প্রদত্ত এমএলই (মার্কভ চেইন) এর লগ-সম্ভাবনার গণনা করা হচ্ছে

Question

আমি বর্তমানে মার্কভ চেইনের সাথে কাজ করছি এবং বেশিরভাগ উত্সের পরামর্শ অনুসারে রূপান্তর সম্ভাবনা ব্যবহার করে সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন গণনা করেছি (উদাহরণস্বরূপ, একটি থেকে অন্য নোডে সামগ্রিক রূপান্তরের সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত একটি থেকে বি স্থানান্তরের সংখ্যা)।

আমি এখন এমএলই-এর লগ-সম্ভাবনা গণনা করতে চাই।

Comments

আপনি ইতিমধ্যে সংক্রমণের সম্ভাবনার সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলনটি গণনা করেছেন এবং এখন আপনি ঠিক কীটির লগ-সম্ভাবনা গণনা করতে চান?

— নিক

Answer 1

যাক মার্কভ চেন একটি পাথ হতে হবে এবং দিন পথ দেখে সম্ভাবনা হতে যখন হয় সত্য প্যারামিটার মান (ওরফ সম্ভাবনা ফাংশন )। শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে আমরা জানি$\{ X_i \}_{i=1}^{T}$$P_{\theta}(X_1, ..., X_T)$$\theta$$\theta$

$$P_{\theta}(X_1, ..., X_T) = P_{\theta}(X_T | X_{T-1}, ..., X_1) \cdot P_{\theta}(X_1, ..., X_{T-1})$$

যেহেতু এটি একটি মার্কভ চেইন, তাই আমরা জানি যে , তাই এটি এটিকে সরল করে$P_{\theta}(X_T | X_{T-1}, ..., X_1) = P_{\theta}(X_T | X_{T-1} )$

$$P_{\theta}(X_1, ..., X_T) = P_{\theta}(X_T | X_{T-1}) \cdot P_{\theta}(X_1, ..., X_{T-1})$$

এখন আপনি যদি এই একই যুক্তি পুনরাবৃত্তি করেন , আপনি পাবেন$T$

$$P_{\theta}(X_1, ..., X_T) = \prod_{i=1}^{T} P_{\theta}(X_i | X_{i-1} )$$

যেখানে প্রক্রিয়াটির প্রাথমিক অবস্থা হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত to ডানদিকে শর্তগুলি হ'ল রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের উপাদান। যেহেতু এটি আপনি অনুরোধ করেছেন লগ-সম্ভাবনা তাই চূড়ান্ত উত্তরটি হ'ল:$X_0$

$${\bf L}(\theta) = \sum_{i=1}^{T} \log \Big( P_{\theta}(X_i | X_{i-1} ) \Big)$$

এটি একটি একক মার্কভ চেইনের সম্ভাবনা - যদি আপনার ডেটা সেটে বেশ কয়েকটি (স্বতন্ত্র) মার্কভ চেইন অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে সম্পূর্ণ সম্ভাবনা এই ফর্মের শর্তগুলির যোগফল হবে।

Comments

বাহ, উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ। এই ক্ষেত্রে the এমএলই থেকে নেওয়া "ট্রানজিশন" সম্ভাবনা কি ঠিক আছে? $P_{\theta}$

— fsociversity

@ পিএফ_সিংগার, আপনাকে অনেক স্বাগতম। রাষ্ট্র থেকে সরানোর সম্ভাব্যতা থেকে , প্যারামিটার মান দেওয়া । আপনি রূপান্তরটি ম্যাট্রিক্স কোন কাঠামো আরোপিত তাহলে (যা কি এটা মত শোনাচ্ছে হয়) , শুধু রূপান্তর সম্ভাব্যতার ভেক্টর উল্লেখ করে (এবং যেমন আপনি সঠিকভাবে আপনার প্রশ্নের বিবৃতিতে উল্লিখিত MLEs শুধু নমুনা অনুপাত হয়), তাই হ্যাঁ : শুধু রাষ্ট্র থেকে সরে আসে নমুনা অনুপাতে উপস্থিত থাকবে আপ রাষ্ট্র সালে শেষ যে । $P_{\theta}(X_i|X_{i-1})$$X_{i-1}$$X_i$$\theta$$\theta$$P_{\hat{\theta}_{{\rm MLE}}}(X_i|X_{i-1})$$X_{i-1}$$X_{i}$

— ম্যাক্রো

আবার ধন্যবাদ! আরও একটি প্রশ্ন: আমি যদি অন্য আদেশ ব্যবহার করি (উদাঃ, কে = ২), তাহলে এই প্রক্রিয়াটি কীভাবে কাজ করবে?

— fsociversity

আপনি কি "অর্ডার" বলতে চাইছেন তা স্পষ্ট করে বলতে পারেন?

— ম্যাক্রো

(+1) ওপির সম্ভবত দ্বিতীয় অর্ডার এমসিকে বোঝাতে অর্থাত্, কেবলমাত্র দুটি সাম্প্রতিক এক পরিবর্তে আগের দুটি অবস্থার on উপর নির্ভর করে । $k=2$$X_{i-1},X_{i-2}$$X_{i-1}$

— কার্ডিনাল