দ্বিপদী বিতরণ ফাংশন কখন এর সীমাবদ্ধ পোইসন বিতরণ কার্যের উপরে / নীচে থাকে?

যাক $B(n,p,r)$ বোঝাতে পরামিতি সঙ্গে দ্বিপদ বিতরণের ফাংশনটি (ডিএফ) $n \in \mathbb N$ এবং $p \in (0,1)$ এ মূল্যায়ন : এবং দিন পরামিতি সঙ্গে পইসন ডিএফ বোঝাতে এ মূল্যায়ন : $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

বিবেচনা করুন $p \rightarrow 0$ , এবং দিন $n$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা $\lceil a/p-d \rceil$ , যেখানে $d$ আদেশ একটি ধ্রুবক $1$ । যেহেতু $np \rightarrow a$ , ফাংশন সমস্ত জন্য $B(n,p,r)$ রূপান্তর করে , যেমনটি সুপরিচিত। $F(a,r)$ $r$

জন্য উপরের সংজ্ঞা সঙ্গে , আমি মান নির্ধারণে আগ্রহী যার জন্য এবং তেমনিভাবে যার জন্য which আমি প্রমাণ করার জন্য যে প্রথম বৈষম্য ঝুলিতে পেরেছি চেয়ে পর্যাপ্ত ছোট ; আরো নির্দিষ্টভাবে, জন্য একটি নির্দিষ্ট আবদ্ধ কম , সঙ্গে । একইভাবে, দ্বিতীয় বৈষম্য জন্য ঝুলিতে পর্যাপ্ত চেয়ে বড় জন্য অর্থাত, $n$ $a$

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$

a

$a$

r

$r$

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ সাথে নির্দিষ্ট বাউন্ড চেয়ে বড় । (সীমার এক্সপ্রেশন এবং এখানে অপ্রাসঙ্গিক। আমি আগ্রহী কারো কাছে বিবরণ প্রদান হবে।) যাই হোক, সংখ্যাসূচক ফলাফল প্রমাণ করে যে ঐ অসাম্য কম কঠোর সীমার জন্য রাখা, যে জন্য, কাছাকাছি আমি প্রমাণ করতে পারি তার চেয়েও বেশি

h (r)

$h(r)$

h (r) > r

$h(r)>r$

g (r)

$g(r)$

h (r)

$h(r)$

a

$a$

r

$r$

সুতরাং, আমি জানতে চাই যে এখানে কোনও উপপাদ্য বা ফলাফল রয়েছে যা প্রতিটি অসমতা (সমস্ত ) কোন অবস্থার অধীনে প্রতিষ্ঠিত করে ; এটি হল, যখন দ্বিপদী ডিএফ এর সীমিত পোয়েসন ডিএফের উপরে / নীচে থাকার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়। যদি এই উপপাদ্যটি না উপস্থিত থাকে তবে সঠিক দিকনির্দেশের কোনও ধারণা বা পয়েন্টার প্রশংসা করবে। $p$

দয়া করে নোট করুন যে অসম্পূর্ণ বিটা এবং গামা ফাংশনগুলির শর্তাবলীযুক্ত একই ধরণের প্রশ্নটি গণিত.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ.কম এ পোস্ট করা হয়েছিল তবে তার কোনও উত্তর পাওয়া যায় নি।

— লুইস মেন্ডো
সূত্র

এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন, যদিও আমি মনে করি এটি কয়েকটি বিষয় পরিষ্কার করতে সহায়তা করবে, বিশেষত "চলমান অংশগুলি" এবং কোনটি নয়। মনে হচ্ছে আপনি একটি আবদ্ধ যে ঝুলিতে চান অবিশেষে মধ্যে

প্রত্যেকের জন্য নির্ধারিত

। তবে, এখানে

এর ভূমিকা কী ? এটি খুব বেশি গুরুত্বপূর্ণ না হওয়া উচিত, তবে এটির ভূমিকা কি প্রয়োজনীয়? একটি পিসন প্রক্রিয়াটির অপেক্ষার সময়গুলির বিষয়গুলির দিকে নজর দেওয়া এবং আপনার দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সম্পর্কিত জ্যামিতিক অপেক্ষার সময়গুলিতে (প্রত্যেকের সিলিং নেওয়ার মাধ্যমে) এর সাথে জুড়ি দেওয়া হতে পারে approach তবে এটি আপনি যে ইউনিফর্মের সন্ধান করছেন তা ফল দিতে পারে না ।

p

$p$

r

$r$

d

$d$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল সময় দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। হ্যাঁ, আমি পি তে আবদ্ধ হতে চাই। অন্যান্য সমস্ত প্যারামিটারগুলি স্থির (তবে নির্বাচনযোগ্য)।

একটি মাত্র প্যারামিটার। "কোনো প্রাকৃতিক জন্য: উদাহরণস্বরূপ, প্রকল্পিত ফলে অনুসরণ হতে পারে

তার চেয়ে অনেক বেশী

এবং কোন

, প্রথম বৈষম্য সবার জন্য ঝুলিতে

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

এবং সমস্ত

; এবং দ্বিতীয়টি সমস্ত

holds এর জন্য রয়েছে

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

এবং সবার জন্য

।

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— লুইস মেন্ডো

স্টেইন চেন তত্ত্ব রয়েছে যা ত্রুটিগুলি অনুমান করে যখন আপনি পয়েসন আরভি ব্যবহার করেন না প্রয়োজনীয় স্বতন্ত্র বার্নৌলি ভেরিয়েবলগুলির যোগফল নির্ধারণ করতে। আপনার প্রশ্ন সম্পর্কে নিশ্চিত না।

— 1

সীমাবদ্ধ

, দ্বিপদী বিতরণ উপরে থেকে সমর্থন বন্ধ করে দিয়েছে। এর আকার নির্বাচনযোগ্য হতে পারে (

নির্বাচন করে ) তবে এটি বন্ধ রয়েছে। অন্যদিকে, পোইসন বিতরণটির সীমাহীন সমর্থন রয়েছে। আমরা কোনো সসীম জন্য, সিডিএফ এর এ খুঁজছেন যেহেতু

আমরা সবসময় থাকবে

কোন জায়েয মানের জন্য

। সুতরাং ওপরের পরে ২ য় অসমতার শর্তাবলী সর্বদা অন্তত অন্তত অন্তর্ভুক্ত থাকবে,

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

... "

r < n

$r<n$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

ডিডের

— অ্যালেক্স আর।

নিম্নলিখিত বিষয়ে:

দ্বিপদী ডিস্টের অর্থ হ'ল $np$
প্রকরণটি $np(1-p)$
পোইসন ডিস্টের গড় অর্থ , যা আমরা হিসাবে কল্পনা করতে পারি $\lambda$ $n\times p$
পইসনের বৈচিত্রটি গড় হিসাবে একই

এখন, যদি পইসন হ'ল এবং প্যারামিটারগুলির সাথে দ্বিপদী সীমাবদ্ধতা হয় , যেমন অনন্তে বৃদ্ধি পায় এবং তাদের শূন্যে কমিয়ে শূন্যে পরিণত হয়, তবে ধরে নিবেন যে এবং তাদের নিজ নিজ সীমাতে রূপান্তরিত করে না, অভিব্যক্তি সর্বদা চেয়ে বেশি থাকে , সুতরাং দ্বিপদীটির বৈচিত্রটি পয়সনের চেয়ে কম। এটি বোঝাবে যে বিনোমিয়াল নীচে লেজ এবং উপরে অন্য কোথাও রয়েছে। $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
সূত্র

আপনার অবদানের জন্য ধন্যবাদ. আমার কাছে মনে হয় এটি প্রশ্নের সমাধান করতে ব্যর্থ হয়েছে, যদিও, (1) ওপি পিডিএফ নয়, সিডিএফের প্রতি আগ্রহী। (২) তিনি একটি পরিমাণগত উত্তর চান।

— whuber