গাউসিয়ান প্রক্রিয়া এবং উইশার্ট বিতরণের জন্য কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স

আমি জেনারালাইজড উইশার্ট প্রসেসিস (জিডাব্লুপি) এই কাগজটির মাধ্যমে পড়ছি । কাগজটি স্কোয়ার্ড এক্সপেনসিয়াল কোভারিয়েন্স ফাংশন, অর্থাত্ using ব্যবহার করে বিভিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ( গাউসিয়ান প্রক্রিয়া অনুসরণের ) মধ্যে সমবায়নের গণনা করে । এটি তখন বলে যে এই সমবায় ম্যাট্রিক্স GWP অনুসরণ করে। $K(x,x') = \exp\left(-\frac{|(x-x')|^2}{2l^2}\right)$

আমি মনে করতাম যে লিনিয়ার কোভেরিয়েন্স ফাংশন ( ) $K(x,x') = x^Tx'$ থেকে গণিত একটি কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স উপযুক্ত প্যারামিটার সহ উইশার্ট বিতরণ অনুসরণ করে।

আমার প্রশ্ন হ'ল আমরা কীভাবে এখনও স্কোয়ারিয়েন্সকে স্কোয়ার্ড এক্সফেনসিয়াল কোভারিয়েন্স ফাংশন সহ উইশার্ট বিতরণ অনুসরণ করতে পারি? এছাড়াও, সাধারণভাবে, কোনও উইশার্ট বিতরণকৃত কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স উত্পাদনের জন্য কোভারিয়েন্স ফাংশনের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তটি কী?

— steadyfish
সূত্র

যা মিশ্রিত হয় তা হল পরিবেষ্টনের স্পেসিফিকেশন যা পরিবেষ্টিত স্থানের ভিত্তিতে গাউস প্রক্রিয়াটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং অপারেশন যা একটি সীমিত মাত্রিক গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে উইশার্ট বিতরণে রূপান্তরিত করে।

তাহলে একটি হল -dimensional গসিয়ান দৈব চলক (ক কলাম ভেক্টর) সঙ্গে গড় 0 এবং সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স , বিতরণের একটি বিশ্বকাপ বন্টন হয় । দ্রষ্টব্য যে একটি ম্যাট্রিক্স। চতুর্মুখী রূপ সম্পর্কে এটি একটি সাধারণ ফলাফল $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $p$ $\Sigma$ $\mathbf{W} = \mathbf{X} \mathbf{X}^T$ $W_p(\Sigma, 1)$ $\mathbf{W}$ $p \times p$

x \mapsto x x^{T}

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} \mathbf{x}^T$ গাউসীয় বিতরণকে উইশার্ট বিতরণে রূপান্তর করে। এটা তোলে ইতিবাচক নির্দিষ্ট সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স কোন পছন্দ জন্য ঝুলিতে

। আপনি IID পর্যবেক্ষণ থাকে তাহলে

তারপর

বিতরণের

একটি বিশ্বকাপ হয়

-distribution।

দ্বারা বিভক্ত হয়ে আমরা অনুশীলনীয় কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স পাই

অনুমান

Σ

$\Sigma$

X_{1}, \dots, X_{n}

$\mathbf{X}_1, \ldots, \mathbf{X}_n$

W_{i} = X_{i} X_{i}^{T}

$\mathbf{W}_i = \mathbf{X}_i \mathbf{X}_i^T$

W_{1} + \dots + W_{n}

$\mathbf{W}_{1} + \ldots + \mathbf{W}_n$

W_{p} (Σ, n)

$W_p(\Sigma, n)$

n

$n$

-

$-$

Σ

$\Sigma$ ।

গসিয়ান প্রসেসের জন্য একটি পরিবেষ্টনকারী স্থান আছে, করতে দেয় চিত্রণ জন্য বলে যে এটা , এই ধরনের যে বিবেচিত র্যান্ডম ভেরিয়েবল পরিবেষ্টনকারী স্থান উপাদান দ্বারা সূচীবদ্ধ করা হয়। অর্থাৎ, আমরা একটি প্রক্রিয়া । এটি গাউসিয়ান (এবং সরলতার জন্য এখানে গড় 0 দিয়ে থাকে) যদি এর সীমাবদ্ধ মাত্রিক প্রান্তিক বিতরণগুলি গাউসিয়ান হয়, অর্থাৎ, যদি $\mathbb{R}$ $(X(x))_{x \in \mathbb{R}}$ জন্য সব । ওপি দ্বারা উল্লিখিতকোভারিয়েন্স ফাংশনেরপছন্দকোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স নির্ধারণ করে, অর্থাৎ,

X (x_{1}, \dots, x_{p}) := (X (x_{1}), \dots, X (x_{p}))^{T} \sim N (0, Σ (x_{1}, \dots, x_{p}))

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) := (X(x_1), \ldots, X(x_p))^T \sim \mathcal{N}(0, \Sigma(x_1, \ldots, x_p))$

x_{1}, \dots, x_{p} \in R

$x_1, \ldots, x_p \in \mathbb{R}$

পছন্দমত disregarding

বিতরণের

হবে একটি বিশ্বকাপ

cov (X (x_{i}), X (x_{j})) = Σ (x_{1}, \dots, x_{p})_{i, j} = K (x_{i}, x_{j}) .

$\text{cov}(X(x_i), X(x_j)) = \Sigma(x_1, \ldots, x_p)_{i,j} = K(x_i, x_j).$

K

$K$

X (x_{1}, \dots, x_{p}) X (x_{1}, \dots, x_{p})^{T}

$\mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p) \mathbf{X}(x_1, \ldots, x_p)^T$

-বিজ্ঞান।

W_{p} (Σ (x_{1}, \dots, x_{p}), 1)

$W_p(\Sigma(x_1, \ldots, x_p), 1)$

— NRH
সূত্র

এই উত্তর দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। আমার কয়েকটি প্রশ্ন আছে, রেগ। আপনার উত্তর - আপনি যখন বলছেন যে গাউসিয়ান ডিস্টকে উইশার্ট ডিস্টে রূপান্তরিত করে এমন রূপান্তর ++ নির্দিষ্ট কোভ ম্যাট্রিক্সের যে কোনও পছন্দকে ধরে রাখে, আমাদের এই কোভ ম্যাট্রিক্সের জন্য কী আলাদা পছন্দ আছে? এছাড়াও, কেবল কোভ ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত কোভ ম্যাট্রিক্সের জন্য, আমি এবং জে গাউসিয়া প্রসেসের পরিবেষ্টিত স্থানের উপাদানগুলিকে ইঙ্গিত করে (উদাহরণস্বরূপ যদি এটি একটি অস্থায়ী প্রক্রিয়া হয় তবে টাইম ইনস্ট্যান্ট টিউন এবং টি 3)?

— স্ট্যাডিফিশ

i

$i$

j

$j$

x_{i}

$x_i$

x_{j}

$x_j$

Σ

$\Sigma$

-

$-$

Σ

$\Sigma$

Σ

$\Sigma$

x^{T} x

$x^{T}x$

@ স্টেডিফিশ, ওহ, আমি দেখতে পাচ্ছি প্রকৃতপক্ষে, আমি স্থানান্তরগুলি এবং ভেক্টরগুলি সারি বা কলামের ভেক্টর ছিল কিনা তা নিয়ে আমি ঝাপটে ছিলাম। আমি এখনই সেটিকে সুনির্দিষ্ট করে তুলেছি এবং এম্পিরিকাল কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং তাত্ত্বিক কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে কিছুটা যুক্ত করেছি। তাত্ত্বিক পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

— এনআরএইচ