মাল্টি-ভেরিয়েবল নির্ভরতার সাথে যৌথ বিতরণ থেকে প্রান্তিক বিতরণ কীভাবে পাওয়া যায়?

আমার পাঠ্যপুস্তকের একটি সমস্যা নিম্নরূপে তুলে ধরা হয়েছে। একটি দ্বিমাত্রিক স্টোকাস্টিক অবিচ্ছিন্ন ভেক্টরের নিম্নলিখিত ঘনত্বের কার্য রয়েছে:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

প্রান্তিক ঘনত্বের কার্যগুলি এবং দেখান : $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

আমি বুঝতে ঘনত্ব ফাংশন কিভাবে গণনা করা হয় একীভূত দ্বারা, থেকে থেকে থেকে সম্মান সঙ্গে । তবে আমি পুরোপুরি হারিয়েছি , কোথা থেকে আসছে? যদি আমি সাথে থেকে পর্যন্ত সংহত হয় তবে আমি কেবলমাত্র , এবং কেন ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

আমি , সমস্ত মান যেখানে রঙিন নীল বর্ণিত হয়েছে তার জন্য সমর্থনটি : $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

$ এক্স, ওয়াই $ এর জন্য সমর্থন $

— soren.qvist
সূত্র

এটি আপনাকে (যা সেট যার জন্য ) এর সমর্থনের একটি ছবি আঁকতে সহায়তা করতে পারে । এটি অবিলম্বে আপনার কিছু প্রশ্নের উত্তর দেওয়া উচিত।

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— হোয়বার

@ হুবহু ঠিক আছে তাই আমি সমর্থনটি আঁকিয়েছি এবং আমি মনে করি আমি বুঝতে পেরেছি কেন এটি 0 <y <1, কারণ x কেবলমাত্র 0 <x <1 এ সংজ্ঞায়িত হয়েছে এবং 0 <y <x এর পরে আমাদের তখন স্বাভাবিকভাবেই কেবল y 0 থেকে 1 পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত, সঠিক? তবে আমি এখনও (1-y ^ 2) অংশটি বুঝতে পারি না।

— soren.qvist

ইঙ্গিত: প্রান্তিক ঘনত্ব হয় অবিচ্ছেদ্য এর যা একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য , , শুধুমাত্র তাদের জন্য অশূন্য হয় পরিতৃপ্ত । এটি, এবং সেখানেই অংশ থেকে আসে।

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— দিলীপ সরোতে

ইঙ্গিত দিলীপের জন্য ধন্যবাদ, আমি ভয় করি আমি যদিও এটি পুরোপুরি বুঝতে পারি না। ".. একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য , , কেবলমাত্র সেই সন্তুষ্টিজনক জন্য ননজারো " " আপনি কি চার্টের নীল অঞ্চলটি উল্লেখ করছেন?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist হ্যাঁ আমি চার্টে নীল অঞ্চলটি উল্লেখ করছি। একটি অবিচ্ছেদ্য (বক্ররেখা অধীনে অঞ্চল) হয় ফাংশন এর যা মূল্য আছে যদি মধ্যে এবং (নীল এলাকা) এবং অন্যথায়। অপরের জন্য একই পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করুন সংশোধন মান , এবং যে বিজ্ঞপ্তি প্রতিটি সময় সংখ্যাগত মান কাজ যেমন দ্বারা মনোনীত মান "প্লাগিং" প্রাপ্ত একই সংখ্যা হতে অভিব্যক্তি মধ্যে

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ আপনার উত্তরপত্রিকায় দেওয়া আছে। তারপরে, "আরে মা, আমি মনে করি আমি একটি প্যাটার্ন দেখছি!" মুহুর্ত এবং আপনি বুঝতে পারবেন যে সমান দেখানো অবিচ্ছেদ্য।

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— দিলিপ সরওতে

আপনি যেমন আপনার প্রশ্নের সঠিকভাবে নির্দেশ করেছেন এর সাথে সম্মিলিতভাবে যৌথ ঘনত্বকে একীভূত করে গণনা করা হয়, এখানে সমালোচক অংশটি সেই অঞ্চলটি চিহ্নিত করছে যেখানে আপনি একীভূত। আপনি ইতিমধ্যে গ্রাফিকভাবে যৌথ বিতরণ ফাংশন সমর্থনটি পরিষ্কারভাবে দেখিয়েছেন । সুতরাং, এখন আপনি লক্ষ করতে পারেন যে ছায়াযুক্ত অঞ্চলে এর পরিসরটি থেকে (যেমন গ্রাফিকালি আপনি অনুভূমিক রেখাটি এক্স-অক্ষের সমান্তরাল, ত্রিভুজ রেখা এ উল্লম্ব লাইনে । $f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

সুতরাং, সংহতকরণের নিম্ন এবং উপরের সীমাটি এবং হতে চলেছে । সুতরাং, সমস্যার সমাধান নিম্নরূপ: $X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
সূত্র