গাউসের মিশ্রণ হিসাবে শিক্ষার্থী টি

23

সঙ্গে ছাত্র টি-ডিস্ট্রিবিউশান ব্যবহার স্বাধীন ডিগ্রীগুলির, অবস্থান প্যারামিটার এবং স্কেল প্যারামিটার থাকার ঘনত্ব $k > 0$ $l$ $s$

\frac{Γ (\frac{ট + + 1}{2})}{Γ (\frac{ট}{2} \sqrt{ট π {গুলি}^{2}})} {1 + + ট^{- 1} (\frac{এক্স - ঠ}{গুলি})}^{- (ট + + 1) / 2},

$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$

, দিয়ে গাউসীয় বিতরণের মিশ্রণ হিসাবে শিক্ষার্থী ডিস্ট্রিবিউশনকে কীভাবে দেখানো যায় show এবং প্রান্তিক ঘনত্ব পেতে যৌথ ঘনত্ব সংহত করে ? ফাংশন হিসাবে ফলাফলযুক্ত বিতরণের পরামিতিগুলি কী কী ? $t$ $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$ $f(x,\tau|\mu)$ $f(x|\mu)$ $t$ $\mu,\alpha,\beta$

গামা বিতরণের সাথে যৌথ শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বকে সংহত করে আমি ক্যালকুলাসে হারিয়েছি।

distributions mixture

— সালিহ উকান
সূত্র

31

একটি সাধারণ বিতরণের পিডিএফ হয়

চ_{μ, σ} (এক্স) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} ই^{- \frac{(এক্স - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} ঘ এক্স

$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$

তবে এটি $\tau = 1/\sigma^2$

ছ_{μ, τ} (এক্স) = \frac{\sqrt{τ}}{\sqrt{2 π}} ই^{- \frac{τ (এক্স - μ)^{2}}{2}} ঘ এক্স ।

$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$

গামা বিতরণের পিডিএফ হ'ল

জ_{α, β} (τ) = \frac{1}{Γ (α)} ই^{- \frac{τ}{β}} τ^{- 1 + + α} β^{- α} ঘ τ ।

$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$

তাদের পণ্য, সহজ বীজগণিত দিয়ে সামান্য সরলীকৃত, তাই

চ_{μ, α, β} (এক্স, τ) = \frac{1}{β^{α} Γ (α) \sqrt{2 π}} ই^{- τ (\frac{(এক্স - μ)^{2}}{2} + + \frac{1}{β})} τ^{- 1 / 2 + + α} ঘ τ ঘ এক্স ।

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$

এর অভ্যন্তরীণ অংশটিতে স্পষ্টতই রূপটি রয়েছে , এটি একীভূত হওয়ার পরে এটি গামা ফাংশনের একাধিক করে তোলে সম্পূর্ণ পরিসীমা থেকে । সেই অবিচ্ছেদ্য তাত্ক্ষণিকভাবে (প্রান্তিক বিতরণ প্রদান করে গামা বিতরণের অবিচ্ছেদ্য বিষয় জেনে প্রাপ্ত) $\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$ $\tau=0$ $\tau=\infty$

f_{μ, α, β} (x) = \frac{\sqrt{β} Γ (α + \frac{1}{2})}{\sqrt{2 π} Γ (α)} \frac{1}{{(\frac{β}{2} (x - μ)^{2} + 1)}^{α + \frac{1}{2}}} .

$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$

জন্য প্রদান করা প্যাটার্ন মেলে চেষ্টা বন্টন শো সেখানে প্রশ্নে একটি ত্রুটি হল: শিক্ষার্থীর টি বিতরণের জন্য পিডিএফ আসলে আনুপাতিক হয় $t$

\frac{1}{\sqrt{k} s} {(\frac{1}{1 + k^{- 1} {(\frac{x - l}{s})}^{2}})}^{\frac{k + 1}{2}}

$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$

( শক্তি নয়, )। রীতিনীতির সঙ্গে মিলছে ইঙ্গিত , , এবং । $(x-l)/s$ $2$ $1$ $k = 2 \alpha$ $l=\mu$ $s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

লক্ষ্য করুন যে এই উত্কর্ষের জন্য কোনও ক্যালকুলাসের প্রয়োজন ছিল না: সবকিছুই সাধারণ এবং গামা পিডিএফ-এর সূত্রগুলি অনুসন্ধান করার বিষয় ছিল, পণ্য এবং শক্তিগুলির সাথে জড়িত কিছু তুচ্ছ বীজগণিত কারসাজি পরিচালনা এবং বীজগণিতিক অভিব্যক্তিগুলিতে (সেই ক্রমে) মিলছিল patterns

— whuber
সূত্র

10

এই উত্তরের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে আমি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণ হিসাবে টি বিতরণের একটি অ্যানিমেশন তৈরি করেছি। এটি এখানে উপলভ্য: sumsar.net/blog/2013/12/t-as-a-mixture-of-normals

— রাসমাস বুথ

1

@ হুবার: প্রযুক্তিগতভাবে, এই ধরণের মিলের জন্য আপনার স্বীকৃতিতে সর্বদা ক্যালকুলাসের অন্তর্নিহিত ব্যবহার থাকে যে আপনি গামা ঘনত্বের পরিচিত অবিচ্ছেদ্য রূপটি ব্যবহার করে সংহত করতে পারেন। (এটি মাংস এবং আলুর সাথে মিশ্রিত করে ব্রোকলি লুকিয়ে রাখার পরিসংখ্যানবিদদের সমতুল্য।) ক্যালকুলাসকে আড়াল করার একটি চতুর উপায়!

— মনিকা

1

আমি গণনার পদক্ষেপগুলি জানি না, তবে কোনও বইয়ের ফলাফলগুলি আমি জানি (কোনটি মনে করতে পারে না ...)। আমি সাধারণত এটিকে সরাসরি মাথায় রাখি ... :-) ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে শিক্ষার্থীর বিতরণকে ভেরিয়েন্স মিশ্রণ সহ একটি সাধারণ বিতরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে , যেখানে বিপরীত গামা বিতরণ অনুসরণ করে। আরও স্পষ্টভাবে, ~ , = * , যেখানে ~ , hi হ'ল মানক সাধারণ আরভি। আমি আশা করি এটি কিছুটা অর্থে আপনাকে সহায়তা করতে পারে। $t$ $k$ $Y$ $Y$ $X$ $t(k)$ $X$ $\sqrt Y$ $\Phi$ $Y$ $IG(k/2,k/2)$ $\Phi$

— Jingjings
সূত্র

0

প্রক্রিয়া সহজ করার জন্য আমরা মানে অনুমান । উপস্থাপনা ব্যবহার করে, আমরা স্বাধীনতার পূর্ণসংখ্যার ডিগ্রির ফলাফল দেখি show সাথে পূর্বের একটি গাউসিয়ান মিশ্রণের সমতুল্য: শর্তযুক্ত , যথাযথ with সহ গাউসিয়ান এবং পূর্বের পছন্দসই। তারপরে এটি দেখা যাচ্ছে যে টি-বিতরণ। আমরা গ্যামাস এবং চি-স্কোয়ারগুলি সম্পর্কে একটি সুপরিচিত ফলাফল ব্যবহার করে (এক্সটেনশিয়ালের যোগফল হিসাবে গামা পচন করে এবং চি স্কোয়ারগুলিতে নমনীয়দের সংশ্লেষ করা হয়) এর পরিবর্তে বোঝা যায় যে $0$

\sqrt{1 / τ} এক্স = ওয়াই

$\sqrt{1/\tau} X =Y$

τ

$\tau$

Y

$Y$

τ

$\tau$

τ

$\tau$

\sqrt{1 / τ} X

$\sqrt{1/\tau} X$

τ ~ Γ (α, β) ~ \frac{β}{2} Γ (α, 2) ~ \frac{β}{2} χ^{2} (2 α)

$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$

ওয়াই ~ এক্স \frac{1}{\sqrt{(β / 2) χ^{2} (2 α)}}

$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$

= \frac{এক্স \sqrt{α β}}{\sqrt{χ_{2 α}^{2} / (2 α)}}

$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$ যা এবং with এর t এর পরিবর্তনের সাহায্যে একটি স্কেলড টি। আমরা আমাদের প্রতিনিধিত্বটি পুনরায় সংযুক্ত করতে পারি এবং অনুসরণ করব।

k = 2 α

$k=2\alpha$

s = 1 / \sqrt{α β}

$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$

μ

$\mu$

l

$l$

— রোমিল সিরোহি
সূত্র