_n^2)$

— mbe