পরিবর্তিত ডিরিচলেট বিতরণের প্রত্যাশিত মানটি কী? (সংহতকরণ সমস্যা)

একই স্কেল প্যারামিটারের সাথে গামা ভেরিয়েবলগুলি ব্যবহার করে ডিরিচলেট বিতরণের সাথে একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল উত্পাদন করা সহজ। এমন:

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta)$

তারপর:

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \text{Dirichlet}(\alpha_1,\;\ldots\;,\alpha_n)$

সমস্যা স্কেল পরামিতি সমান না হলে কি হয়?

$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, \beta_i)$

তাহলে এই পরিবর্তনশীলটি কী বিতরণ হবে?

$\left(\frac{X_1}{\sum_j X_j},\; \ldots\; , \frac{X_n}{\sum_j X_j}\right) \sim \; ?$

আমার পক্ষে এই বিতরণের প্রত্যাশিত মানটি জানা যথেষ্ট হবে।
আমার একটি আনুমানিক বদ্ধ বীজগণিত সূত্রের দরকার যা কম্পিউটারের মাধ্যমে খুব দ্রুত মূল্যায়ন করা যায়।
ধরা যাক 0.01 এর নির্ভুলতার সাথে সান্নিধ্য যথেষ্ট।
আপনি ধরে নিতে পারেন:

$\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{N}$

দ্রষ্টব্য , সংক্ষেপে, কাজটি হল এই অবিচ্ছেদের একটি অনুমানের সন্ধান করা:

$f(\vec{\alpha}, \vec{\beta}) = \int_{\mathbb{R}^n_+} \;\frac{x_1}{\sum_j x_j} \cdot \prod_j \frac{\beta_j^{\alpha_j}}{\Gamma(\alpha_j)} x_j^{\alpha_j - 1} e^{-\beta_j x_j} \;\; dx_1\ldots dx_n$

— লুকাস লু
সূত্র

@ Łukasz আপনি

, এবং

পরামিতিগুলি সম্পর্কে আরও কিছু বলতে পারেন ? এটা তোলে জন্য সঠিক এক্সপ্রেশন প্রাপ্ত সম্ভব

ফলে অনুপাত প্রত্যাশা আনুমানিক কিন্তু প্যারামিটার নির্দিষ্ট সমন্বয় জন্য এক কম কাজ সাথে স্বাভাবিক বা saddlepoint অনুমান কাজে লাগান পারে। আমি মনে করি না যে এখানে একটি সর্বজনীন আনুমানিক পদ্ধতি থাকবে, যার কারণে অতিরিক্ত বিধিনিষেধকে স্বাগত জানানো হবে।

n

$n$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j{X_j}$

— whuber

এবং

পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত তাই আমাদের অবিচ্ছেদ্য নিজেই আনুমানিক করতে হবে।

প্রায়ই 1 বা 2 মত একটি ছোট সংখ্যা কখনও কখনও হিসাবে হিসাবে বড় 10000. একইভাবে wih

কিন্তু এটা সাধারণত 10 বার চেয়ে বড়

।

X_{1}

$X_1$

\sum_{j} X_{j}

$\sum_j X_j$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{i}

$\beta_i$

α_{i}

$\alpha_i$

— asukasz Lew

সমস্যাটি ছোট

। যদি সমস্ত

বড় হয় তবে পুরো অবিচ্ছেদের ভাল অনুমান:

α_{i}

$\alpha_i$

α_{i}

$\alpha_i$

\frac{α_{1} / β_{1}}{\sum_{j} α_{j} / β_{j}}

$\frac{\alpha_1/\beta_1}{\sum_j \alpha_j/\beta_j}$

— Łukasz লু

@ Łukasz আপনার যদি প্রত্যাশাটির অভিব্যক্তিটি মূল্যায়ন করতে হয় তবে আপনার কেন বীজগণিত সূত্রের প্রয়োজন? আমি প্রত্যাশা পেতে কিছু সংখ্যক কৌশল প্রয়োগ করার কথা ভাবছি তবে আমার কিছু প্রতিক্রিয়া দরকার :)

— deps_stats

আমার প্রোগ্রামে এটি অনেকবার মূল্যায়ন করা দরকার। এটি খুব দ্রুত হতে হবে, অর্থাত কোনও লুপ নেই এবং পছন্দসইভাবে খুব বেশি বিভাজন নয়।

— asukasz Lew

কেবল একটি প্রাথমিক মন্তব্য, আপনি যদি গণনার গতি চান তবে আপনাকে সাধারণত নির্ভুলতার ত্যাগ করতে হবে। "আরও সঠিকতা" = সাধারণভাবে "আরও সময়"। যাইহোক, এখানে দ্বিতীয় আদেশের প্রায় অনুমান, আপনার উপরের মন্তব্যে প্রস্তাবিত "অপরিশোধিত" প্রায় উন্নতি করা উচিত:

E (\frac{X_{j}}{\sum_{i} X_{i}}) \approx \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]} - \frac{c o v [\sum_{i} X_{i}, X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{2}} + \frac{E [X_{j}]}{E [\sum_{i} X_{i}]^{3}} V a r [\sum_{i} X_{i}]

$E\Bigg(\frac{X_{j}}{\sum_{i}X_{i}}\Bigg)\approx \frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]} -\frac{cov[\sum_{i}X_{i},X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^2} +\frac{E[X_{j}]}{E[\sum_{i}X_{i}]^3} Var[\sum_{i}X_{i}]$

= \frac{α_{j}}{\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i}} \times [1 - \frac{1}{(\sum_{i} \frac{β_{j}}{β_{i}} α_{i})} + \frac{1}{(\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}})^{2}} (\sum_{i} \frac{α_{i}}{β_{i}^{2}})]

$= \frac{\alpha_{j}}{\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}}\times\Bigg[1 - \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\beta_{j}}{\beta_{i}}\alpha_{i}\Bigg)} + \frac{1}{\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}}\Bigg)^2}\Bigg(\sum_{i} \frac{\alpha_{i}}{\beta_{i}^2}\Bigg)\Bigg]$

সম্পাদনা উপরোক্ত সম্প্রসারণের জন্য একটি ব্যাখ্যা অনুরোধ করা হয়েছিল। সংক্ষিপ্ত উত্তরটি উইকিপিডিয়া । দীর্ঘ উত্তর নীচে দেওয়া হল।

$f(x,y)=\frac{x}{y}$ $f$ $X-E(X)$ $Y-E(Y)$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 0

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{y^{2}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-\frac{1}{y^2}$

\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2 \frac{x}{y^{3}}

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\frac{x}{y^3}$

And so the taylor series up to second order is given by:

\frac{x}{y} \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{μ_{y}^{2}} 2 (x - μ_{x}) (y - μ_{y}) + 2 \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} (y - μ_{y})^{2})

$\frac{x}{y} \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}+\frac{1}{2}\Bigg(-\frac{1}{\mu_y^2}2(x-\mu_x)(y-\mu_y) + 2\frac{\mu_x}{\mu_y^3}(y-\mu_y)^2 \Bigg)$

Taking expectations yields:

E [\frac{x}{y}] \approx \frac{μ_{x}}{μ_{y}} - \frac{1}{μ_{y}^{2}} E [(x - μ_{x}) (y - μ_{y})] + \frac{μ_{x}}{μ_{y}^{3}} E [(y - μ_{y})^{2}]

$E\Big[\frac{x}{y}\Big] \approx \frac{\mu_x}{\mu_y}-\frac{1}{\mu_y^2}E\Big[(x-\mu_x)(y-\mu_y)\Big] + \frac{\mu_x}{\mu_y^3}E\Big[(y-\mu_y)^2\Big]$

Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)

— probabilityislogic
সূত্র

This looks like exactly what I need. Can you explain how you got this expansion? I tried in a lot of ways and was unable to do that ...

— Łukasz Lew