আপনি কীভাবে এর প্রত্যাশা গণনা করবেন ?

তাহলে ব্যাখ্যা মূলকভাবে বিতরণ করা হয় পরামিতি সঙ্গে এবং এর পারস্পরিক স্বাধীন হয়, প্রত্যাশা কি $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

পদ এবং এবং সম্ভবত অন্যান্য ধ্রুবক? $n$ $\lambda$

দ্রষ্টব্য: এই প্রশ্নটি /math//q/12068/4051- তে একটি গাণিতিক উত্তর পেয়েছে । পাঠকরাও এটিকে একবার দেখতেন।

expected-value exponential gamma-distribution

— ইসহাক
সূত্র

এই প্রশ্নের দুটি অনুলিপি একে অপরকে রেফারেন্স করে এবং যথাযথভাবে, পরিসংখ্যান সাইটের (এখানে) একটি পরিসংখ্যানিক উত্তর এবং গণিত সাইটের গাণিতিক উত্তর রয়েছে। এটি একটি ভাল বিভাগ মত মনে হচ্ছে: এটি দাঁড়ানো যাক!

— শুক্র

উত্তর:

যদি , তবে (স্বাধীনতার অধীনে), , তাই গামা বিতরণ করা হয়েছে ( উইকিপিডিয়া দেখুন )। সুতরাং, আমাদের কেবল । যেহেতু , আমরা জানি যে । সুতরাং, ( গামা বিতরণের প্রত্যাশা এবং বৈকল্পিকতার জন্য উইকিপিডিয়া দেখুন )। $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— উলফগ্যাং
সূত্র

ধন্যবাদ। প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার খুব ঝরঝরে উপায় (একই উত্তরের দিকে নিয়ে যাওয়া) এছাড়াও কয়েক মিনিট আগে গণিত.স্ট্যাকেক্সেঞ্জারে (প্রশ্নের উপরের লিঙ্ক) সরবরাহ করা হয়েছিল।

— ওল্ফগ্যাং

গণিতের উত্তরটি প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি ব্যবহার করে অবিচ্ছেদ্যগুলি গণনা করে। কিছু উপায়ে এটি সহজ। তবে আমি আপনার সমাধানটি পছন্দ করি কারণ এটি পরিসংখ্যানগত জ্ঞানকে কাজে লাগায় : কারণ আপনি জানেন যে একাধিক স্বতন্ত্র এক্সপেনসিয়াল ভেরিয়েবলের গামা বিতরণ থাকে, আপনি শেষ করেছেন।

— হোবার

আমি এটি বেশ খানিকটা উপভোগ করেছি এবং আমি কোনওভাবেই কোনও পরিসংখ্যানবিদ বা গণিতবিদ নই।

— কর্টুক

খুব মার্জিত উত্তর।

— সাইরাস এস

@ দিলিপ গণিতবিদ এই প্রশ্নটি একটি অবিচ্ছেদের জন্য জিজ্ঞাসা করছেন এবং এটি সরাসরি সংহত করার জন্য এগিয়ে চলেছেন see পরিসংখ্যানবিদ এটি পরিচিত পরিসংখ্যানের পরিমাণগুলির যেমন বৈচিত্র্য এবং পরিচিত পরিসংখ্যানগত সম্পর্কের ক্ষেত্রে এটি পুনরায় প্রকাশ করে যেমন এক্সফেনশিয়াল গামা এবং গামা পরিবার সমঝোতার আওতায় বন্ধ থাকে। উত্তরগুলি একই তবে পদ্ধতিগুলি সম্পূর্ণ আলাদা। তারপরে "ইন্টিগ্রেশন করা" এর অর্থ কী তা নিয়ে প্রশ্ন রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এই জটিল অবিচ্ছেদ্য নির্ভেজালভাবে বীজগণিতভাবে করা হয়।

— শুক্র

উপরের উত্তরটি খুব সুন্দর এবং সম্পূর্ণরূপে প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে তবে আমি পরিবর্তে একটি অঙ্কের প্রত্যাশিত বর্গক্ষেত্রের জন্য একটি সাধারণ সূত্র সরবরাহ করব এবং এটি এখানে বর্ণিত নির্দিষ্ট উদাহরণে প্রয়োগ করব।

যেকোন ধরণের ধ্রুবক এটি সত্য $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

এটি ডিস্ট্রিবিউটের সম্পত্তি দ্বারা সত্য এবং যখন আপনি গণনা করছেন তখন আপনি কী করছেন তা বিবেচনা করে স্পষ্ট হয়ে যায় by $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

অতএব, এলোমেলোভাবে ভেরিয়েবল নমুনার জন্য বিতরণ নির্বিশেষে, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

এই প্রত্যাশা বিদ্যমান যে প্রদান।

সমস্যা থেকে উদাহরণস্বরূপ, আইডি র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যা আমাদেরকে বলে যে এবং প্রতিটি জন্য । স্বাধীনতার দ্বারা, , আমাদের আছে $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

আছে সমষ্টি মধ্যে এই পদ। যখন , আমাদের আছে $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

এবং যোগফলগুলির মধ্যে এই পদটির রয়েছে। অতএব, উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

আপনার উত্তর

— ম্যাক্রো
সূত্র

এই সমস্যাটি 'মুহুর্তের মুহুর্ত' এর আরও বেশি সাধারণ সমস্যার একটি বিশেষ ঘটনা, যা সাধারণত পাওয়ারের যোগান হিসাবে চিহ্নিত হয়। বিশেষত, পাওয়ার অঙ্কের স্বরলিপি:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

তারপরে, বিতরণ নির্বিশেষে , আসল পোস্টার (মুহুর্তগুলির উপস্থিতি সরবরাহ করে) খুঁজছেন। যেহেতু প্রত্যাশা অপারেটর কেবল 1 ম কাঁচা মুহুর্ত, সমাধানটি ম্যাথস্ট্যাটিকা সফ্টওয়্যারটিতে দেওয়া হয়েছে: $E[s_1^2]$

['___ToRaw' এর অর্থ হ'ল আমরা জনগণের কাঁচা মুহুর্তের (কেন্দ্রীয় মুহুর্ত বা সংখ্যার পরিবর্তে বলার চেয়ে) উপস্থাপিত সমাধানটি চাই। ]

শেষ , পিডিএফ সহ যদি ~ এক্সফোনেনশিয়াল ( : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

তারপরে আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য আসল মানগুলির সাথে সাধারণ সমাধানে মুহুর্তগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারি , যেমন: $\mu_i$ sol

সব শেষ.

পিএস, এখানে পোস্ট করা অন্যান্য সমাধানগুলি সংখ্যার পরিবর্তে ডিনোমিনেটরে দিয়ে একটি উত্তর দেয় কারণ অবশ্যই তারা ক্ষতিকারক বিতরণের আলাদা পরামিতি ব্যবহার করে। ওপি যেহেতু কোন সংস্করণটি ব্যবহার করছে সে বিষয়ে সেটির বিবরণ নেই, তাই আমি সিদ্ধান্ত নিয়েছি প্রমিত বিতরণ তত্ত্বের পাঠ্যপুস্তকের সংজ্ঞা জনসন কোটজ এট… কেবলমাত্র জিনিসগুলিকে সামঞ্জস্য করার জন্য :) $\lambda^2$

— wolfies
সূত্র