একটি এআরএমএ (২,১) প্রক্রিয়াটির স্বতঃআবর্তন - এর বিশ্লেষণাত্মক মডেলটির উত্স

Question

আমাকে এআরএমএ (২,১) প্রক্রিয়াটির স্বতঃআবর্তন ফাংশন জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি অর্জন করতে হবে :$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

সুতরাং, আমি জানি:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

সুতরাং আমি লিখতে পারি:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

তারপরে, অটোোকোরিয়েন্স ফাংশনের বিশ্লেষণযোগ্য সংস্করণটি পেতে, আমাকে - 0, 1, 2 এর মানগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে ... যতক্ষণ না আমি কোনও পুনরাবৃত্তি না পেয়ে যা কিছু সংখ্যার চেয়ে বড় জন্য বৈধ ।$k$$k$

অতএব, আমি প্রতিস্থাপন করছি এবং মাধ্যমে এটি ব্যবহার করে:$k=0$

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

এখন আমি এই পদগুলির প্রথম দুটি সহজ করতে পারি এবং তারপরে পরিবর্তে আগের মতো করে দিতে পারি:$y_t$

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

তারপরে আমি আটটি পদকে গুণ করব, যা হ'ল:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

সুতরাং, আমি বাকি চারটি শর্তটি সমাধান করার দরকার পড়ে রয়েছি। আমি 1 এবং 2, 5 এবং 6 লাইনের জন্য একই লজিকটি ব্যবহার করতে চাই যেমন আমি 4 এবং 7 লাইনগুলিতে ব্যবহার করেছি - উদাহরণস্বরূপ লাইন 1:

ই [ ϵ টি - 1 ] = $\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ কারণ ।$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

একইভাবে লাইন 2, 5 এবং 6 জন্য কিন্তু আমি একটি মডেল সমাধান যে জন্য অভিব্যক্তি প্রস্তাব দেওয়া আছে সহজসাধ্য হবে:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

এটি আমার উপরে বর্ণিত হিসাবে বোঝায় যে এটি সহগ সাথে এই শব্দটি মিস করবে - যা আমার যুক্তির অধীনে 0 হওয়া উচিত my আমার যুক্তিটি কি , নাকি মডেল সমাধানটি আমি ভুল খুঁজে পেয়েছি?$\phi_1$

কাজের সমাধানটিও পরামর্শ দেয় যে "অ্যানালগসালি" হিসাবে পাওয়া যেতে পারে:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

এবং :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

আমি আশা করি প্রশ্নটি পরিষ্কার হয়ে গেছে। কোনও সহায়তা অনেক প্রশংসা করা হবে। তুমাকে অগ্রিম ধন্যবাদ.

এটি আমার গবেষণার সাথে সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন, এবং কোনও পরীক্ষা বা কোর্সওয়ার্কের প্রস্তুতিতে নয়।

Answer 1

যদি এআরএমএ প্রক্রিয়া কার্যকরী হয় তবে একটি সাধারণ সূত্র রয়েছে যা স্বতঃআবর্তন সহগগুলি সরবরাহ করে।

কার্যকারিতা প্রক্রিয়াটি যেখানে zero হ'ল শূন্য এবং বৈকল্পিক সহ একটি সাদা শব্দ । কার্যকারিতা বৈশিষ্ট্য অনুসারে, প্রক্রিয়াটি written হিসাবে লিখিত হতে পারে যেখানে পিএসআই_জে si ওয়েটগুলি বোঝায় ।Y টি = P Σ আমি = 1 φ আমি Y টি - 1 + + Q Σ ঞ = 1 θ ঞ ε টি - ঞ + + ε টি , ε টি σ 2 ε Y টি = ∞ Σ ঞ = 0 ψ j ϵ t - j , ψ j$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

কার্যকারণ প্রক্রিয়াটির সহগগুলির জন্য সাধারণ একক সমীকরণ হ'ল প্রাথমিক অবস্থার সাথে γ ( কে ) - ϕ 1 γ ( কে - 1 ) - ⋯ - ϕ পি γ ( কে - পি ) = 0 $\text{ARMA}(p,q)$γ ( ট ) - পি Σ ঞ = 1 φ ঞ γ ( ট - ঞ ) = σ 2 ε কুই Σ ঞ = ট θ ঞ ψ ঞ - ট

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Answer 2

আপনার মূল প্রশ্নে আপনার গণনার ভুল রয়েছে

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

আপনি প্রত্যাশা separate আলাদা করতে পারবেন না - এবং independent স্বতন্ত্র নয়।$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

Comments

আপনি আমার আপডেট থেকে দেখতে পাচ্ছেন (নীচে) পোস্টটি শেষ করার সাথে সাথেই আমি এটি বুঝতে পেরেছি - তবে আপনার সহায়তার জন্য অনেক ধন্যবাদ!

— হাইড্রোলজিস্ট

Answer 3

ঠিক আছে. সুতরাং পোস্ট লেখার প্রক্রিয়াটি আসলে সমাধানের দিকে আমাকে ইঙ্গিত করেছিল।

উপরে থেকে প্রত্যাশার পদগুলি 1, 2, 5 এবং 6 বিবেচনা করুন যা আমি ভেবেছিলাম 0 হওয়া উচিত।

অবিলম্বে 5 টি শর্তাদির জন্য - - এবং 6 - : এই পদগুলি অবশ্যই শূন্য, কারণ এবং এবং স্বতন্ত্র ।$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

যাইহোক, 1 এবং 2 পদগুলি প্রত্যাশাকে দুটি পরস্পরের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে of সুতরাং, এবং এইভাবে প্রকাশ করুন:$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

এবং 1 - শব্দটি প্রত্যাহার করুন । আমরা যদি সংখ্যাবৃদ্ধি উভয়ের জন্য মত প্রকাশের পক্ষের দ্বারা এবং তারপর প্রত্যাশা নিয়ে এটা স্পষ্ট যে ডান দিকে সব পদ ব্যতীত গত শূন্য হয়ে (কারণ মান , , এবং স্বাধীন এবং ) দিতে:$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

সুতরাং পদ 1 টি । টার্ম 2 এর জন্য, এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে একই যুক্তি অনুসারে, সমস্ত পদ শূন্য।$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

সুতরাং আসল মডেলের উত্তরটি সঠিক ছিল।

তবে, কেউ যদি জেনারেল (অগোছালো হলেও) সমাধান পাওয়ার বিকল্প উপায়ের পরামর্শ দিতে পারে তবে এটি শুনে আমি খুব খুশি হব!