মাল্টিভারিয়েট স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ এবং গাউসিয়ান কপুলার মধ্যে পার্থক্য

আমি আশ্চর্য হয়েছি যে মাল্টিভারিয়েট স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ এবং গাউসিয়ান কপুলার মধ্যে পার্থক্য কিহেতু যখন আমি ঘনত্বের ফাংশনটি দেখি তারা আমার কাছে একই রকম মনে হয়।

আমার সমস্যাটি হ'ল কেন গাউসীয় কপুলার প্রচলন ঘটে বা গাউসিয়ান কপুলার কী উপকার হয় বা গৌসিয়ান কোপুলা যখন বহুবিধ মানক ক্রিয়াকলাপ ছাড়া আর কিছুই না হয় তবে তার শ্রেষ্ঠত্ব কী।

এছাড়াও কোপুলায় সম্ভাবনার অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরের পিছনে ধারণাটি কী? আমি বলতে চাই আমরা জানি যে একটি কোপুলা সমান পরিবর্তনশীল সহ একটি ফাংশন। কেন এটি অভিন্ন হতে হবে? মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের মতো প্রকৃত ডেটা ব্যবহার করে কেন না পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স? (সাধারণত আমরা দুটি সম্পদ তাদের সম্পর্কগুলি বিবেচনা করার জন্য প্রত্যাবর্তন করার পরিকল্পনা করি তবে এটি যখন কপুলা হয়, আমরা আমাদের পরিবর্তে সম্ভাব্যতাগুলি প্লট করি))

আরেকটি প্রশ্ন. আমিও সন্দেহ করি যে এমভিএন থেকে পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স কপুলার মতো নন-প্যারামেট্রিক বা আধা-প্যারামেট্রিক হতে পারে (কোপুলা প্যারামিটারের জন্য কেন্ডলের টাউ ইত্যাদি হতে পারে) whether

আমি এই অঞ্চলে নতুন থাকায় আপনার সহায়তার জন্য আমি অনেক ধন্যবাদ জানব। (তবে আমি প্রচুর কাগজপত্র পড়েছি এবং এগুলি কেবলমাত্র আমি বুঝতে পারি না)

normal-distribution copula

— user26979
সূত্র

আপনি কীভাবে "ঘনত্বের ক্রিয়াটি দেখছেন"? আপনি সম্ভবত এমন কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করছেন না যা যথেষ্ট সংবেদনশীল। উদাহরণস্বরূপ, প্রান্তিকগুলি অস্বাভাবিক হলে ঘনত্ব অবশ্যই স্বাভাবিকভাবে মাল্টিভারিয়েট হয় না! একটি সঙ্গে একটি গসিয়ান যোজক পদ ব্যবহার করে এই চেষ্টা মাল্টিমোডাল যেমন একটি বেটা যেমন, বিতরণ

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$ : যে নিশ্চিতভাবে অ স্বাভাবিক পর্যবেক্ষণ করা কর্তব্য!

— হোবার

সমীকরণ (6) হয় bivariate গসিয়ান যোজক সিডিএফ iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/... যখন বিবরণের বিভাগে প্রথম সমীকরণ bivariate আদর্শ স্বাভাবিক সিডিএফ হয় roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical- গ্রন্থাগারগুলি /… এবং যখন আমরা তাদের একসাথে তুলনা করি তখন কার্যকরী ফর্মটি খুব সাদৃশ্যপূর্ণ। ওরা আমার কাছে ঠিক একই রকম

— ব্যবহারকারী26979

আপনি ঠিক বলেছেন: এ কারণেই আপনার এলোমেলো ইন্টারনেট রেফারেন্সের উপর নির্ভর করা উচিত নয়, বিশেষত যারা দুর্বল সংজ্ঞায়িত শর্তাদি এবং ভয়াবহ টাইপসেটিংয়ের সাথে থাকে। নেলসনের সাথে পরামর্শ করুন (আপনার প্রথম লিঙ্কের অন্যতম উত্স এবং বিশিষ্টভাবে পাঠযোগ্য)।

— হোবার

সুতরাং, যদি উপরে উল্লিখিত সাইটগুলি উল্লেখ না করা হয় তবে আপনার দৃষ্টিতে পার্থক্য কী?

— ব্যবহারকারী26979

প্রযুক্তিগত কাগজপত্র সম্পর্কে একটি সাধারণ নিয়ম - বিশেষত ওয়েবে পাওয়া যায় - হ'ল যে কোনও পরিসংখ্যানগত বা গাণিতিক সংজ্ঞা তাদের মধ্যে দেওয়া নির্ভরযোগ্যতার সাথে কাগজের শিরোনামে উল্লিখিত অসম্পর্কিত নন-স্ট্যাটিস্টিকাল বিষয়ের সংখ্যার বিপরীতভাবে পরিবর্তিত হয়। প্রদত্ত প্রথম রেফারেন্সের পৃষ্ঠার শিরোনামটি (প্রশ্নের মন্তব্যে) হ'ল "ফিনান্স থেকে কসমোলজি: দ্য কোপুলার অফ লার্জ-স্কেল স্ট্রাকচার।" "অর্থ" এবং "মহাজাগতিক" উভয়ই সুস্পষ্টভাবে উপস্থিত হওয়ার সাথে আমরা নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত হতে পারি যে এটি কোপুলাস সম্পর্কে তথ্যের কোনও ভাল উত্স নয়!

এর পরিবর্তে মূল সংজ্ঞাগুলির জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড এবং খুব অ্যাক্সেসযোগ্য পাঠ্যপুস্তক, রজার নেলসনের একটি পরিচিতি (দ্বিতীয় সংস্করণ, 2006) চালু করা যাক ।

... প্রতিটি কোপুলা মার্জিনের সাথে একটি যৌথ বিতরণ ফাংশন যা [বদ্ধ ইউনিটের ব্যবধান অভিন্ন । $[0,1]]$

[পি। 23, নীচে।]

কপুলিতে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টির জন্য, স্কলার এর উপপাদ্য বইয়ের প্রথম উপপাদ্যটির দিকে ফিরে যান :

মার্জিন এবং সাথে একটি যৌথ বিতরণ ফাংশন হতে দিন । তারপর অস্তিত্ব আছে একটি যোজক পদ যেমন যে সব জন্য [বর্ধিত বাস্তব সংখ্যার] এ, $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[পৃষ্ঠা 18 এবং 21 তে স্থির করা হয়েছে]]

যদিও নেলসেন এটিকে ডাকেন না, তিনি গাউসিয়ান কপুলাকে উদাহরণ হিসাবে বর্ণনা করেছেন:

... যদি মানক (univariate) সাধারন বন্টনের ফাংশন এবং উল্লেখ করে মান bivariate সাধারন বন্টনের ফাংশনের (পিয়ারসন পণ্য-মোমেন্ট পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ সঙ্গে উল্লেখ করে ), তারপর ... $\Phi$ $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[পি। 23, সমীকরণ 2.3.6]। স্বরলিপিটি থেকে তাৎক্ষণিকভাবে বলা যায় যে এই হ'ল জন্য যৌথ বন্টন যখন বিভাজনযুক্ত স্বাভাবিক হয়। আমরা এখন ঘুরে ফিরে কোনও নতুন দ্বিখণ্ডিত বিতরণ তৈরি করতে পারি যা কোনও পছন্দসই (অবিচ্ছিন্ন) প্রান্তিক বিতরণ এবং যার জন্য এই হ'ল কোপুলা, কেবল দ্বারা এর প্রতিস্থাপন করে and $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ :উপরের কপুলার বৈশিষ্ট্যটিতেএইবিশেষ নিন। $G$ $C$

তাই হ্যাঁ, সাতিশয় একটি bivariate সাধারণ বন্টনের জন্য সূত্র মত এই সৌন্দর্য, কারণ এটি হয় রুপান্তরিত ভেরিয়েবলের জন্য bivariate স্বাভাবিক । যেহেতু এবং ইতিমধ্যে সাধারণ সিডিএফ নিজেরাই না করে যখনই এই রূপান্তরগুলি অরেখান্তরীয় হবে, ফলস্বরূপ বিতরণ বিভাজনীয় স্বাভাবিক হয় না। $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

উদাহরণ

যাক একটি বিটা জন্য বণ্টনের ফাংশনের হতে পরিবর্তনশীল এবং বন্টন ফাংশন একটি গামা জন্য পরিবর্তনশীল । পূর্ববর্তী নির্মাণ ব্যবহার করে আমরা একটি গাউসিয়ান কপুলা এবং প্রান্তিক এবং সাথে যৌথ বন্টন গঠন করতে পারি । এই বিতরণটি চিত্রিত করার জন্য, এখানে এবং অক্ষগুলিতে এর বিভাজন ঘনত্বের একটি আংশিক প্লট রয়েছে : $F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ $F$ $G$ $x$ $y$

Plot

অন্ধকার অঞ্চলে কম সম্ভাবনার ঘনত্ব থাকে; আলোক অঞ্চলগুলির সর্বাধিক ঘনত্ব রয়েছে। খুব সম্ভবত অঞ্চলের মধ্যে চিপা হয়েছে যেখানে (বিটা বিতরণ সমর্থনে) এবং (গামা বন্টন সমর্থনে)। $0\le x \le 1$ $0 \le y$

প্রতিসামতার অভাব এটিকে স্পষ্টতই অস্বাভাবিক (এবং সাধারণ মার্জিন ছাড়াই) করে তোলে, তবে তবুও এটি নির্মাণ করে একটি গাউসিয়ান কপুলা রয়েছে। এফডাব্লুআইডাবির এটির একটি সূত্র রয়েছে এবং এটি কুৎসিত, স্পষ্টতই দ্বিচারিতও নয় সাধারণ:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— whuber
সূত্র

সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ, @ কর্ডিনাল: আমি নেলসেনের নামের ভুল বানান সম্পর্কে বিব্রত বোধ করছি, বিশেষত যখন আমি ঠিক বইটির সামনের দিকে তাকিয়ে ছিলাম! (আমার প্রতিরক্ষা হিসাবে, আমি প্রথম এটি

— ওপি'র

এটি এমন একটি ছোটখাটো জিনিস ছিল, আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমি কেবল এগিয়ে গিয়ে সম্পাদনাগুলি করব। বিশেষত আরও সাধারণ রূপের সাথে তুলনা করে বানানটি অস্বাভাবিক (কমপক্ষে ইংরেজিতে!) Is :-)

— কার্ডিনাল