কুর্তোসিস সংজ্ঞা এবং তাদের ব্যাখ্যাগুলিতে পার্থক্য

আমি সম্প্রতি উপলব্ধি করেছি যে এসপিএসএস এবং স্টাটা দ্বারা সরবরাহিত কুর্তোসিস মানগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে।

Http://www.ats.ucla.edu/stat/mult_pkg/faq/general/kurtosis.htm দেখুন

আমার বোধগম্য হ'ল একইর ব্যাখ্যাটি তাই আলাদা হবে।

এটি মোকাবেলা করার জন্য কোনও পরামর্শ?

— সিজার ক্যামেস্ট্রে
সূত্র

আমি প্রথম দুটি সূত্র সম্পর্কে জানতাম এবং সেগুলি আলাদা করা খুব সহজ; আমি তৃতীয় সূত্রটি দেখিনি।

— পিটার ফ্লুম

উত্তর:

তিনটি সূত্র

কুর্তোসিসের জন্য তিনটি সূত্র সাধারণত বিভিন্ন প্রোগ্রাম দ্বারা ব্যবহৃত হয়। আমি তিনটি সূত্র ( , এবং ) এবং সেগুলি যে প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করি সেগুলি উল্লেখ করব। $g_{2}$ $G_{2}$ $b_{2}$

প্রথম সূত্র এবং টিপিক্যাল অনেক পাঠ্যবই ব্যবহৃত সংজ্ঞা নেই (এই আপনার প্রদত্ত লিংক দ্বিতীয় সূত্র) যেখানে the নমুনা মুহুর্তগুলি বোঝায় :

g_{2} = \frac{m_{4}}{m_{2}^{2}}

$g_{2}=\frac{m_{4}}{m_{2}^{2}}$

m_{r}

$m_{r}$

m_{r} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \bar{x})^{r}

$m_{r}=\frac{1}{n}\sum(x_{i}-\bar{x})^{r}$

কখনও কখনও, এই সূত্রটিতে -3 এর একটি সংশোধন শব্দ যুক্ত করা হয় যাতে একটি সাধারণ বিতরণে 0 এর কুর্তোসিস থাকে -3-এর একটি শব্দযুক্ত কুর্তোসিস সূত্রকে অতিরিক্ত কুরটোসিস বলা হয় (আপনি যে লিঙ্কটি সরবরাহ করেছেন তার প্রথম সূত্র)।

দ্বিতীয় সূত্র (এসএএস, SPSS এবং মাইক্রোসফট এক্সেল দ্বারা ব্যবহৃত; এই লিঙ্কে তৃতীয় সূত্র আপনার প্রদত্ত হয়) করা হয়

G_{2} = \frac{k_{4}}{k_{2}^{2}} = \frac{n - 1}{(n - 2) (n - 3)} [(n + 1) g_{2} + 6]

$G_{2} = \frac{k_{4}}{k_{2}^{2}}= \frac{n-1}{(n-2)(n-3)}\left[(n+1)g_{2}+6\right]$

যেখানে in হ'ল প্রথম সূত্রে সংজ্ঞায়িত কর্টোসিস। $g_{2}$

তৃতীয় সূত্র (MINITAB এবং BMDP দ্বারা ব্যবহৃত) হয়

b_{2} = \frac{m_{4}}{s^{4}} - 3 = {(\frac{n - 1}{n})}^{2} \frac{m_{4}}{m_{2}^{2}} - 3

$b_{2}=\frac{m_{4}}{s^{4}}-3=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}\frac{m_{4}}{m_{2}^{2}}-3$

যেখানে হয় পক্ষপাতিত্বহীন নমুনা ভ্যারিয়েন্স : $s^2$

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_{i}-\bar{x})^2$

ইন Rসূঁচালতা ব্যবহার করে হিসাব করা যায় kurtosisথেকে ফাংশন e1071প্যাকেজ (লিঙ্ক এখানে )। বিকল্প typeনির্ধারণ করে যে তিনটি সূত্রের মধ্যে কোনটি গণনার জন্য ব্যবহৃত হয় (1 = , 2 = , 3 = )। $g_{2}-3$ $G_{2}$ $b_{2}$

এই দুটি কাগজই তিনটি সূত্র আলোচনা এবং তুলনা: প্রথম , দ্বিতীয় ।

সূত্রগুলির মধ্যে পার্থক্যের সংক্ষিপ্তসার

Using ব্যবহার করে একটি সাধারণ বিতরণে কার্টোসিস মান 3 থাকে তবে সংশোধন শব্দ -3 (যেমন এবং ) সম্পর্কিত সূত্রে একটি সাধারণ বিতরণে 0 এর অতিরিক্ত কুর্তোসিস থাকে। $g_{2}$ $G_{2}$ $b_{2}$
$G_{2}$ হ'ল একমাত্র সূত্র যা সাধারণ নমুনাগুলির জন্য নিরপেক্ষ অনুমান করে (যেমন স্বাভাবিকের অধীনে প্রত্যাশা শূন্য, বা )। $G_{2}$ $\mathbb{E}(G_{2})=0$
জন্য বৃহৎ নমুনা সূত্র মধ্যে পার্থক্য তুচ্ছ এবং পছন্দ অনেক ব্যাপার না।
জন্য একটি সাধারণ বিন্যাসের থেকে ছোট নমুনা পদ তিনটি সূত্রের সম্পর্ক গড় স্কোয়ারড ত্রুটি (MSE) হল: । সুতরাং এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম (যদিও কেবলমাত্র পক্ষপাতহীন)। কারণ তিনটি সূত্রের বৃহত্তম বৈকল্পিকতা রয়েছে: । $\operatorname{mse}(g_{2})<\operatorname{mse}(b_{2})<\operatorname{mse}(G_{2})$ $g_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $\operatorname{Var}(b_{2})<\operatorname{Var}(g_{2})<\operatorname{Var}(G_{2})$
অ-সাধারণ বিতরণ থেকে প্রাপ্ত ছোট্ট নমুনাগুলির জন্য , পক্ষপাতের দিক থেকে তিনটি সূত্রের সম্পর্ক হ'ল: । বর্গক্ষেত্রযুক্ত এররারের ক্ষেত্রে: । সুতরাং এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম গড় স্কোয়ার ত্রুটি এবং তিনটি সূত্রের ক্ষুদ্রতম পক্ষপাত রয়েছে। এর বৃহত্তম গড় স্কোয়ার ত্রুটি এবং পক্ষপাত রয়েছে। $\operatorname{bias}(G_{2})<\operatorname{bias}(g_{2})<\operatorname{bias}(b_{2})$ $\operatorname{mse}(G_{2})<\operatorname{mse}(g_{2})<\operatorname{mse}(b_{2})$ $G_{2}$ $b_{2}$
জন্য বৃহৎ নমুনা ( অ-স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন থেকে) $n>200$ , পক্ষপাত পরিপ্রেক্ষিতে তিন সূত্রের সম্পর্ক নেই: । বর্গক্ষেত্রযুক্ত এররারের ক্ষেত্রে: । $\operatorname{bias}(G_{2})<\operatorname{bias}(g_{2})<\operatorname{bias}(b_{2})$ $\operatorname{mse}(b_{2})<\operatorname{mse}(g_{2})<\operatorname{mse}(G_{2})$

আরও দেখুন উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা এবং MathWorld পৃষ্ঠা সূঁচালতা সম্পর্কে।

— সিওএল সার্ড্যাশ
সূত্র

আমি এটিকে "স্বাভাবিক গল্প" এর একটি সুন্দর, স্পষ্ট ব্যাখ্যা বলি। আমি যুক্ত করতাম যে লেপটোকুর্টিক, মেসোকার্টিক, প্লাতিকার্টিক কেবলমাত্র জিনিসপত্র যা আমাদের 20 তম শতাব্দীতে রেখে দেওয়া উচিত: আমাদের একটি পরিমাপ রয়েছে, যা আমাদের পরিমাণগতভাবে চিন্তা করা উচিত। আরও গুরুতরভাবে, ফ্ল্যাট-টপডের তুলনায় বিশ্লেষণটি শিখেছে কেবল বিতরণের সম্ভাব্য আকারের দুর্দান্ত পরিবর্তনের পক্ষে বিচার করে না, এমনকি এটি সমস্ত প্রতিসাম্যযুক্ত। অবশেষে, অনুশীলনে পক্ষপাতিত্ব খুব বেশি কামড় দেয় না যদি না আপনি অনুপযুক্ত ছোট নমুনাগুলি নিয়ে খেলেন তবে ভিন্নতা সত্যই ঘটে!

— নিক কক্স

আপনি দয়া করে সংক্ষিপ্তসার আইটেম # 2 স্পষ্ট করতে পারেন? স্পষ্টতই হ'ল একটি নমুনা পরিসংখ্যান তবে স্পষ্টতই এটি জন্য একইভাবে শূন্য নয় বরং বিতরণ। সম্ভবত আপনি বলতে চেয়েছিলেন এর প্রত্যাশা শূন্য? ( , এর সূত্রে " " কী? সম্ভবত?)

G_{2}

$G_2$

γ_{2}

$\gamma_2$

g_{2}

$g_2$

— হোবার

@ শুভ: হ্যাঁ, এটি অবশ্যই of এর প্রত্যাশা অবশ্যই অবশ্যই শূন্য। আগে উত্তর থেকে একটি বিধবা স্ত্রী ছিলেন এবং হওয়া উচিত (বর্তমানে পরিবর্তিত); আমি আমার উত্তরটি বেশ ভারী সম্পাদনা করেছি।

G_{2}

$G_{2}$

γ_{2}

$\gamma_{2}$

g_{2}

$g_{2}$

— COOLSerdash

ঠিক আছে, আরও ভাল দেখাচ্ছে। আমি এটিকে উজ্জীবিত করব তবে আশা করি আপনি অবশেষে এই বাক্যাংশটি সরিয়ে "একটি সাধারণ বিতরণের জন্য "।

G_{2} = 0

$G_2=0$

— whuber

প্রশ্নে লিঙ্কটি এসএএস সম্পর্কেও কথা বলে। তবে প্রকৃতপক্ষে এই প্রশ্নের কোনও কিছুই সম্ভবত পোস্টারের নিজস্ব ফোকাস ব্যতীত এগুলি নির্দিষ্ট নামযুক্ত প্রোগ্রামগুলিতে সীমাবদ্ধ করে।

আমি মনে করি আমাদের এখানে বিভিন্ন ধরণের সমস্যা আলাদা করতে হবে, যার মধ্যে কিছুটি মায়াময় এবং কিছুটি সত্যই।

কিছু প্রোগ্রাম করে এবং কিছু না করে 3 টি বিয়োগ করে যাতে রিপোর্ট করা কুর্তোসিস পরিমাপ 3 বিয়োগ বিহীন গৌসিয়ান / সাধারণ ভেরিয়েবলের জন্য এবং 0 টি বিয়োগের সাথে হয়। আমি লোকজনকে দেখে হতবাক হয়েছি, প্রায়শই যখন পার্থক্যটি দেখা যায় ঠিক ২.৯৯৯ বলার অপেক্ষা রাখে না।
কিছু প্রোগ্রাম কুরটোসিস পক্ষপাতিত্ব ছাড়াই অনুমান করা হয় তা নিশ্চিত করার জন্য ডিজাইন করা সংশোধন কারণ ব্যবহার করে। নমুনার আকার আরও বড় হওয়ার সাথে সাথে এই সংশোধন কারণগুলি 1 এ পৌঁছায় । যেহেতু কার্টোসিসটি কোনওভাবেই ছোট নমুনাগুলিতে ভালভাবে অনুমান করা যায় না, এটি খুব বেশি উদ্বেগের বিষয় নয়। $n$

সুতরাং, সূত্রগুলির একটি ছোট সমস্যা আছে, # 1 # 2 এর চেয়ে অনেক বড় চুক্তি, তবে উভয়ই নাবালক যদি বোঝা যায়। পরামর্শটি স্পষ্টভাবে হ'ল আপনি যে প্রোগ্রামটি ব্যবহার করছেন তার ডকুমেন্টেশনগুলি দেখুন এবং যদি সেই প্রোগ্রামটি তাত্ক্ষণিকভাবে ত্যাগ করার জন্য কোনও ধরণের বিবরণ ব্যাখ্যা করে এমন কোনও ডকুমেন্টেশন না থাকে। তবে ভেরিয়েবলের মতো সাধারণ পরীক্ষার ক্ষেত্রে (1, 2) একা # 1 উপর নির্ভর করে 1 বা 4 এর কুরটোসিস দেয় (কোনও সংশোধন ফ্যাক্টর ছাড়াই)।

প্রশ্নটি তখন ব্যাখ্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে তবে এটি অনেক বেশি উন্মুক্ত এবং বিতর্কিত বিষয়।

আমরা আলোচনার মূল ক্ষেত্রটিতে পৌঁছানোর আগে প্রায়শই রিপোর্ট করা হলেও খুব কম জানা মুশকিল হ'ল কুর্তোসিস অনুমান নমুনা আকারের ফাংশন হিসাবে আবদ্ধ। আমি কক্স, এনজে 2010-তে একটি পর্যালোচনা লিখেছি sample নমুনা স্কিউনেস এবং কুর্তোসিসের সীমা। স্টাটা জার্নাল 10 (3): 482-495। http://www.stata-journal.com/article.html?article=st0204

বিমূর্ততা: নমুনা স্কিউনেস এবং কুর্তোসিস নমুনা আকারের ক্রিয়া দ্বারা সীমাবদ্ধ। এগুলির সীমা বা আনুমানিকতাগুলি গত কয়েক দশক ধরে বারবার আবিষ্কার করা হয়েছে, তবে তবুও এটি কেবলমাত্র অল্প পরিচিত বলে মনে হচ্ছে। সীমাবদ্ধতা অনুমানের পক্ষপাত দেয় এবং, চরম ক্ষেত্রে, বোঝায় যে কোনও নমুনা তার পিতামাতার বন্টনের সঠিক সাক্ষ্য দিতে পারে না। প্রধান ফলাফলগুলি একটি টিউটোরিয়াল পর্যালোচনাতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে এবং এটি দেখানো হয়েছে যে কীভাবে স্টাটা এবং মাতা তাদের পরিণতি নিশ্চিত করতে ও অন্বেষণ করতে ব্যবহৃত হতে পারে।

এখন বিষয়টিকে সাধারণভাবে বিবেচনা করা হয়:

অনেকে কুর্তোসিসকে শিখরতা হিসাবে অনুবাদ করেন তবে অন্যরা জোর দিয়ে থাকেন যে এটি প্রায়শই লেজের ওজনের পরিমাপ হিসাবে কাজ করে। আসলে, দুটি ব্যাখ্যা দুটি বিতরণের জন্য যুক্তিসঙ্গত শব্দ হতে পারে ing এটি প্রায় অনিবার্য যে কুর্তোসিসের কোনও সাধারণ মৌখিক ব্যাখ্যা নেই: আমাদের ভাষা একই বর্ণের দ্বিতীয় শক্তিগুলির গড় এবং যোগফল থেকে বিচ্যুত হওয়ার চতুর্থ শক্তির সংখ্যার তুলনা করে যথেষ্ট সমৃদ্ধ নয়।

একটি অপ্রাপ্তবয়স্ক এবং প্রায়শই অবহেলিত ক্লাসিকের মধ্যে, ইরভিং কাপ্লানস্কি (1945a) কুর্তোসিসের কিছু আলোচনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয় এমন কুর্তোসিস এবং আচরণের বিভিন্ন মূল্যবোধের সাথে বিতরণের চারটি উদাহরণের দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিলেন।

ডিস্ট্রিবিউশনগুলি প্রতিটি 0 এবং বৈকল্পিক 1 এর সাথে প্রতিসাম্যযুক্ত এবং ভেরিয়েবল এবং , এর জন্য ঘনত্বের ফাংশন রয়েছে $x$ $c = \sqrt{\pi}$

$(1)\ \ \ (1 / 3c) (9/4 + x^4) \exp(-x^2)$

$(2)\ \ \ (3 / (c \sqrt8)) \exp(-x^2 / 2) - (1 / 6c) (9/4 + x^4) \exp(-x^2)$

$(3)\ \ \ (1 / 6c) (\exp(-x^2 / 4) + 4 \exp(-x^2))$

$(4)\ \ \ (3 \sqrt3 / 16c) (2 + x^2) \exp(-3x^2 / 4)$

কুর্তোসিস (বিয়োগ ছাড়াই) (1) 2.75 (2) 3.125 (3) 4.5 (4) 8/3 2.667: গাউসিয়ান বা সাধারণ মানের তুলনা করুন 3. গড়ের ঘনত্বটি (1) 0.423 (2) ) 0.387 (3) 0.470 (4) 0.366: 0.399 এর গাউসিয়ান মান তুলনা করুন। $\approx$

এই ঘনত্বগুলি প্লট করা শিক্ষণীয়। স্টাটা ব্যবহারকারীরা kaplanskyএসএসসি থেকে আমার প্রোগ্রামটি ডাউনলোড করতে পারেন । ঘনত্বের জন্য লোগারিথমিক স্কেল ব্যবহার করা সাহায্য করতে পারে।

সম্পূর্ণ বিশদ বিবরণ না দিয়ে এই উদাহরণগুলি এমন কোনও সাধারণ কাহিনীকে হ্রাস করে যা নিম্ন বা উচ্চ কুর্তোসিসের শিখরতা বা প্রকৃতপক্ষে অন্য কোনও একক বিপরীতে বিচারের স্পষ্ট ব্যাখ্যা রয়েছে।

ইরভিং কাপ্লানস্কি নামটি যদি একটি ঘন্টা বেজে যায় তবে এটি সম্ভবত কারণ আপনি আধুনিক বীজগণিত সম্পর্কে তাঁর কাজটি জানেন। তিনি (১৯১17-২০০6) একজন কানাডিয়ান (পরবর্তী আমেরিকান) গণিতবিদ এবং কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের জাতীয় প্রতিরক্ষা কাউন্সিলের প্রয়োগিত গণিত গোষ্ঠীতে যুদ্ধকালীন সময়ে হার্ভার্ড, শিকাগো এবং বার্কলে-তে শিক্ষকতা ও গবেষণা করেছিলেন। কাপলানস্কি গ্রুপ তত্ত্ব, রিং তত্ত্ব, অপারেটর বীজগণিতের তত্ত্ব এবং ক্ষেত্র তত্ত্বের ক্ষেত্রে বড় অবদান রেখেছিলেন। তিনি একজন দক্ষ পিয়ানোবাদক এবং গীতিকার এবং গণিতের একজন উত্সাহী এবং সুস্পষ্ট প্রকাশক ছিলেন। ক্যাপ্লানস্কি (1943, 1945 বি) এবং কপ্লানস্কি এবং রিওর্ডান (1945) দ্বারা সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান সম্পর্কিত কিছু অন্যান্য অবদানও নোট করুন।

কাপ্লানস্কি, আই 1943. সাধারণ বিতরণের একটি বৈশিষ্ট্য। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির পুস্তক 14: 197-198।

কাপ্লানস্কি, আই 1945a। কুরটোসিস সম্পর্কিত একটি সাধারণ ত্রুটি। জার্নাল, আমেরিকান পরিসংখ্যান সমিতি 40: 259 কেবল।

কাপ্লানস্কি, আই 1945 বি। পরপর উপাদানগুলির রানগুলির অ্যাসিম্পটোটিক বিতরণ। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির বার্তা 16: 200-203।

কাপ্লানস্কি, আই এবং রিওর্ডান, জে। 1945. একাধিক মিল এবং প্রতীকী পদ্ধতিতে চালিত। গাণিতিক পরিসংখ্যানগুলির বার্তা 16: 272-277।

— নিক কক্স
সূত্র

+1 ক্যাপ্লানস্কি সম্পর্কে আকর্ষণীয় মন্তব্য, যাদের বীজগণিত কাজটি সম্পর্কে আমি দীর্ঘকাল পরিচিত familiar

— whuber

নিক, আপনার মন্তব্য "আসলে, দুটি ব্যাখ্যা (শিখরতা এবং লেজুতা) উভয়ই কিছু বিতরণের জন্য যুক্তিসঙ্গত শব্দ হতে পারে।" ভুল কারণ এটি সহায়ক নয়, কেবল কারণ কার্টোসিস আপনাকে "পিকেসনেস" সম্পর্কে কিছুই বলে না। গম্ভীরভাবে, আপনি কি "পিক্সনেস" এর অর্থ কী তাও নির্ধারণ করতে পারেন ? এবং, একটি ফলোআপ, যদি আমি করতে পারি: আপনার "পিক্সনেস" এর সংজ্ঞা দেওয়া (ধরে নিই যে আপনি একটিটির সাথে আসতে পারেন), এটি কীভাবে গাণিতিকভাবে কুর্তোসিসের সাথে সম্পর্কিত?

— পিটার ওয়েস্টফল

@ পিটার ওয়েস্টফল যদি আমরা সম্মতি জানাতে পারি যে কুর্তোসিস যা কুর্তোসিস মাপ দেয় তবে আমার যুক্তিটি কেবল ক্যাপ্লানস্কির যুক্তি, যা কংক্রিট বক্ররেখা এবং সংখ্যাগত ফলাফলগুলির উপর ভিত্তি করে, মৌখিক বিচরণ নয়, অর্থাৎ উচ্চতর কুর্তোসিস কখনও কখনও উচ্চতর ঘনত্বের সাথে যায় এবং বিপরীতভাবে নিম্ন কুর্তোসিস। আমি উঁকি দেওয়া শব্দটির মোটেও আংশিক নই, এবং যখন মৌখিকভাবে সরল করতে বাধ্য তখন অনুশীলন কর্টোসিস বেশিরভাগ ক্ষেত্রে লেজের ওজনের গল্প weight আমি মনে করি যে সূত্রগুলি এখানে সমস্ত কাজ করে এবং সমস্ত পরিসংখ্যানের ওজন বহন করে এবং মৌখিক মেরুবিদগুলি কম সহায়ক বলে মনে করে।

— নিক কক্স

অতিরিক্ত হিসাবে, আমি পরামর্শ দিচ্ছি, সম্পূর্ণ প্রতিসাম্য বিতরণ ছাড়া কুর্তোসিসের কোনও সহজ বৈশিষ্ট্য নেই। আমি মনে করি না যে কেউ একেবারে শিখরতা সংজ্ঞায়িত করতে বাধ্য; যে সংজ্ঞাটি বিদ্যমান তা হ'ল কুর্তোসিস এবং ব্যবহারিক প্রশ্নগুলি কীভাবে এটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করতে হবে এবং এটি কতটা ব্যবহার।

— নিক কক্স

"কুর্তোসিস আপনাকে শিখর সম্পর্কে কিছুই বলেনি" কারণটি বিবৃতি নিজেই অসমর্থিত। অনুপস্থিত রেফারেন্সগুলিতে অবশ্যই আপনার কাগজ টিএএস-এ অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা আগ্রহী লোকদের আপনার নিজের দীর্ঘতর আলোচনা বিবেচনা করার জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য।

— নিক কক্স