কীভাবে আমি ক্যালকুলেট

ধরুন এবং স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণের ঘনত্ব ফাংশন এবং বিতরণ ফাংশন। $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

কীভাবে একজন অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে পারে:

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w

$\int^{\infty}_{-\infty}\Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw$

mathematical-statistics normal-distribution integral

— hadisanji
সূত্র

এই সব ঠিক আছে। আরও সাধারণ ফলাফলের প্রাথমিক সূচী যা এটিকে অন্তর্ভুক্ত করে সেটি হ'ল এলিসন (1964, জে.আম.স্ট্যাট.এ্যাসোক, 59, 89-95); উপপাদ্য ২ এর 1 টি

উত্তর:

আরও একটি প্রচলিত স্বরলিপি হয়

y (μ, σ) = \int Φ (\frac{x - μ}{σ}) ϕ (x) d x = Φ (\frac{- μ}{\sqrt{1 + σ^{2}}}) .

$y(\mu, \sigma) = \int\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\phi(x) dx = \Phi\left(\frac{-\mu}{\sqrt{1+\sigma^2}}\right).$

এটি এবং পার্থক্যের মাধ্যমে পাওয়া যাবে , প্রাথমিক ইন্টিগ্রালগুলি যা বন্ধ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে উত্পাদন করে: $\mu$ $\sigma$

\frac{\partial y}{\partial μ} (μ, σ) = - \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{σ^{2} + 1}} e^{- \frac{1}{2} \frac{μ^{2}}{σ^{2} + 1}},

$\frac{\partial y}{\partial \mu}(\mu, \sigma) = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi } \sqrt{\sigma ^2+1}}e^{-\frac{1}{2}\frac{\mu ^2}{\sigma ^2+1}},$

\frac{\partial y}{\partial σ} (μ, σ) = \frac{μ σ}{\sqrt{2 π} {(σ^{2} + 1)}^{3 / 2}} e^{- \frac{1}{2} \frac{μ^{2}}{σ^{2} + 1}} .

$\frac{\partial y}{\partial \sigma}(\mu, \sigma) = \frac{\mu\sigma }{\sqrt{2 \pi } \left(\sigma ^2+1\right)^{3/2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{\mu ^2}{\sigma ^2+1}}.$

প্রদত্ত সমাধান (যা সহজেই ডিফারেন্টেশন দ্বারা পরীক্ষা করা হয়) পেতে প্রাথমিক অবস্থায় = = দিয়ে এই সিস্টেমটি সংহত করা যায়। $y(0,1)$ $\int\Phi(x)\phi(x)dx$ $1/2$

— whuber
সূত্র

আমি সংখ্যার একীকরণের মাধ্যমে উত্তরটি ডাবল-চেক করেছি এবং , : এর অনুপাতটি কনট্যুর করেছিলাম : এই পরিসীমা জুড়ে এগারটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যক্তির সাথে চুক্তি হয়েছিল।

- 2 \leq μ \leq 2

$-2 \le \mu \le 2$

0 < σ \leq 2

$0 \lt \sigma \le 2$

— whuber

বাহ, চতুর সমাধান।

— ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন

আমি মনে করি এটি পরিদর্শন দ্বারা প্রায় সম্পন্ন করা যেতে পারে। ইন্টিগ্রালের অধীনে প্রথম শব্দটি একটি ইউনিফর্ম [0,1] এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যেহেতু সাধারণ পিডিএফ প্রতিসম হয়, তাই অবিচ্ছেদ্য

\frac{1}{2}

$1 \over 2$

— soakley

@ সোসকলি আপনার পদ্ধতির জন্য কাজ করে , তবে এটি

অন্যান্য যুক্তিতে কীভাবে প্রযোজ্য তা পরিষ্কার নয় ।

y (0, 1)

$y(0,1)$

y

$y$

— whuber

@ হুবুহু বুঝতে না পারার জন্য দুঃখিত, তবে ডেরিভেটিভ এবং প্রাথমিক শর্তের জন্য আমাদের দুটি বন্ধ ফর্ম পরে, কীভাবে আমরা সেখান থেকে চূড়ান্ত সমাধানে যেতে পারি? অন্য কথায়, আপনি ডেরাইভেটিভস এবং প্রাথমিক শর্তের জন্য বন্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশনগুলি দিয়ে কী করেছিলেন?

— ব্যবহারকারী 106860

যাক এবং সঙ্গে স্বাধীন স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে এবং একটি প্রমিত স্বাভাবিক দৈব চলক। তারপরে, $X$ $Y$ $X \sim N(a,b^2)$ $Y$ সুতরাং, মোট সম্ভাবনা আইন ব্যবহার করে, আমরা পেতে যে

P {X \leq Y ∣ Y = w} = P {X \leq w} = Φ (\frac{w - a}{b}) .

$P\{X \leq Y \mid Y = w\} = P\{X \leq w\} = \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right).$

এখন,

পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে

লক্ষ দ্বারা যে

, এবং এইভাবে আমরা পেতে

P {X \leq Y} = \int_{- \infty}^{\infty} P {X \leq Y ∣ Y = w} ϕ (w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w .

$P\{X \leq Y\} = \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq Y \mid Y = w\}\phi(w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw.$

P {X \leq Y} = P {X - Y \leq 0}

$P\{X \leq Y\} = P\{X-Y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

X - Y \sim N (a, b^{2} + 1)

$X-Y \sim N(a,b^2+1)$

যা হ'ল উত্তরগুলির ফলাফল হিসাবে একই।

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w = Φ (\frac{- a}{\sqrt{b^{2} + 1}})

$\int_{-\infty}^\infty \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw = \Phi\left(\frac{-a}{\sqrt{b^2+1}}\right)$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

এখানে আরও একটি সমাধান রয়েছে: আমরা সংজ্ঞায়িত

\begin{aligned} I (γ) & = \int_{- \infty}^{\infty} Φ (ξ x + γ) N (x | 0, σ^{2}) d x, \end{aligned}

$\begin{align*} I(\gamma) & =\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\xi x+\gamma)\mathcal{N}(x|0,\sigma^{2})dx, \end{align*}$

γ = - ξ μ

$\gamma=-\xi\mu$

I (γ)

$I(\gamma)$

I (0) = 0

$I(0)=0$

γ

$\gamma$

\begin{aligned} \frac{d I}{d γ} & = \int_{- \infty}^{\infty} N ((ξ x + γ) | 0, 1) N (x | 0, σ^{2}) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} {(ξ x + γ)}^{2}) \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) d x . \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dI}{d\gamma} & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{N}((\xi x+\gamma)|0,1)\mathcal{N}(x|0,\sigma^{2})dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\xi x+\gamma\right)^{2}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right)dx. \end{align*}$

\begin{aligned} {(ξ x + γ)}^{2} + \frac{x^{2}}{σ^{2}} & = \underset{= a}{\underset{⏟}{(ξ^{2} + σ^{- 2})}} x^{2} + \underset{= b}{\underset{⏟}{- 2 γ ξ}} x + \underset{= c}{\underset{⏟}{γ^{2}}} \\ = a {(x - \frac{b}{2 a})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4 a}) (c - \frac{b^{2}}{4 a}) \\ = γ^{2} - \frac{4 γ^{2} ξ^{2}}{4 (ξ^{2} + σ^{- 2})} \\ = γ^{2} (1 - \frac{ξ^{2}}{ξ^{2} + σ^{- 2}}) \\ = γ^{2} (\frac{1}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \left(\xi x+\gamma\right)^{2}+\frac{x^{2}}{\sigma^{2}} & =\underbrace{\left(\xi^{2}+\sigma^{-2}\right)}_{=a}x^{2}+\underbrace{-2\gamma\xi}_{=b}x+\underbrace{\gamma^{2}}_{=c} \\ &=a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right) \left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\\ & =\gamma^{2}-\frac{4\gamma^{2}\xi^{2}}{4\left(\xi^{2}+\sigma^{-2}\right)}\\ &=\gamma^{2}\left(1-\frac{\xi^{2}}{\xi^{2}+\sigma^{-2}}\right)\\ &=\gamma^{2}\left(\frac{1}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right) \end{align*}$

\begin{aligned} \frac{d I}{d γ} & = \frac{1}{2 π σ} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \sqrt{\frac{2 π}{a}} \int_{- \infty}^{\infty} \sqrt{\frac{a}{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} a {(x - \frac{b}{2 a})}^{2}) d x \\ = \frac{1}{2 π σ} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \sqrt{\frac{2 π}{a}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} a}} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π (1 + σ^{2} ξ^{2})}} \exp (- \frac{1}{2} \frac{γ^{2}}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dI}{d\gamma} & =\frac{1}{2\pi\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{a}{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^{2}\right)dx\\ & =\frac{1}{2\pi\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}a}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi\left(1+\sigma^{2}\xi^{2}\right)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\gamma^{2}}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right) \end{align*}$

\begin{aligned} I (γ) & = \int_{- \infty}^{γ} \frac{1}{\sqrt{2 π (1 + σ^{2} ξ^{2})}} \exp (- \frac{1}{2} \frac{z^{2}}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) d z \\ = Φ (\frac{γ}{\sqrt{1 + ξ^{2} σ^{2}}}) \end{aligned}

$\begin{align*} I(\gamma) &=\int_{-\infty}^{\gamma}\frac{1}{\sqrt{2\pi\left(1+\sigma^{2}\xi^{2}\right)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{z^{2}}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right)dz\\ &=\Phi\left(\frac{\gamma}{\sqrt{1+\xi^{2}\sigma^{2}}}\right) \end{align*}$

যা বোঝা

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} Φ (ξ x) N (x | μ, σ^{2}) d x & = I (ξ μ) \\ = Φ (\frac{ξ μ}{\sqrt{1 + ξ^{2} σ^{2}}}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\xi x)\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^{2})dx &=I(\xi\mu)\\ &=\Phi\left(\frac{\xi\mu}{\sqrt{1+\xi^{2}\sigma^{2}}}\right). \end{align*}$

— জেনি রিইঞ্জার
সূত্র