প্রত্যাশিত সংখ্যার গুণগত মান এক মান ছাড়িয়ে যাবে

আইআইডি র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম দেওয়া, বলুন, জন্য , আমি অনুভূতিগত গড় এর প্রত্যাশিত সংখ্যাকে সীমাবদ্ধ করার চেষ্টা করছি $X_i \in [0,1]$ $i = 1,2,...,n$ একটি মান,ছাড়িয়ে যাব, যেমন আমরা নমুনা আঁকতে থাকি, তা: $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ $c \geq 0$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} P ({\frac{1}{j} \sum_{i = 1}^{j} X_{i} \geq c})

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \mathbb{P} \left(\left\{ \frac{1}{j}\sum_{i=1}^j X_i \geq c\right\}\right)$

যদি আমরা ধরে নিই যে কিছু , আমরা পৌঁছে যাওয়ার জন্য হয়েফডিংয়ের অসমতা ব্যবহার করতে পারি $c = a + \mathbb{E}[X]$ $a > 0$

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} e^{- 2 j a^{2}} \\ = \frac{1 - e^{- 2 a^{2} n}}{e^{2 a^{2}} - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n e^{-2ja^2} \\ & = \frac{1 - e^{-2 a^2 n}}{e^{2 a^2}-1} \end{align}$

কোনটি দেখতে সুন্দর (সম্ভবত) তবে এটি বেশ boundিলে ?ালা আবদ্ধ, এই মানটি বাঁধানোর আরও ভাল কোনও উপায় আছে কি? আমি আশা করি যে কোনও উপায় থাকতে পারে যেহেতু বিভিন্ন ইভেন্টগুলি (প্রতিটি ) স্পষ্টভাবে স্বতন্ত্র নয়, আমি এই নির্ভরতা কাজে লাগানোর কোনও উপায় সম্পর্কে অবগত নই। এছাড়াও, এর গড়ের চেয়ে বড় যে সীমাবদ্ধতা রয়েছে তা মুছে ফেলা ভাল লাগবে । $j$ $c$

সম্পাদনা করুন : আমরা যদি মার্কোভের বৈষম্যটিকে নিম্নরূপে ব্যবহার করি তবে গড়ের চেয়ে এর উপরের বিধিনিষেধ অপসারণ করা যাবে : $c$

কোনটি সাধারণ, তবে উপরের গণ্ডির চেয়েও খারাপ, যদিও এটি স্পষ্ট যেযখনইতখনঅবশ্যই অন্যদিকে চলে যেতে পারে।

\begin{aligned} T & \leq \sum_{j = 1}^{n} \frac{\frac{1}{j} E [X]}{c} \\ = \frac{E [X] H_{n}}{c} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T} & \leq \sum_{j=1}^n \frac{\frac{1}{j}\mathbb{E}[X]}{c} \\ & = \frac{\mathbb{E}[X]H_n}{c} \end{align}$

T

$\mathcal{T}$

c \leq E [X]

$c \leq \mathbb{E}[X]$

mathematical-statistics expected-value bounds

— fairidox
সূত্র

আপনার

সংজ্ঞা এটির বিবরণ দিয়ে প্রাণবন্ত নয়। যদি "

" অপসারণ করা হয় তবে এটি

এর পরিমাণের প্রত্যাশিত সংখ্যা হতে পারে তবে লিখিত হিসাবে এটি সময়ের সমান্তরাল সমন্বয় । এটি সুস্পষ্টভাবে প্রত্যাশা নয় কারণ সম্ভাবনাগুলি পারস্পরিক একচেটিয়া নয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন

।

T

$\mathcal{T}$

j \times

$j\times$

c

$c$

c \leq 0

$c\le 0$

T = n (n + 1) / 2

$\mathcal{T} = n(n+1)/2$

— হোবার

@ ওহ, ঠিক আছে, ভাল পয়েন্ট ধন্যবাদ, আমি এটি উপরে স্থির করেছি।

— ফেয়ারিডক্স

আমি লক্ষ্য করেছি আপনি আপনার উপরের সীমা পরিবর্তন করেছেন। এটি এখন নেতিবাচক বলে মনে হচ্ছে ;-)।

— whuber

j

$j$

$\bar x_j$ $F_j$

T \overset{d e f}{=} \sum_{j = 1}^{n} (1 - F_{j} (c)) = n - \sum_{j = 1}^{n} F_{j} (c)

$\mathcal{T} \overset{def}{=} \sum_{j=1}^n \left(1-F_j(c)\right) = n- \sum_{j=1}^n F_j(c)$

$m$ $\hat G$

T = n - \sum_{j = 1}^{m} F_{j} (c) - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c) < n - \sum_{j = m + 1}^{n} {\hat{G}}_{j} (c)

$\mathcal{T} = n- \sum_{j=1}^m F_j(c)-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c) < n-\sum_{j=m+1}^n \hat G_j(c)$

$\hat G_j(c)$

{\hat{G}}_{j} (c) = 1 - Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (μ - c))

$\hat G_j(c) = 1- \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(\mu-c)\right)$

Φ

$\Phi$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

T < m + \sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\mathcal{T} < m+\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

$m= 30$ $[0,1]$ $\sigma = \sqrt \frac{1}{12}$ $\mu = \frac 12$ $a=0.05$ $n=34$ $n>30$ $n=100$ $78.5$ $36.2$ $\approx 199.5$ $\approx 38.5$ $a$ $a=0.1$ $49.5$ $30.5$
$n\rightarrow \infty$

H_{b} \to \frac{1}{e^{2 a^{2}} - 1}

$H_b\rightarrow \frac{1}{e^{2 a^2}-1}$

A_{b} \to m

$A_b \rightarrow m$

$a$ $H_b$ $A_b$

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

" (যেমন অনুমিত নমুনা আকারের প্রান্তিকের চেয়ে বেশি আর কোনওটির নমুনা বিতরণে সাধারণ আনুমানিকতা পাওয়ার প্রয়োজন নেই) " আপনি এখানে কী কথা বলছেন?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

\approx 30.5

$\approx 30.5$

m + 0.5

$m + 0.5$

\sum_{j = m + 1}^{n} Φ (\frac{\sqrt{j}}{σ} (- a))

$\sum_{j=m+1}^n \Phi\left(\frac{\sqrt j}{\sigma}(-a)\right)$

আপনি যে পরিস্থিতিতে এর অধীনে থাকা পরিস্থিতিটি বর্ণনা করতে না পারলে দয়া করে এটিকে কোনও সাধারণ অর্থে থাম্বের নিয়ম বলা এড়ানো উচিত। 30 এর চিত্রটি সম্পূর্ণ নির্বিচারে (সাধারণত হয় খুব দুর্বল বা অনেক বেশি শক্তিশালী) এবং 30 টিও আপনার ক্ষেত্রে দেখা যায়, আমি সাধারণ কাকতালীয় বিশ্বাস করি।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ Glen_b "30" এমনকি কাকতালীয় ঘটনা ছিল না - আমি কেবল এটি একটি সংখ্যার উদাহরণ দেওয়ার জন্য ব্যবহার করেছি। বিষয়টি নিয়ে আমার কোনও আপত্তি নেই, আমি "থাম্বের নিয়ম" পছন্দ করি না (বিশেষত যখন তারা সন্দেহজনক হয়)। আমি আমার উত্তরে কিছু পরিবর্তন করেছি। ইনপুট জন্য ধন্যবাদ।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ গ্লেেন_বি সম্ভবত সম্ভাবনাময় স্থির নয় (যেমন দীর্ঘ) মেমরির জন্য ধন্যবাদ!

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লো