কেন এফডিআর নিয়ন্ত্রণ FWER নিয়ন্ত্রণের চেয়ে কম কঠোর?

আমি পড়েছি যে এফডিআর নিয়ন্ত্রণ করা FWER নিয়ন্ত্রণের চেয়ে কম কঠোর, যেমন উইকিপিডিয়ায় :

এফডিআর নিয়ন্ত্রণকারী পদ্ধতি পারিবারিকভাবে ত্রুটি হারের (এফডাব্লুআর) পদ্ধতিগুলির (যেমন বোনফেরনির সংশোধন) তুলনায় মিথ্যা আবিষ্কারের উপর কম কঠোর নিয়ন্ত্রণের চেষ্টা করে। এটি প্রথম ধরণের ত্রুটিগুলির হার বৃদ্ধির ব্যয়ে শক্তি বৃদ্ধি করে, অর্থাত্, যখন এটি গ্রহণ করা উচিত তখন কোনও প্রভাবের নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করে।

তবে আমি ভাবছিলাম কীভাবে এটি গাণিতিকভাবে সত্য দেখাচ্ছে?

এফডিআর এবং এফডাব্লুয়ার মধ্যে কিছু সম্পর্ক আছে?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— সবার জন্য স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ
সূত্র

আপনি কি মূল কাগজটি পড়েছেন? এটি পরিসংখ্যানের কাগজে যে সমস্ত আশা করা যায় সেগুলি হ'ল: একক মৌলিক ধারণা, একটি স্পষ্ট এবং সংক্ষিপ্ত বিবরণ, একটি দরকারী উদাহরণ এবং (সংক্ষিপ্ত!) সঠিক প্রমাণ।

— কার্ডিনাল

প্রকৃতপক্ষে, @ কার্ডিনালালটি ঠিক ঠিক বলেছেন যে কাগজটি যতটা স্পষ্ট হয় তেমন পরিষ্কার। সুতরাং, কীসের জন্য এটি মূল্যবান, যদি আপনার কাগজে অ্যাক্সেস না থাকে তবে এখানে কীভাবে বেনজামিনী och হচবার্গ যুক্তি দেখান তার একটি সামান্য বিস্তৃত সংস্করণ:

রুজভেল্টের মিথ্যা rejections অনুপাত প্রত্যাশিত মান সব rejections । এখন, অবশ্যই মিথ্যা এবং সঠিক rejections এর সমষ্টি; পরের কল । $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

সংক্ষেপে, (এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য মূল অক্ষর এবং উপলব্ধ মানের জন্য ছোট হাতের অক্ষর ব্যবহার করে),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

এক সময় লাগে হলে । $Q=0$ $R=0$

এখন, দুই সম্ভাবনার আছে: হয় সমস্ত NULLs সত্য বা শুধু তাদের সত্য। প্রথম ক্ষেত্রে, সঠিক প্রত্যাখ্যান হতে পারে না, সুতরাং । সুতরাং, যদি কোনও প্রত্যাখ্যান থাকে ( ), , অন্যথায় । তাই, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

সুতরাং, এই ক্ষেত্রে যেমন তুচ্ছভাবে নিয়ন্ত্রণ করে এমন কোনও প্রক্রিয়াও এবং বিপরীতভাবে নিয়ন্ত্রণ করে । $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে যা , যদি (তাই আছে যদি অন্তত একটি মিথ্যা প্রত্যাখ্যান), আমরা স্পষ্টত (এই সাথে ভগ্নাংশ হচ্ছে আছে হর মধ্যে) যে । এটি সূচিত করে যে কমপক্ষে একটি মিথ্যা প্রত্যাখ্যান থাকলে সূচক ফাংশনটি মান 1 গ্রহণ করে, কখনই , চেয়ে কম হবে না । এখন, অসমতার উভয় পক্ষেই প্রত্যাশা নিন, যা একঘেয়েমি দ্বারা বৈষম্য অক্ষত রেখে দেয়, $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

একটি সূচক ফাংশনের প্রত্যাশিত মানটি ঘটনার সম্ভাবনা হওয়ায় আমাদের যা আবার । $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

সুতরাং, যখন আমাদের কাছে এমন একটি প্রক্রিয়া থাকে যা অর্থে নিয়ন্ত্রণ করে , আমাদের অবশ্যই সেই that । $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

বিপরীতে, নিয়ন্ত্রণ থাকা বেশ বড় নিয়ে আসতে পারে । স্বজ্ঞাতভাবে, সম্ভাব্য বৃহত সংখ্যক হাইপোথিসিসের মধ্যে পরীক্ষিত মিথ্যা প্রত্যাখ্যানগুলির ( ) একটি ননজারো প্রত্যাশিত ভগ্নাংশ গ্রহণ করা কমপক্ষে একটি মিথ্যা প্রত্যাখ্যান ( ) এর খুব উচ্চ সম্ভাবনা বোঝায় । $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

সুতরাং, কেবলমাত্র নিয়ন্ত্রণ পছন্দ হলে কোনও প্রক্রিয়া কম কঠোর হতে হবে , যা পাওয়ারের জন্যও ভাল। এটি যে কোনও বেসিক হাইপোথিসিস টেস্টের মতো একই ধারণা: আপনি যখন 5% স্তরে পরীক্ষা করেন আপনি 1% স্তরের পরীক্ষার চেয়ে বেশি ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন (সঠিক এবং মিথ্যা নাল উভয়ই) প্রত্যাখ্যান করেন যেহেতু আপনার চেয়ে একটি ছোট সমালোচনামূলক মান রয়েছে। $\FDR$

— ক্রিস্টোফ হ্যাঙ্ক
সূত্র

(+1) ভাল প্রদর্শন। স্পষ্টতই, প্রথম ক্ষেত্রে আমরা এও বলতে পারি যে FWER নিয়ন্ত্রণ FDR নিয়ন্ত্রণকে বোঝায় (যা প্রশ্নে বিষয়টি)। এছাড়াও, এটি উল্লেখ করার মতো হতে পারে যে এফডিআর নিয়ন্ত্রণের জন্য মূল কাগজে দেওয়া পদ্ধতির বিপরীতে এই সম্পত্তি পরীক্ষার পরিসংখ্যানগুলিতে কোনও বিতরণীয় অনুমান (যেমন, স্বাধীনতা) না নিয়ে আসে।

— কার্ডিনাল