তিন শতাংশের উপর ভিত্তি করে একটি বিতরণ অনুমান করা

Question

আমি যদি কেবল তিনটি পারসেন্টাইল জানি তবে আমি কোনও বিতরণ অনুমান করার জন্য কী কী পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি?

উদাহরণস্বরূপ, আমি জানি যে একটি নির্দিষ্ট ডেটা সেটে পঞ্চম শতকরা 8,135, 50 তম পারসেন্টাইল 11,259, এবং 95 তম পার্সেন্টাইল 23,611 হয়। আমি অন্য যে কোনও নম্বর থেকে তার শতকরা দিকে যেতে সক্ষম হতে চাই।

এটি আমার ডেটা নয় এবং এগুলি আমার কাছে থাকা সমস্ত পরিসংখ্যান। এটি পরিষ্কার যে বিতরণটি স্বাভাবিক নয়। আমার কাছে কেবলমাত্র অন্যান্য তথ্য হ'ল এই ডেটাটি বিভিন্ন স্কুল জেলার জন্য মাথাপিছু তহবিলের প্রতিনিধিত্ব করে।

পরিসংখ্যান সম্পর্কে আমি যথেষ্ট জানি যে এই সমস্যার কোনও সুনির্দিষ্ট সমাধান নেই, তবে ভাল অনুমানগুলি কীভাবে সন্ধান করা যায় তা জানতে যথেষ্ট নয়।

একটি লগইনাল বিতরণ উপযুক্ত হবে? রিগ্রেশন সঞ্চালনের জন্য আমি কোন সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করতে পারি (বা আমার নিজের এটি করা দরকার)?

Comments

আমি আর ট্যাগটি যুক্ত করেছি যাতে আর কোডটি আমার মন্তব্যে হাইলাইট হয়

— এমপিটকাস

একই প্রশ্নের (এবং এর সমাধান) এর বিশদ উদাহরণের জন্য, stats.stackexchange.com/questions/133129 এ সদৃশ থ্রেডটি দেখুন ।

— whuber

Answer 1

এই কাজটি করার জন্য বিশুদ্ধ পরিসংখ্যানের পদ্ধতিটি স্কুল ব্যয়ের বিতরণ সম্পর্কে একেবারে কোনও অতিরিক্ত তথ্য সরবরাহ করবে না: ফলাফলটি কেবল অ্যালগরিদমের একটি স্বেচ্ছাসেবী পছন্দকে প্রতিফলিত করবে।

আপনার আরও ডেটা দরকার ।

এটি সহজেই পাওয়া যায়: তুলনীয় জেলা থেকে যা কিছু হোক না কেন, পূর্ববর্তী বছরগুলির ডেটা ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, ২০০৮ সালে ১৪৮66 school স্কুল জেলায় ফেডারেল ব্যয় আদমশুমারি সাইট থেকে পাওয়া যায় । এটি দেখায় যে দেশজুড়ে মোট মাথাপিছু (নথিভুক্ত) ফেডারেল রাজস্ব প্রায় আনুষ্ঠানিকভাবে বিতরণ করা হয়েছিল, তবে রাষ্ট্রীয়ভাবে এটি ভেঙে দেয়ার যথেষ্ট পরিবর্তন ঘটে ( উদাহরণস্বরূপ , আলাস্কায় লগ ব্যয় নেতিবাচক স্ক্রু রয়েছে এবং কলোরাডোতে লগ ব্যয় শক্তিশালী ইতিবাচক স্কিউ রয়েছে) । বিতরণের সম্ভাব্য ফর্মটি চিহ্নিত করতে সেই ডেটাগুলি ব্যবহার করুন এবং তারপরে আপনার কোয়ান্টাইলগুলিকে সেই ফর্মের সাথে ফিট করুন।

আপনি যদি এমনকি সঠিক বিতরণ ফর্মের কাছাকাছি থাকেন তবে আপনার এক বা সর্বোচ্চ দুটি পরামিতি ফিট করে কোয়ান্টাইলগুলি সঠিকভাবে পুনরুত্পাদন করতে সক্ষম হওয়া উচিত। ফিট সন্ধানের জন্য সেরা কৌশলটি আপনি কোন বিতরণ ফর্মটি ব্যবহার করেন তার উপর নির্ভর করে তবে আরও গুরুত্বপূর্ণ - এটি আপনার ফলাফলগুলি কী ব্যবহার করতে চান তার উপর নির্ভর করবে। আপনার কি গড় ব্যয়ের পরিমাণ অনুমান করা দরকার? ব্যয়ের উপরের ও নিম্নতর সীমা? যা-ই হোক না কেন, আপনি ফিটের কিছু ধার্মিকতার জন্য কিছুটা গ্রহণ করতে চান যা আপনাকে ফলাফলের সাথে ভাল সিদ্ধান্ত নেওয়ার সেরা সুযোগ দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার আগ্রহটি সমস্ত ব্যয়ের উপরের 10% এর উপরে কেন্দ্রীভূত হয় তবে আপনি 95 তম পার্সেন্টাইল সঠিকভাবে ফিট করতে চাইবেন এবং আপনি 5 তম পার্সেন্টাইল ফিট করার বিষয়ে কিছুটা যত্ন নিতে পারেন। কোনও অত্যাধুনিক ফিটিং কৌশল আপনার জন্য এই বিবেচনা তৈরি করবে না।

অবশ্যই কেউ বৈধতা দিয়ে গ্যারান্টি দিতে পারে না যে এই তথ্য-অবহিত, সিদ্ধান্ত-ভিত্তিক পদ্ধতিটি কোনও পরিসংখ্যানের রেসিপি তুলনায় আরও ভাল (বা আরও খারাপ) সম্পাদন করবে, তবে - একটি সম্পূর্ণ পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির বিপরীতে - এই পদ্ধতির বাস্তব ভিত্তিতে ভিত্তি রয়েছে, আপনার প্রয়োজনীয়তার উপর ফোকাস দিয়ে, এটি সমালোচনার বিরুদ্ধে কিছু বিশ্বাসযোগ্যতা এবং প্রতিরক্ষা প্রদান করে।

Comments

+1 আপনার আরও ডেটা এবং অতিরিক্ত জোর পাওয়ার জন্য ফলাফলগুলি কী ব্যবহার করতে চান তা আপনার প্রয়োজন ।

— ভিকিউভি

মনে হচ্ছে আপনার উত্তরে প্রচুর জ্ঞান রয়েছে। আমাকে তাদের সাথে আরও পরামর্শ করতে হবে যারা আমাকে সমস্যাটি বলেছিল তারা কেবল যা চায় তার বিষয়ে। লিঙ্কগুলি এবং পরামর্শের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— মার্ক আইশেনল্যাব

ভাগ্য!

— হোবার

Answer 2

@ শুভ যেমন উল্লেখ করেছেন, পরিসংখ্যানগত পদ্ধতিগুলি এখানে ঠিক কাজ করে না। আপনার অন্যান্য উত্স থেকে বিতরণ অনুমান করা প্রয়োজন। আপনি যখন বিতরণটি জানেন তখন আপনার একটি অ-রৈখিক সমীকরণ সমাধানের অনুশীলন থাকে। দ্বারা চিহ্নিত প্যারামিটার ভেক্টর দিয়ে আপনার নির্বাচিত সম্ভাব্যতা বিতরণের সমাংশক ফাংশন θ । আপনার কাছে যা আছে তা নীচের সমীকরণের অলৈখিক সিস্টেম:$f$$\theta$

$$\begin{align*} q_{0.05}&=f(0.05,\theta) \\\\ q_{0.5}&=f(0.5,\theta) \\\\ q_{0.95}&=f(0.95,\theta)\\\\ \end{align*}$$

$q$$\theta$

$$\begin{align*} (q_{0.05}-f(0.05,\theta))^2+ (q_{0.5}-f(0.5,\theta))^2 + (q_{0.95}-f(0.95,\theta))^2 \end{align*}$$

এখানে আমি চতুর্ভুজ ফাংশনটি বেছে নিয়েছি, তবে আপনি যা চান তা চয়ন করতে পারেন। @ শুভ মন্তব্য অনুসারে আপনি ওজন নির্ধারণ করতে পারেন, যাতে আরও গুরুত্বপূর্ণ কোয়ান্টাইলগুলি আরও সঠিকভাবে লাগানো যায়।

চার এবং আরও বেশি পরামিতিগুলির জন্য সিস্টেমটি নির্ধারিত হয়, সুতরাং অসীম সংখ্যক সমাধান বিদ্যমান।

এই পদ্ধতির চিত্রিত করে এখানে কিছু নমুনা আর কোড দেওয়া আছে। বিক্ষোভের উদ্দেশ্যে, আমি ভিজিএএম প্যাকেজ থেকে সিং-মাদডালা বিতরণ থেকে কোয়ান্টাইলগুলি উত্পন্ন করি । এই বিতরণে 3 টি প্যারামিটার রয়েছে এবং এটি আয় বিতরণ মডেলিংয়ে ব্যবহৃত হয়।

 q <- qsinmad(c(0.05,0.5,0.95),2,1,4)
 plot(x<-seq(0,2,by=0.01), dsinmad(x, 2, 1, 4),type="l")
 points(p<-c(0.05, 0.5, 0.95), dsinmad(p, 2, 1, 4))

এখন এমন ফাংশনটি গঠন করুন যা সমীকরণের অ-রৈখিক সিস্টেমটিকে মূল্যায়ন করে:

 fn <- function(x,q) q-qsinmad(c(0.05, 0.5, 0.95), x[1], x[2], x[3])

সত্য মানগুলি সমীকরণটি পূরণ করে কিনা তা পরীক্ষা করুন:

 > fn(c(2,1,4),q)
   [1] 0 0 0

অ-লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেমটি সমাধানের জন্য আমি nleqslvপ্যাকেজ nlqeslv থেকে ফাংশনটি ব্যবহার করি ।

 > sol <- nleqslv(c(2.4,1.5,4.3),fn,q=q)
 > sol$x       
  [1] 2.000000 1.000000 4.000001

যেমনটি আমরা দেখি আমরা সঠিক সমাধান পেয়েছি। এখন আসুন আমরা এই কোয়ান্টাইলগুলিতে লগ-সাধারণ বিতরণে ফিট করার চেষ্টা করি। এর জন্য আমরা optimফাংশনটি ব্যবহার করব ।

 > ofn <- function(x,q)sum(abs(q-qlnorm(c(0.05,0.5,0.95),x[1],x[2]))^2)
 > osol <- optim(c(1,1),ofn)
 > osol$par
   [1] -0.905049  0.586334

এখন ফলাফল প্লট করুন

  plot(x,dlnorm(x,osol$par[1],osol$par[2]),type="l",col=2)
  lines(x,dsinmad(x,2,1,4))
  points(p,dsinmad(p,2,1,4))

এ থেকে আমরা তাত্ক্ষণিকভাবে দেখতে পাচ্ছি যে চতুর্ভুজ ফাংশনটি এতটা ভাল নয়।

আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

Comments

গ্রেট! এই চেষ্টা যে সমস্ত প্রচেষ্টা জন্য ধন্যবাদ, এমপিটাস। আমি আর এর সাথে পরিচিত নই, তবে আপনার কোডটি যথেষ্ট পরিমাণে ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে আমি এখনও সহজেই বলতে পারি যে আপনি কী করছেন।

— মার্ক আইশেনলব

এই উদাহরণের জন্য অনেক ধন্যবাদ। আমার মনে হয় এতে 2 টি ভুল রয়েছে ofn <- function(x,q) sum(abs(q-qlnorm(c(0.05,0.5,0.95),x[1],x[2]))^2)। আমি প্রস্তাব দিচ্ছি ofn <- function(x) sum(abs(q-qlnorm(c(0.05,0.5,0.95),x[1],x[2],x[3]))^2)কারণ qএটি ইনপুট নয় ofnএবং X[3]অনুপস্থিত। শুভেচ্ছা সহ

Answer 3

ব্যবহার করে দেখুন rriskDistributions প্যাকেজ, এবং - আপনি lognormal বন্টন পরিবার বিষয়ে নিশ্চিত হয়ে - কমান্ড ব্যবহার

get.lnorm.par(p=c(0.05,0.5,0.95),q=c(8.135,11.259,23.611))

যা আপনার সমস্যার সমাধান করা উচিত। fit.percপরিবর্তে যদি আপনি কোনও পরিচিত পিডিএফ সীমাবদ্ধ রাখতে না চান তবে ব্যবহার করুন ।

Comments

সুপার সহজ সমাধান!

— লুচোনাচো

Answer 4

লগন্যালমের জন্য মিডিয়ানের 95 তম পার্সেন্টাইলের অনুপাতটি 5 তম পার্সেন্টাইলের মধ্যকের অনুপাতের সমান। এটি এখানে প্রায় সত্যও নয় তাই লগনারমাল ভাল মানায় না।

আপনার কাছে তিনটি প্যারামিটার সহ একটি বিতরণ মাপসই করার জন্য পর্যাপ্ত তথ্য রয়েছে এবং আপনার স্পষ্টভাবে স্কিউ বিতরণ দরকার। বিশ্লেষণাত্মক সরলতার জন্য, আমি স্থানান্তরিত লগ-লজিস্টিক বিতরণটিকে তার কোয়ান্টাইল ফাংশন হিসাবে প্রস্তাব করব (অর্থাত্ এটির সংমিশ্রণ বিতরণ ফাংশনের বিপরীত) যুক্তিসঙ্গত সরল বদ্ধ আকারে রচনা করা যেতে পারে, সুতরাং আপনার জন্য ক্লোজড-ফর্ম এক্সপ্রেশন পেতে সক্ষম হওয়া উচিত এর তিনটি পরামিতি আপনার তিন কোয়ান্টাইলের সাথে কিছুটা বীজগণিতের সাথে (আমি এটি একটি অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দেব!)। এই বিতরণ বন্যা ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

এটি আপনাকে অন্য কোয়ান্টাইলগুলির অনুমানের ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তার কোনও ইঙ্গিত দিচ্ছে না। আপনার প্রয়োজন আছে কিনা তা আমি জানি না, তবে একজন পরিসংখ্যানবিদ হিসাবে আমার মনে হয় এটি সরবরাহ করতে আমার সক্ষম হওয়া উচিত, তাই আমি এই উত্তরটির সাথে সত্যই সন্তুষ্ট নই। আমি অবশ্যই এই পদ্ধতিটি বা সম্ভবত কোনও পদ্ধতি 5 তম থেকে 95 তম পার্সেন্টাইলের সীমার বাইরে (অনেক) এক্সট্রোপোলেট করতে ব্যবহার করব না ।

Comments

পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ. পুনরায়: লগন্যালমাল - আমি সবকিছু থেকে 7077 বিয়োগ করে, তারপরে শেষে এটিকে যুক্ত করে, শতাংশের অনুপাতগুলিকে মধ্যযুগীয় কাজ করতে পারতাম। এই ধারণাটি কত খারাপ হবে?

— মার্ক আইচেনল্যাব

ভাল কথা, এটি একটি 'স্থানান্তরিত লগ-স্বাভাবিক বিতরণ' দেয়। লগ-নরমাল এবং লগ-লজিস্টিকগুলি পরবর্তীকালের ভারী লেজগুলি ছাড়াও আকারে বেশ একই রকম, যাতে আপনি উভয়ই চেষ্টা করে দেখতে পারেন এবং ফলাফলগুলি তুলনা করতে পারেন।

— অনস্টপ

কিভাবে তুলনা? স্থানান্তরিত লগনরমালটি কোয়ান্টাইলগুলি পুরোপুরি ফিট করার গ্যারান্টিযুক্ত। প্রায় কোনও থ্রি-প্যারামিটার পরিবার পুরোপুরি ফিট করে। আপনি কিভাবে দুটি নিখুঁত ফিট তুলনা করতে?

— whuber

@ যেহেতু আমি বলতে চাইছিলাম অন্যান্য মানগুলির সাথে

— মিল

আমি কিছু মিস করছি: আর কি মূল্য? ওপিতে বলা হয়েছে যে কেবল তিনটি পারসেন্টাইল পাওয়া যায়, অন্য কিছু নেই।

— হোয়বার

Answer 5

আপনি কেবলমাত্র ডেটা থেকে অনুমান করতে পারেন সেগুলি হল বিতরণটি অযৌক্তিক। এমনকি আপনি বলতে পারবেন না যে এই কোয়ান্টাইলগুলি কোনও লাগানো বিতরণ থেকে এসেছে বা কেবল ইসিডিএফ।

যদি তারা কোনও উপযুক্ত বিতরণ থেকে আসে, আপনি যে সমস্ত বিতরণগুলি ভাবতে পারেন তা চেষ্টা করতে পারেন এবং কোনও মিল আছে কিনা তা দেখতে পারেন। যদি তা না হয় তবে প্রায় পর্যাপ্ত তথ্য নেই। কোয়ান্টাইল ফাংশনটির জন্য আপনি ২ য় ডিগ্রি বহুবর্ষীয় বা ২ য় ডিগ্রি স্প্লিনকে বিভক্ত করতে পারেন এবং এটি ব্যবহার করতে পারেন, বা বিতরণ পরিবার এবং ম্যাচ কোয়ান্টাইলগুলির সাথে একটি তত্ত্ব নিয়ে আসতে পারেন, তবে এই পদ্ধতিগুলির সাহায্যে আপনার যে কোনও অনুমান তৈরি করবেন তা গভীরভাবে সন্দেহ করবে।

Comments

পলিনোমিয়ালস এবং স্প্লাইনগুলি বৈধ সিডিএফ হওয়ার সম্ভাবনা কম।

— হোয়বার

ভাল পর্যবেক্ষণ। এক্ষেত্রে স্বাভাবিক চতুষ্কোণ বহুপদী কাজ করতে ব্যর্থ হয়, তবে বেছে নেওয়ার জন্য অনেকগুলি চতুষ্কোণ স্প্লিন রয়েছে (মনে করুন বাজিয়ার) একই সমস্যা না হওয়া উচিত (যদিও কারও কারও কাছে এখনও ডোমেন ক্রপিংয়ের প্রয়োজন হতে পারে)। একইভাবে, উপযুক্ত একঘেয়েমি কিউবিক স্প্লাইন সন্ধান করা উচিত। আমি স্প্লাইন অ্যালগরিদমগুলি সম্পর্কে সচেতন যা একঘেয়েত্বের গ্যারান্টিযুক্ত, তবে এখনই একটি আবিষ্কার করতে পারছি না, তাই "বিষয়টি আপনার পছন্দ মতো সিডিএফ হিসাবে বেছে নেওয়া" বাছাইয়ের ক্ষেত্রে আমি বিষয়টি ছেড়ে যেতে হবে।

— sesqu

আপনি কোয়ান্টাইলের লোগারিথামগুলিতে একরোটিক স্প্লিন (বা যাই হোক না কেন) ফিট করার জন্য এতদূর যেতে পারেন, যার ফলে কোয়ান্টাইলসের সীমার মধ্যে যুক্তিসঙ্গত কিছু পাওয়া যায়। তবে এটি দুটি চরম কোয়ান্টাইলের বাইরে লেজগুলি ফিট করতে কোনও সহায়তা দেয় না। ফিটের এমন একটি গুরুত্বপূর্ণ দিকটি সংখ্যাযুক্ত ফিটিং পদ্ধতির দুর্ঘটনাজনিত বৈশিষ্ট্যগুলিতে ছেড়ে যেতে দিতে অনিচ্ছুক হওয়া উচিত।

— whuber

Answer 6

প্রাকৃতিক বিতরণের প্যারামিটারগুলি অনুমান করার জন্য কোয়ান্টাইলের ব্যবহারটি মানুষের প্রতিক্রিয়া সময় পরিমাপের উপর সাহিত্যে "কোয়ান্টাইল সর্বাধিক সম্ভাবনার অনুমান" (কিউএমটিই, যদিও মূলত ভুলভাবে ডাবড "কোয়ান্টাইল সর্বাধিক সম্ভাবনার প্রাক্কলন", কিউএমএল) হিসাবে আলোচিত হয়, হিথকোটের দৈর্ঘ্যে আলোচিত এবং সহকর্মীরা । আপনি প্রাইরি ডিস্ট্রিবিউশনগুলির বিভিন্ন সংখ্যক (প্রাক্তন গসিয়ান, স্থানান্তরিত লগনারমাল, ওয়াল্ড এবং ওয়েবুল) ফিট করতে পারেন তারপরে প্রতিটি বিতরণে সবচেয়ে ভাল ফিট করে বলে মনে হয় ফলাফলের সর্বোত্তম ফিটগুলির সমষ্টি লগ সম্ভাবনার তুলনা করুন the

Comments

যে কোনও থ্রি-প্যারামিটার বিতরণটি পুরো তিন কোয়ান্টাইল ফিট করার গ্যারান্টিযুক্ত । সুতরাং কেবলমাত্র এক বা দুটি পরামিতি ফিট করতে এই পদ্ধতির ব্যবহার করা বুদ্ধিমানের কাজ। একা সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে এক-পরামিতি ফিটকে দুটি-পরামিতি ফিটের সাথে (আলাদা পরিবারের সাথে) তুলনা করারও কোনও অর্থ হয় না।

— হোয়বার

@ শুভ্র, পুনরায়: "যে কোনও ত্রি-প্যারামিটার বিতরণ তিনটি কোয়ান্টাইল পুরোপুরি ফিট করার গ্যারান্টিযুক্ত"। আমি এটা বুঝতে পারি নি, এতটা জেনে রাখা ভাল! পুনরায়: "একমাত্র সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে এক-পরামিতি ফিটকে দুটি পরামিতি ফিটের সাথে (আলাদা পরিবারের সাথে) তুলনা করা কোনও অর্থবোধ করে না" " হ্যাঁ, সত্যিই; আমি উল্লেখ করতে ব্যর্থ হয়েছি যে বিভিন্ন সংখ্যক প্যারামিটারের সাথে বিতরণের স্বাদগুলির সাথে তুলনা করা হলে কিছু জটিলতা সংশোধন (এআইসি, বিআইসি, ...) প্রয়োগ করতে হবে। যে ইশারা জন্য ধন্যবাদ।

— মাইক লরেন্স 21

আমি কিছুটা অতিরঞ্জিত করেছিলাম, কারণ আমি প্যারামিটারগুলির দুটি স্কেল এবং লোকেশন এবং তৃতীয় আকারের বিস্তৃত আকারের নিয়ে ভাবছিলাম। তবুও, বেশিরভাগ তিন-প্যারামিটার পরিবারগুলিতে তিনটি পারসেন্টাইল ফিট করার জন্য যথেষ্ট নমনীয়তা রয়েছে তবে তারা সমস্ত স্বতন্ত্র are

— হোয়বার

Answer 7

আপনি আপনার পারসেন্টাইল তথ্য কোনও উপায়ে উপকরণটি ব্যবহার করতে এবং আর প্যাকেজটি "লগস্প্লাইন" ব্যবহার করে অপ্রয়োজনীয়ভাবে বিতরণ অনুমান করতে পারেন। নীচে আমার ফাংশন যা এই জাতীয় পদ্ধতিতে নিয়োগ করে।

calc.dist.from.median.and.range <- function(m, r) 
{
    ## PURPOSE: Return a Log-Logspline Distribution given (m, r).
    ##          It may be necessary to call this function multiple times in order to get a satisfying distribution (from the plot). 
    ## ----------------------------------------------------------------------
    ## ARGUMENT:
    ##   m: Median
    ##   r: Range (a vector of two numbers)
    ## ----------------------------------------------------------------------
    ## RETURN: A log-logspline distribution object.
    ## ----------------------------------------------------------------------
    ## AUTHOR: Feiming Chen,  Date: 10 Feb 2016, 10:35

    if (m < r[1] || m > r[2] || r[1] > r[2]) stop("Misspecified Median and Range")

    mu <- log10(m)
    log.r <- log10(r)

    ## Simulate data that will have median of "mu" and range of "log.r"
    ## Distribution on the Left/Right: Simulate a Normal Distribution centered at "mu" and truncate the part above/below the "mu".
    ## May keep sample size intentionaly small so as to introduce uncertainty about the distribution. 
    d1 <- rnorm(n=200, mean=mu, sd=(mu - log.r[1])/3) # Assums 3*SD informs the bound
    d2 <- d1[d1 < mu]                   # Simulated Data to the Left of "mu"
    d3 <- rnorm(n=200, mean=mu, sd=(log.r[2] - mu)/3)
    d4 <- d3[d3 > mu]                   # Simulated Data to the Right of "mu"
    d5 <- c(d2, d4)                     # Combined Simulated Data for the unknown distribution

    require(logspline)
    ans <- logspline(x=d5)
    plot(ans)
    return(ans)
}
if (F) {                                # Unit Test 
    calc.dist.from.median.and.range(m=1e10, r=c(3.6e5, 3.1e12))
    my.dist <- calc.dist.from.median.and.range(m=1e7, r=c(7e2, 3e11))
    dlogspline(log10(c(7e2, 1e7, 3e11)), my.dist) # Density
    plogspline(log10(c(7e2, 1e7, 3e11)), my.dist) # Probability
    10^qlogspline(c(0.05, 0.5, 0.95), my.dist) # Quantiles 
    10^rlogspline(10, my.dist) # Random Sample 
}