পরিমাপ ঘনত্বের অসমতা বোঝা

এই প্রশ্নের প্রসঙ্গে হিফডিং বৈষম্যতে ব্যবহৃত লিমা প্রমাণের বোধগম্যতা নিয়ে , আমি হাফিডিংয়ের বৈষম্যের দিকে পরিচালিত পদক্ষেপগুলি বোঝার চেষ্টা করছি।

প্রুফটিতে আমার কাছে সবচেয়ে রহস্যের বিষয়টি হ'ল সেই অংশটি যেখানে আইড ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য ক্ষণাত্মক মুহুর্তগুলি গণনা করা হয়, যার পরে মার্কভের অসমতা প্রয়োগ করা হয়।

আমার লক্ষ্যটি বোঝার জন্য: কেন এই কৌশলটি একটি শক্ত বৈষম্য দেয় এবং এটি কি আমরা সবচেয়ে কঠোরভাবে অর্জন করতে পারি? একটি সাধারণ ব্যাখ্যা মুহুর্তের উত্স তৈরির বৈশিষ্ট্যগুলিকে বোঝায়। তবুও, আমি এটি খুব অস্পষ্ট মনে করি।

টাও-এর ব্লগে একটি পোস্ট, http://terrytao.wordpress.com/2010/01/03/254a-notes-1- কনসেন্টেশন- এর- পরিমাপ/#hoeff, এর কিছু উত্তর থাকতে পারে।

এই লক্ষ্যটি মাথায় রেখে, আমার প্রশ্নটি টাওর পোস্টে প্রায় তিনটি বিষয় যা আমি আটকে আছি এবং যা আশা করি অন্তর্দৃষ্টিটি একবার ব্যাখ্যা করতে পারলে।

টাও কে- ব্যবহার করে নিম্নলিখিত অসমতার উদ্ভব করে যদি কোনও কে-কে এই কথাটি সত্য হয় তবে তিনি একটি সূচকীয় বাউন্ডটি শেষ করেন। আমি এখানেই হারিয়েছি।
$P (| S_{n} | \geq λ \sqrt{n}) \leq 2 (\frac{\sqrt{e k / 2}}{λ})^{k} . (7)$ $\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq 2 (\frac{\sqrt{ek/2}}{\lambda})^k. \ \ \ \ \ (7)$ $P (| S_{n} | \geq λ \sqrt{n}) \leq C \exp (- c λ^{2}) (8)$ $\displaystyle {\bf P}( |S_n| \geq \lambda \sqrt{n} ) \leq C \exp( - c \lambda^2 ) \ \ \ \ \ (8)$
Hoeffding এর থিম উপস্থাপন করা হয়: থিম 1 (Hoeffding এর থিম) আসুন স্কেলের একটি বিরতি মান গ্রহণ পরিবর্তনশীল হতে । তারপরে যে কোনও , বিশেষত টেলর প্রসারণ নিয়ে প্রত্যাশা নিয়ে লেমমা 1 এর প্রমাণ শুরু হয় .বিস্তৃতিটি কেন এই চতুর্ভুজ শব্দ দ্বারা আবদ্ধ হতে পারে? এবং সমীকরণ 10 কীভাবে অনুসরণ করবে? ${X}$ ${[a,b]}$ ${t>0}$
$E e^{t X} \leq e^{t E X} (1 + O (t^{2} V a r (X) \exp (O (t (b - a)))) . (9)$ $\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} (1 + O( t^2 {\bf Var}(X) \exp( O( t (b-a) ) ) ). \ \ \ \ \ (9)$ $E e^{t X} \leq e^{t E X} \exp (O (t^{2} (b - a)^{2})) . (10)$ $\displaystyle {\bf E} e^{tX} \leq e^{t {\bf E} X} \exp( O( t^2 (b-a)^2 ) ). \ \ \ \ \ (10)$ $\displaystyle e^{tX} = 1 + tX + O( t^2 X^2 \exp( O(t) ) )$
পরিশেষে, একটি অনুশীলন দেওয়া হয়:
অনুশীলন 1 দেখান যে (10) এর ফ্যাক্টরটি with দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে , এবং এটি তীক্ষ্ণ এটি হয়েফডিং বৈষম্যের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা লিমা সম্পর্কিত বোঝার প্রমাণের চেয়ে অনেক বেশি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ সরবরাহ করবে তবে আমি কীভাবে এটি সমাধান করব জানি না। ${O(t^2(b-a)^2)}$ ${t^2 (b-a)^2/8}$

আরও কোনও স্বজ্ঞাত - অসমতার প্রমাণ সম্পর্কে ব্যাখ্যা বা আমরা একটি শক্ত বাঁধাই করতে পারি না এমন কারণ অবশ্যই স্বাগত।

probability probability-inequalities

— সিংহরাশি
সূত্র

আপনি কি মূল হাফিংয়ের কাগজটি পড়েছেন?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ অ্যালোকোসপ্যাপাডোপল্লোস আসলে আমার কাছে নেই। আমি যে ছদ্মবেশের আওতায় আছি সেখানে সাধারণভাবে গণিত কোর্সে শেখানো বীজগণিতীয় পদক্ষেপগুলি রয়েছে যা আমার সন্ধানের ব্যাখ্যাটি অনুপস্থিত। অন্যথায় বলতে পারেন?

— লিও

আমি আপনাকে এটি পড়ার পরামর্শ দিই। Jstor এ স্থিতিশীল url হ'ল jstor.org/stable/2282952 । যা "আপনার কাছে সবচেয়ে রহস্য রাখে" তা হ'ল কাগজের থিওরিয়াম 1, 2 এবং 3, এর প্রমাণগুলি কাগজের 4 নং বিভাগে রয়েছে (শেষ পর্যন্ত নয়) এবং সেগুলি আমার কাছে বেশ পরিষ্কার দেখাচ্ছে। আমি জানি না আপনি কিছু "অ-গাণিতিক" স্বজ্ঞাততা সন্ধান করছেন কিনা - যদি হ্যাঁ, এটি সর্বদা বিদ্যমান না।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস

তাত্পর্যপূর্ণ মুহুর্তগুলির ব্যবহার পরিমাপের বৈষম্যের ঘনত্ব প্রমাণ করার প্রক্রিয়ায় একটি সাধারণ পদক্ষেপ। আমার বোধগম্যতা নীচে 1) পরিবর্তে , কেবলমাত্র প্রথম মুহুর্তের পরিবর্তে সমস্ত মুহুর্তকে ক্যাপচার করে । তাই, এটা সবসময় করতে বাউন্ড সুবিধাজনক হয় , বরং আবদ্ধ চেয়ে , যেহেতু আরও তথ্য রয়েছে । কেন আরও তথ্য রয়েছে? একটি অনানুষ্ঠানিক ব্যাখ্যা একটি টেলর সম্প্রসারণের সত্যতা দ্বারা দেওয়া হয় । আপনি সমস্ত শক্তি দেখতে পারেন $\mathbb{E}e^X$ $\mathbb{E} X$ $X$ $\mathbb{E} e^X$ $\mathbb{E}X$ $\mathbb{E} e^X$ $\mathbb{E} e^X$ $e^{X}=1+X+\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{6}+\ldots$ $X$ জড়িত. অতএব, আপনি যখন নেন, আপনি মূলত সমস্ত মুহুর্তকে আবদ্ধ করেন । $\mathbb{E}X$ $X$

— gmravi2003
সূত্র

সংজ্ঞা দ্বারা, কোন বিশ্লেষণমূলক ফাংশন একটি আশেপাশে সেখানে একটি একেবারে কেন্দ্রমুখী টেলর সিরিজ হয়েছে। সুতরাং আপনার যুক্তিটি সূচিত করে যে সূচকীয় পাশাপাশি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে । তদন্তকারী সম্পর্কে বিশেষ কিছু নেই?

f

$f$

0

$0$

e^{X}

$e^X$

f (X)

$f(X)$

— whuber

আমি সাধারণ বিশ্লেষণমূলক ক্রিয়া সহ প্রতিস্থাপনের কথা ভাবিনি । তবে এখন যেহেতু আপনি এটি উল্লেখ করেছেন, আমার ধারণা একটি "উপযুক্ত" ফাংশন এমন হতে পারে যে হতে পারে , যাতে মার্কভের অসমতার প্রয়োগ হতে পারে, এবং যার টেলর এক্সপেনশনের সমস্ত ক্ষমতা রয়েছে , যাতে সমস্ত মুহুর্ত হয় দখল করে। আমার ধারণা তখন সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে প্রাকৃতিক পছন্দ।

f

$f$

f (x) > 0

$f(x) >0$

X

$X$

e^{X}

$e^X$

— gmravi2003

আমি এটি খতিয়ে দেখিনি, তবে আমার সন্দেহ হয় যে ঘনিষ্ঠরা আপনার নাম উল্লেখ করে এমন কিছু বিশেষ সম্পত্তি ভোগ করেছে যা সমালোচনাযোগ্য: সমস্ত সহগগুলি কঠোরভাবে ইতিবাচক হওয়া উচিত এবং এটি সর্বত্র সর্বত্র রূপান্তরিত হওয়ায় এটি কার্যকর। তবে আমি বিশ্বাস করি যে ফুরিয়ার এবং ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলির বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত এই ফাংশনটি অপরিহার্য হওয়ার আরও গভীর কারণ রয়েছে। ক্ষতিকারক বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী প্রকৃতপক্ষে ব্যবহৃত হয় তা দেখার জন্য এটি পরিমাপের অসমতার উপকরণগুলি অনুসন্ধান করতে আলোকিত হতে পারে! (+1)

— হোবার

@ শুভ এটি একটি দুর্দান্ত পর্যবেক্ষণ। আমি বর্তমানে মুহুর্তের ব্যাখ্যাটির অভাব পেয়েছি। ঘৃণ্য ফাংশনের উপরের বাউন্ড এবং বিচ্ছিন্নতার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাকে কী বোঝায়। এটি, । সুতরাং যদি , আমরা যত বেশি আইড ভেরিয়েবলগুলি গড় করি, তত বেশি এই শব্দটিতে অভিনয় করার শক্তি। এইভাবে একটি ক্ষতিকারক বাউন্ড প্রদান।

P {x 1 + x 2 > 0} = E {1 [x 1 + x 2 > 0]} \leq E {e x p (t * x 1)} E {e x p (t * x 2)}

$P\{x1+x2>0\}=E\{1[x1+x2>0]\} \leq E\{exp(t*x1)\}E\{exp(t*x2)\}$

E {e x p (t * x 1)} < 1

$E\{exp(t*x1)\}<1$

— লিও

আমি এই সীমানা সম্পর্কে দৃness়তা

— লিও