টেলর সিরিজের প্রত্যাশা নেওয়া (বিশেষত বাকী)

42

টেলর সিরিজের প্রত্যাশিত মান গ্রহণ করে একটি বিস্তৃতভাবে ব্যবহৃত পদ্ধতি ন্যায্যতা প্রমাণ করার চেষ্টা করার বিষয়ে আমার প্রশ্ন উদ্বেগ প্রকাশ করে। ধরুন আমাদের কাছে ইতিবাচক গড় এবং বৈকল্পিক সহ একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল রয়েছে । অতিরিক্তভাবে, আমাদের একটি ফাংশন রয়েছে, বলুন, । $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\log(x)$

গড় প্রায় এর টেলর সম্প্রসারণ করা , আমরা পাই যেখানে যথারীতি, st। $\log X$

\log X = \log μ + \frac{X - μ}{μ} - \frac{1}{2} \frac{(X - μ)^{2}}{μ^{2}} + \frac{1}{3} \frac{(X - μ)^{3}}{ξ_{X}^{3}},

$\log X = \log\mu + \frac{X - \mu}{\mu} - \frac12 \frac{(X-\mu)^2}{\mu^2} + \frac13 \frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3},$

ξ_{X}

$\xi_X$

| ξ_{X} - μ | < | X - μ |

$|\xi_X - \mu| < |X - \mu|$

আমরা যদি কোন প্রত্যাশা নিই, আমরা একটি আনুমানিক সমীকরণ পাব যা লোকেরা সাধারণত স্ব-স্পষ্ট কিছু হিসাবে উল্লেখ করে ( এখানে প্রথম সমীকরণের sign চিহ্নটি দেখুন) $\approx$ :

E \log X \approx \log μ - \frac{1}{2} \frac{σ^{2}}{μ^{2}}

$\mathbb{E}\log X \approx \log \mu - \frac12 \frac{\sigma^2}{\mu^2}$

প্রশ্ন : আমি কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে বাকী টার্মের প্রত্যাশিত মানটি আসলে নগণ্য, অর্থাৎ (বা, অন্য কথায়, )।

E [\frac{(X - μ)^{3}}{ξ_{X}^{3}}] = o (σ^{2})

$\mathbb{E}\left[\frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3}\right] = o(\sigma^2)$

E [o (X - μ)^{2}] = o (E [(X - μ)^{2}])

$\mathbb{E}\bigl[o(X-\mu)^2\bigr] = o\bigl(\mathbb{E}\bigl[(X-\mu)^2\bigr]\bigr)$

আমি যা করার চেষ্টা করেছি : ধরে নিলাম যে (যার অর্থ, ইন ), আমি অবিচ্ছেদ্যকে দুটি ভাগে ভাগ করার চেষ্টা করেছি, কিছুটা with সাথে ঘিরে -vicinity : $\sigma^2 \to 0$ $X \to \mu$ $\mathbb{P}$ $\mu$ $\varepsilon$ $N_\varepsilon$

\int_{R} p (x) \frac{(x - μ)^{3}}{ξ_{x}^{3}} d x = \int_{x \in N_{ε}} \dots d x + \int_{x \notin N_{ε}} \dots d x

$\int_\mathbb{R} p(x)\frac{(x-\mu)^3}{\xi_x^3} \,dx = \int_{x \in N_\varepsilon} \ldots dx + \int_{x \notin N_\varepsilon} \ldots dx$

প্রথমটি এবং এইভাবে বিরক্ত করে না এই কারণে আবদ্ধ হতে পারে । তবে দ্বিতীয়টির সাথে আমাদের দুটি স্বসংগত ঘটনা রয়েছে: একদিকে (হিসাবে )। তবে অন্যদিকে, দিয়ে কী করা যায় তা আমরা জানি না । $0 \notin N_\varepsilon$ $1/\xi^3$

P (| X - μ | > ε) \to 0

$\mathbb{P}(|X - \mu| > \varepsilon) \to 0$

σ^{2} \to 0

$\sigma^2 \to 0$

1 / ξ^{3}

$1/\xi^3$

আরেকটি সম্ভাবনা হ'ল ফাতুর লেমা ব্যবহার করার চেষ্টা করা যেতে পারে তবে আমি কীভাবে তা বুঝতে পারি না।

কোন সহায়তা বা ইঙ্গিত প্রশংসা করবে। আমি বুঝতে পেরেছি যে এটি একটি খুব প্রযুক্তিগত প্রশ্ন, তবে এই "টেলর-প্রত্যাশা" পদ্ধতিটি বিশ্বাস করার জন্য আমার এটির মধ্য দিয়ে যেতে হবে। ধন্যবাদ!

PS আমি এখানে চেক আউট করেছি , তবে মনে হচ্ছে এটি অন্য কিছু জিনিস।

self-study mathematical-statistics expected-value

— agronskiy
সূত্র

টেলর সম্প্রসারণের তৃতীয় মেয়াদের সামনে কেন বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে? এছাড়াও চতুর্থ পদে কেন এবং? আমি কী মিস করছি?

3

$3$

3!

$3!$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ অ্যালোকোস: শুধু এর তম ডেরিভেটিভ দেখুন । এটি আপনার উভয় প্রশ্নের উত্তর দেবে।

n

$n$

\log x

$\log x$

— কার্ডিনাল

4

(+1 টি) এই সমস্যা সম্প্রতি মুহূর্তের খোঁজার এর সাথে সম্পর্কিত দুই প্রশ্ন আলোচনায় এসেছেন । এটি এ জাতীয় বিষয়ে অতিরিক্ত যত্ন নেওয়ার জন্য অর্থ প্রদান করে। :-)

X^{- 1}

$X^{-1}$

— কার্ডিনাল

1

প্রথম অর্ডের আনুমানিক পরিমাণ কিছু ক্ষেত্রে ভাল হতে পারে, কারণ গড় মানের উপপাদ্যের কারণে। নিশ্চিত নয় যে গড় মানের উপপাদ্যটি সাধারণ ক্ষেত্রে সহায়তা করবে কিনা।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

1

আমি ভাবতাম যে প্রভাবিত অভিব্যক্তির উপপাদ্যটি এখানে কার্যকর হতে পারে কারণ সীমাবদ্ধকরণ এবং একীকরণের আদান-প্রদান।

E (o (. .)) = o (E (. .))

$E(o(..))=o(E(..))$

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

32

আপনি এই পদ্ধতির সন্দেহ করা ঠিক। টেইলর সিরিজ পদ্ধতিটি সাধারণভাবে কাজ করে না, যদিও হিউরিস্টিকটিতে সত্যের কর্নেল রয়েছে। নীচের প্রযুক্তিগত আলোচনার সংক্ষিপ্তসার জন্য,

দৃ concent ় ঘনত্ব বোঝায় যে টেলর সিরিজ পদ্ধতিটি দুর্দান্ত ফাংশনগুলির জন্য কাজ করে
ভারী-লেজযুক্ত বিতরণ বা না-এত সুন্দর ফাংশনগুলির জন্য জিনিসগুলি নাটকীয়ভাবে ভুল হতে পারে

আলেকোসের উত্তর যেমন ইঙ্গিত করে, এটি প্রস্তাব দেয় যে আপনার ডেটার ভারী লেজ থাকতে পারে যদি টেলর-সিরিজ পদ্ধতিটি বাতিল করা উচিত। (অর্থ পেশাদার, আমি আপনার দিকে তাকাচ্ছি।)

এলভিস যেমন উল্লেখ করেছেন, মূল সমস্যাটি হ'ল বৈকল্পিকতা উচ্চতর মুহুর্তগুলিকে নিয়ন্ত্রণ করে না । কেন তা দেখতে, আসল মূল ধারণাটি পেতে আপনার প্রশ্নটি যথাসম্ভব সহজ করুন।

ধরুন আমরা র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম আছে সঙ্গে হিসাবে । $X_n$ $\sigma(X_n)\to 0$ $n\to \infty$

প্রশ্ন: আমরা গ্যারান্টি পারেন যে যেমন $\mathbb{E}[|X_n-\mu|^3] = o(\sigma^2(X_n))$ $n\to \infty?$

যেহেতু আছে সসীম দ্বিতীয় মুহূর্ত এবং অসীম তৃতীয় মুহুর্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল, উত্তর প্রবলভাবে হয় কোন । অতএব, সাধারণভাবে, টেলর সিরিজ পদ্ধতি তৃতীয় ডিগ্রি বহুবর্ষের জন্যও ব্যর্থ হয় । এই যুক্তিটি পর্যালোচনা করে দেখায় যে আপনি টেলর সিরিজ পদ্ধতিটি সঠিক ফলাফল প্রদানের প্রত্যাশা করতে পারবেন না, এমনকি বহুবচনগুলির জন্যও, যদি না আপনার র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমস্ত মুহুর্ত ভালভাবে নিয়ন্ত্রণ করা হয়।

তাহলে আমরা কী করব? অবশ্যই পদ্ধতিটি সীমানা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য কাজ করে যার সমর্থনটি একটি বিন্দুতে রূপান্তরিত করে তবে এই শ্রেণিটি আকর্ষণীয় হওয়ার চেয়ে অনেক ছোট is এর পরিবর্তে ধরুন যে ক্রমটি কিছু উচ্চ ঘন পরিবার থেকে আসে যা সন্তুষ্ট করে (বলে) $X_n$

\begin{matrix} (1) & P {| X_{n} - μ | > t} \leq e^{- C n t^{2}} \end{matrix}

$\mathbb{P}\left\{ |X_n-\mu|> t\right\} \le \mathrm{e}^{- C n t^2} \tag{1}$

প্রতি এবং কিছু । এই জাতীয় এলোমেলো পরিবর্তনগুলি আশ্চর্যজনকভাবে সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, যখন গড় হয় $t>0$ $C>0$ $X_n$

X_{n} := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$X_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$

চমৎকার র্যান্ডম ভেরিয়েবল (যেমন, আইআইডি এবং সীমাবদ্ধ), বিভিন্ন ঘনত্বের অসমতা বোঝায় যে সন্তুষ্ট করে (1)। একটি স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্ট (দেখুন পি। 10 এখানে ) এই জাতীয় এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির জন্য ম মুহুর্তগুলিকে সীমাবদ্ধ করে : $Y_i$ $X_n$ $p$

E [| X_{n} - μ |^{p}] \leq {(\frac{p}{2 C n})}^{p / 2} .

$\mathbb{E}[|X_n-\mu|^p] \le \left(\frac{p}{2 C n}\right)^{p/2}.$

অতএব, কোন "পর্যাপ্ত চমৎকার" বিশ্লেষণমূলক ফাংশন জন্য (নিচে দেখুন), আমরা ত্রুটি আবদ্ধ করতে উপর -term টেলর সিরিজ পড়তা ত্রিভুজ বৈষম্য ব্যবহার $f$ $\mathcal{E}_m$ $m$

E_{m} := | E [f (X_{n})] - \sum_{p = 0}^{m} \frac{f^{(p)} (μ)}{p!} E (X_{n} - μ)^{p} | \leq \frac{1}{(2 C n)^{(m + 1) / 2}} \sum_{p = m + 1}^{\infty} | f^{(p)} (μ) | \frac{p^{p / 2}}{p!}

$\mathcal{E}_m:=\left|\mathbb{E}[f(X_n)] - \sum_{p=0}^m \frac{f^{(p)}(\mu)}{p!} \mathbb{E}(X_n-\mu)^p\right|\le \tfrac{1}{(2 C n)^{(m+1)/2}} \sum_{p=m+1}^\infty |f^{(p)}(\mu)| \frac{p^{p/2}}{p!}$

কখন । যেহেতু স্টার্লিংয়ের আনুমানিক দেয় , কেটে যাওয়া টেলর সিরিজের ত্রুটি সন্তুষ্ট করে $n>C/2$ $p! \approx p^{p-1/2}$

\begin{matrix} (2) & E_{m} = O (n^{- (m + 1) / 2}) as n \to \infty whenever \sum_{p = 0}^{\infty} p^{(1 - p) / 2} | f^{(p)} (μ) | < \infty . \end{matrix}

$\mathcal{E}_m = O(n^{-(m+1)/2}) \text{ as } n\to \infty\quad \text{whenever} \quad \sum_{p=0}^\infty p^{(1-p)/2 }|f^{(p)}(\mu)| < \infty \tag{2}.$

সুতরাং, যখন strongly কেন্দ্রীভূত হয় এবং যথেষ্ট পরিমাণে সুন্দর হয়, তখন টেলর সিরিজের আনুমানিক সত্যতা পাওয়া যায়। (2) এ প্রদর্শিত বৈষম্য বোঝায় যে , যাতে বিশেষ করে আমাদের অবস্থা প্রয়োজন যে হয় সমগ্র । এই জ্ঞান করে তোলে কারণ (1) কোন boundedness অনুমানের আরোপ করে না । $X_n$ $f$ $f^{(p)}(\mu)/p! = O(p^{-p/2})$ $f$ $X_n$

আসুন দেখি যখন এককতা থাকে তখন কী ভুল হতে পারে (স্বচ্ছলতার মন্তব্যের পরে)। ধরা যাক আমরা বেছে নিই । যদি আমরা শূন্য ও দুইয়ের মধ্যে ছাঁটা বিতরণ থেকে নিই , তবে যথেষ্ট পরিমাণে কেন্দ্রীভূত তবে every প্রতিটি জন্য । অন্য কথায়, আমাদের মধ্যে একটি অত্যন্ত ঘনীভূত, গণ্ডিযুক্ত এলোমেলো পরিবর্তনশীল রয়েছে এবং ফাংশনে মাত্র একটি এককতা থাকলে টেলর সিরিজের পদ্ধতিটি ব্যর্থ হয়। $f$ $f(x)=1/x$ $X_n$ $\mathrm{Normal}(1,1/n)$ $X_n$ $\mathbb{E}[f(X_n)] = \infty$ $n$

কঠোরতার উপর কয়েকটি শব্দ। আমি এটা সুন্দর অবস্থায় (2) প্রকাশমান হিসাবে উপস্থাপন করতে এটি উদ্ভূত বরং একটি তুলনায় সংকট মুহূর্তে দৈবের করে একটি কঠোর উপপাদ্য / প্রমাণ বিন্যাসে প্রয়োজনীয় হচ্ছে। যুক্তিটিকে সম্পূর্ণ কঠোর করার জন্য, প্রথমে দ্রষ্টব্য যে ডান হাতের (2) এ বোঝায়

E [| f (X_{n}) |] \leq \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{| f^{(p)} (μ) |}{p!} E [| X_{n} - μ |^{p}] < \infty

$\mathbb{E}[|f(X_n)|] \le \sum_{i=0}^\infty \frac{|f^{(p)}(\mu)|}{p!} \mathbb{E}[|X_n-\mu|^p]< \infty$

উপর থেকে সাবগুশিয়ান মুহুর্তের বৃদ্ধির হার দ্বারা। সুতরাং, ফুবিনির উপপাদ্য সরবরাহ করে

E [f (X_{n})] = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{f^{(p)} (μ)}{p!} E [(X_{n} - μ)^{p}]

$\mathbb{E}[f(X_n)] = \sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(p)}(\mu)}{p!} \mathbb{E}[(X_n-\mu)^p]$

উপরের বাকী প্রমাণগুলি এগিয়ে যায়।

— মাইক ম্যাককয়
সূত্র

1

আমি এটি দ্রুত পাঠে মিস করেছি, তবে আপনি কি (অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে) দাবি করছেন যে এর তৃতীয় মুহূর্তটি যথেষ্ট পরিমাণে "নিয়ন্ত্রণে" থাকে তবে প্রত্যাশাটি যথাযথভাবে প্রত্যাশা গ্রহণ করে প্রায় অনুমান করা যায় [ম্যাকলাউরিন] সিরিজের of ? আমি উদ্বিগ্ন কারণ আমি নিজেই সিরিজের রূপান্তর বৈশিষ্ট্যগুলির কোনও রেফারেন্স দেখিনি, যা কমপক্ষে বিতরণের লেজ হিসাবে গুরুত্বপূর্ণ ।

X

$X$

\log (X)

$\log(X)$

\log

$\log$

X

$X$

— হোবার

2

@ শুভ আপনি ঠিক আছেন; টেলর সিরিজের আরওকে থাকতে আপনাকে সমর্থন প্রয়োজন , সুতরাং বিশেষত, প্রায় অবশ্যই। আমি এই প্রতিফলিত পোস্ট পোস্ট করব।

X

$X$

0 < X < 2 μ

$0<X<2 \mu$

— মাইক ম্যাককয়

2

আমি এখনও মনে করি আমি কিছু মিস করছি। উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি সাধারণ বিতরণ থাকে , তখন এটি স্পষ্টতই "অত্যন্ত ঘন ঘন" হয়, যার গড় পরিমাণ এবং এটি অবশ্যই এর রূপান্তরটির ব্যাসার্ধের মধ্যেই থাকে (যা কেন্দ্রিক ইউনিট ডিস্কের অভ্যন্তরে বিশ্লেষণাত্মক , যার মধ্যে রয়েছে , তবুও অসীম।

X

$X$

(1, 1)

$(1,1)$

(0, 2)

$(0,2)$

μ = 1

$\mu=1$

f (x) = 1 / x = 1 / (1 - (1 - x))

$f(x)=1/x = 1/(1-(1-x))$

1

$1$

(0, 2 μ)

$(0,2\mu)$

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$

— হোবার

1

@ গ্রন আপনি কিছু ছোট ত্রুটি করেছেন। যখন , ডেরাইভেটিভ । শর্তটি ধরে নেই কারণ যেকোন জন্য । এছাড়াও আপনি যাচাই করতে পারেন যে (2) না রাখা কোন ফাংশন মাফিক (2) এছাড়াও সন্তুষ্ট কারণ , তাই হয়েছে কোনও এককতা নেই ( সম্পূর্ণ , লিঙ্কটি সম্পূর্ণ )।

f (x) = 1 / x

$f(x)=1/x$

| f^{(p)} (μ) | = p! / μ^{p}

$|f^{(p)}(\mu)|=p!/\mu^p$

(2) = \sum p! p^{(1 - p / 2)} μ^{p} \to \infty

$\text{(2)}=\sum p! p^{(1-p/2)} \mu^p \to \infty$

μ > 0

$\mu>0$

\log (p! f^{(p)} (μ)) / p \to - \infty

$\log (p! f^{(p)}(\mu) )/ p \to -\infty$

f

$f$

— মাইক ম্যাককয়

1

@gron আপনাকে দুটি জিনিস প্রয়োজন: (1) নিশ্চিত করুন যে আপনার আরভি কঠোরভাবে লগ শক্তি সিরিজের আরওসি মধ্যে সমর্থন আছে যে (অর্থাত, জন্য ), এবং (২) নিশ্চিত করুন যে আরভি এর মুহুর্তগুলি যথেষ্ট দ্রুত হ্রাস পেয়েছে যে উপরে ত্রুটি অনুমান করা সীমাবদ্ধ। মুহুর্তগুলিকে কীভাবে নিয়ন্ত্রণ করতে হয়, আপনার একটি নতুন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা উচিত কারণ এটি অনেকগুলি চরিত্র গ্রহণ করবে (এবং আমি নিজে নতুন পদ্ধতি সম্পর্কে আগ্রহী)।

[0 + ε, 2 μ - ε]

$[0+\varepsilon, 2 \mu-\varepsilon]$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

E_{m}

$\mathcal{E}_m$

— মাইক ম্যাককয়

10

যদিও আমার উত্তরটি অন্য উত্তরগুলির গাণিতিক পরিশীলনের স্তরের কাছে পৌঁছাবে না, তবে আমি এটি পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি কারণ আমি বিশ্বাস করি যে এটির অবদান রাখার কিছু রয়েছে - ফলাফল তারা বলেছে "নেতিবাচক" হবে।

হালকা সুরে, আমি বলব যে ওপিটি "ঝুঁকি-বিপর্যয়কর" , (বেশিরভাগ লোকেরা যেমন বিজ্ঞানও তেমনি), কারণ ওপিতে ২ য়-আদেশের টেলর সিরিজের সম্প্রসারণের সান্নিধ্যের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত প্রয়োজন " গ্রহণযোগ্য "। কিন্তু তা না হয় না প্রয়োজনীয় শর্ত।

প্রথমত, অপরিহার্য হিসাবে আরভি এর পরিবর্তনের চেয়ে কম ক্রম হিসাবে রেন্ডেন্ডারের প্রত্যাশিত মানটির জন্য প্রয়োজনীয় তবে পর্যাপ্ত প্রাক-প্রয়োজনীয় নয়, এটি সিরিজটি প্রথম স্থানে রূপান্তরিত করে। আমাদের কি কেবল একত্রিত হওয়া উচিত? না।

আমরা যে সাধারণ প্রকাশটি পরীক্ষা করি তা হ'ল

E [g (Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Y} (y) [\sum_{i = 0}^{\infty} g^{(i)} (μ) \frac{(y - μ)^{i}}{i!}] d y [1]

$E\Big[g(Y)\Big] = \int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)\Big[\sum_{i=0}^{\infty}g^{(i)}(\mu)\frac{(y-\mu)^i}{i!}\Big]dy \qquad [1]$

লোস্টল (1976) যেমন বলেছে, জেমিগানির "ক্যালকুলাস এবং পরিসংখ্যান" বইয়ের উল্লেখ (1978, পৃষ্ঠা 170), অসীম অঙ্কের একীকরণের জন্য একটি শর্ত ( রূপান্তরকরণের জন্য অনুপাত পরীক্ষার আবেদন )

y - μ < | y - μ | < lim_{i \to \infty} | (\frac{g^{(i)} (μ)}{g^{(i + 1)} (μ)} (i + 1)) | [2]

$y-\mu < |y-\mu|<\lim_{i\rightarrow \infty}\left | \left(\frac {g^{(i)}(\mu)}{g^{(i+1)}(\mu)}(i+1)\right)\right| \qquad [2]$

... যেখানে আরভিটির গড়, যদিও এটিও একটি পর্যাপ্ত শর্ত (উপরোক্ত সম্পর্কটি সাম্যকে ধরে রাখলে অনুপাতের পরীক্ষাটি অনিবার্য), অসমতা অন্য দিক ধরে রাখলে সিরিজটি বিচ্যুত হবে। $\mu$

লোস্টল , ক্ষতিকারক , শক্তি এবং লগারিদমের জন্য তিনটি নির্দিষ্ট কার্যকরী ফর্ম পরীক্ষা করেছেন (তাঁর কাগজটি প্রত্যাশিত ইউটিলিটি এবং পোর্টফোলিও চয়েসের ক্ষেত্রে রয়েছে, তাই তিনি অবতল ইউটিলিটি ফাংশন উপস্থাপনের জন্য ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড ফাংশনাল ফর্মগুলি পরীক্ষা করেছিলেন)। এই কার্যকরী ফর্মগুলির জন্য, তিনি দেখতে পেলেন যে কেবলমাত্র ঘনিষ্ঠভাবে কার্যকরী ফর্মের জন্য উপর কোনও বিধিনিষেধ আরোপ করা হয়নি। বিপরীতভাবে, ক্ষমতা জন্য, এবং লগারিদমিক ক্ষেত্রে (যেখানে আমরা ইতিমধ্যে আছে তাদের জন্য ), আমরা যে বৈষম্য বৈধতা সমতুল্য হয় $g()$ $y-\mu$ $0 <y$ $[2]$

y - μ < μ \Rightarrow 0 < y < 2 μ

$y-\mu < \mu \Rightarrow 0 < y < 2\mu$

এর অর্থ হ'ল যদি আমাদের পরিবর্তনশীল এই সীমার বাইরে পরিবর্তিত হয়, টেলর সম্প্রসারণের কেন্দ্রের সম্প্রসারণ কেন্দ্র হিসাবে পরিবর্তনশীলটির গড় বিচ্যুত হবে।

সুতরাং: কিছু কার্যকরী ফর্মের জন্য, এর ডোমেনের কোনও পর্যায়ে কোনও ফাংশনের মান তার অসীম টেলর সম্প্রসারণের সমতুল্য, এই বিন্দুটি সম্প্রসারণ কেন্দ্র থেকে যত দূরেই থাকুক না কেন। অন্যান্য কার্যকরী ফর্মগুলির জন্য (লোগারিদম অন্তর্ভুক্ত), আগ্রহের পয়েন্টটি প্রসারিত নির্বাচিত কেন্দ্রের কিছুটা "কাছাকাছি" থাকা উচিত। আমাদের আরভি রয়েছে এমন ক্ষেত্রে, এটি ভেরিয়েবলের তাত্ত্বিক সমর্থন (বা এর অভিজ্ঞতাগতভাবে পরিলক্ষিত পরিসীমা পরীক্ষা করা) এর তাত্ত্বিক সমর্থনের উপর বিধিনিষেধে অনুবাদ করে।

লাইটল, সংখ্যাসূচক উদাহরণগুলি ব্যবহার করে এটিও দেখিয়েছিলেন যে কাটা কাটার আগে সম্প্রসারণের ক্রম বৃদ্ধি করা সান্নিধ্যের যথার্থতার জন্য আরও খারাপ হতে পারে । আমাদের অবশ্যই লক্ষ্য রাখতে হবে যে, আর্থিক ক্ষেত্রে পর্যায়ক্রমে পর্যবেক্ষণ করা ভেরিয়েবলগুলির সময়-ধারাবাহিকতা বৈষম্যের কারণে প্রয়োজনীয়তার চেয়ে বৃহত্তর পরিবর্তনশীলতা প্রদর্শন করে। সুতরাং লোইট এই পরামর্শে এগিয়ে গেলেন যে পোর্টফোলিও চয়েস থিওরি সম্পর্কিত টেলর সিরিজের আনুমানিক পদ্ধতিটি পুরোপুরি স্ক্র্যাপ করা উচিত।

প্রত্যাবর্তন 18 বছর পরে Hlawitschka (1994) থেকে এসেছিল । মূল্যবান অন্তর্দৃষ্টি এবং ফলাফল এখানে ছিল, এবং আমি উদ্ধৃত

... যদিও একটি সিরিজ শেষ পর্যন্ত একত্রিত হতে পারে, এর কোনও আংশিক সিরিজ সম্পর্কে খুব কম বলা যায়; একটি সিরিজের রূপান্তর বোঝায় না যে পদগুলি অবিলম্বে আকারে হ্রাস পেয়েছে বা কোনও নির্দিষ্ট শব্দটিকে উপেক্ষা করার পক্ষে যথেষ্ট ছোট। প্রকৃতপক্ষে, এখানে প্রদর্শিত হিসাবে এটি সম্ভব, চূড়ান্তভাবে সীমাতে রূপান্তর করার আগে একটি সিরিজ বিচ্ছিন্ন হতে পারে। টেলর সিরিজের প্রথম কয়েকটি শর্তের ভিত্তিতে প্রত্যাশিত ইউটিলিটির কাছে মুহুর্তের গুণমান, তাই অনন্ত সিরিজের রূপান্তর বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারণ করা যায় না। এটি একটি অভিজ্ঞতাগত সমস্যা, এবং অভিজ্ঞতার সাথে, এখানে অধ্যয়ন করা ইউটিলিটি ফাংশনগুলির জন্য দু'মুহূর্তের অনুমানগুলি পোর্টফোলিও নির্বাচনের কাজটির জন্য ভাল সম্পাদন করে। Hlawitschka (1994)

উদাহরণস্বরূপ, হ্লুইয়েটস্কা দেখিয়েছিলেন যে টেলর সিরিজটি রূপান্তরিত হয়েছে বা না-হউক না কেন , দ্বিতীয়-অর্ডারের প্রায় অনুমান "সফল" হয়েছিল , তবে তিনি লটেলের ফলাফলও যাচাই করেছিলেন, অনুমানের ক্রম বাড়ানো আরও খারাপ হতে পারে। তবে এই সাফল্যের জন্য একটি যোগ্যতা রয়েছে: পোর্টফোলিও চয়েসে প্রত্যাশিত ইউটিলিটি সিকিওরিটি এবং অন্যান্য আর্থিক পণ্যগুলি র‌্যাঙ্ক করতে ব্যবহৃত হয় । এটি একটি নিয়মিত পরিমাপ, মূল নয়। সুতরাং হ্যালুইটস্কা যা খুঁজে পেয়েছেন তা হল যে দ্বিতীয়-আদেশের সান্নিধ্যে এর সঠিক মান থেকে প্রাপ্ত র‌্যাঙ্কিংয়ের তুলনায় বিভিন্ন সিকিওরিটির র‌্যাঙ্কিং সংরক্ষণ করা হয়েছিল , এবং না $E(g(Y)$ যে এটি সর্বদা পরিমাণগত ফলাফল দিয়েছে যে যেখানে এই সঠিক মানের যথেষ্ট পরিমাণে কাছে রয়েছে (তার টেবিল A1 পৃষ্ঠা 7.1 দেখুন)।

তাই যেখানে যে আমাদের ছেড়ে? লম্বা অবস্থায়, আমি বলব। এটি তত্ত্ব এবং সম্রাজ্য উভয় ক্ষেত্রেই দেখা যায় যে ২ য়-আদেশের টেলর অনুমানের গ্রহণযোগ্যতা অধ্যয়নের অধীনে নির্দিষ্ট ঘটনার অনেক বিভিন্ন দিকের উপর সমালোচনামূলকভাবে নির্ভর করে এবং এটি নিযুক্ত বৈজ্ঞানিক পদ্ধতিটি ব্যবহৃত তাত্ত্বিক অনুমানের উপর নির্ভর করে, ব্যবহৃত কার্যকরী রূপগুলিতে, সিরিজের পর্যবেক্ষণ পরিবর্তনশীলতার উপর ...

তবে আসুন ইতিবাচকভাবে এটি শেষ করুন: আজকাল, কম্পিউটার পাওয়ার অনেকগুলি জিনিসের পরিবর্তে। সুতরাং আমরা তৃতীয়-আদেশের আনুমানিকতার বৈধতাটি পরীক্ষা করতে পারি, ভেরিয়েবলের বিস্তৃত মূল্যগুলির জন্য সস্তাভাবে, আমরা কোনও তাত্ত্বিক, না কোনও অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা নিয়ে কাজ করি কিনা।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

8

প্রকৃত উত্তর নয়, তবে জিনিসগুলি এত সুন্দর নয় এবং এই ফলাফলটিকে সত্য করে তুলতে অতিরিক্ত অনুমানের প্রয়োজন তা দেখানোর জন্য একটি উদাহরণ।

একটি অভিন্ন uniform এবং একটি সাধারণ মধ্যে মিশ্রণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন , অভিন্ন উপাদান সম্ভাব্যতা সঙ্গে মনোনীত হচ্ছে , এবং সম্ভাব্যতা সাথে স্বাভাবিক । আপনার এবং এর বৈকল্পিক রূপান্তরিত হয় যখন অসীমে চলে যায়, যেমন যদি আমি ভুল না করি। $X_n$ $U\left( \left[ -{1\over n} ; {1\over n} \right] \right)$ $\mathcal N({n \over n-1}, {1\over n})$ $1\over n$ $1 -{1\over n} = {n-1 \over n}$ $E(X_n) = 1$ $0$ $n$

E (X_{n}^{2}) = \frac{1}{3 n^{2}} \times \frac{1}{n} + ({(\frac{n}{n - 1})}^{2} + \frac{1}{n}) \times \frac{n - 1}{n},

$E\left(X_n^2\right) = {1\over 3 n^2} \times {1\over n} + \left(\left({n \over n-1}\right)^2+{1\over n}\right)\times{n-1 \over n},$

এখন (এবং বা যাই হোক না কেন) সংজ্ঞায়িত করুন । defined চেয়ে হিসাবে নির্ধারিত নয়, এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে তবে একটি প্রত্যাশিত মান নেই , যত বড় হোক না কেন । $f(x) = 1/x$ $f(0) = 0$ $f(X_n)$

\int_{- \frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \frac{1}{x} d x

$\int_{-{1\over n}}^{1\over n} {1\over x} \mathrm dx$

n

$n$

আমার উপসংহারটি হ'ল আপনার চূড়ান্তভাবে এর বিশ্বব্যাপী আচরণের উপর হাইপোথিসিসের প্রয়োজন বা সম্ভবত - আরও মার্জিতভাবে - আপনি যে গতিবেগের সাথে এর ঘনত্বটি যখন প্রত্যাশিত মান থেকে দূরে সরে যান। আমি নিশ্চিত যে এই ধরনের অনুমানগুলি ক্লাসিক সাহিত্যে (এবং এমনকি পাঠ্যপুস্তকগুলিতেও) পাওয়া যাবে, দুর্ভাগ্যবশত আমার প্রশিক্ষণ পরিসংখ্যানের মধ্যে ছিল না এবং আমি এখনও সাহিত্যের সাথে লড়াই করছি ... যাইহোক আমি আশা করি এটি সাহায্য করেছিল। $f$ $X_n$

গীত। এই উদাহরণটি কি নিকের উত্তরের পাল্টা উদাহরণ নয়? তাহলে কে ভুল?

— এলভিস
সূত্র

1

আপনার যুক্তির আরও সাধারণ বক্তব্য হ'ল উপস্থিত রয়েছে এবং জন্য সীমাবদ্ধ

E [X^{k}]

$E\left[X^k\right]$

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$

— সম্ভাব্যতা

আমি মনে করি আমার উপরের মন্তব্যটি সঠিক নয় - এমন কী হওয়া উচিত যা পয়েন্টে টেলর সিরিজের সম্প্রসারণকে স্বীকার করে । আপনি যে উদাহরণটি সরবরাহ করেছেন, আপনার যা এ অবিচ্ছিন্ন নয় । আমি মনে করি এর অর্থ হ'ল আপনার উদাহরণের জন্য কোনও টেলর সিরিজে প্রসারিত করা যাবে না।

f (x)

$f(x)$

x = μ

$x=\mu$

f (x) = \frac{1}{x}

$f(x)=\frac{1}{x}$

x = 0

$x=0$

f

$f$

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

এটি এ হতে পারে । তারপরে কনভার্সনের ব্যাসার্ধ আছে ... আপনার কি একীকরণের অসীম ব্যাসার্ধের দরকার হতে পারে ?! এটি একটি শক্তিশালী প্রয়োজন।

μ = 1

$\mu = 1$

— এলভিস

1

এলভিস, হ্যাঁ, আমাদের একটি বৈশ্বিক অবস্থা দরকার। মূলত, বিতরণটির লেজ দ্বারা ভারিত হওয়ার পরে বাকী অংশগুলি অবশ্যই ভাল আচরণ করতে হবে। আপনার উদাহরণের অনুরূপ কিছু যা সম্প্রতি এলো, এখানে , এখানে এবং এখানে দেখুন ।

— কার্ডিনাল

4

এটি সম্পূর্ণ উত্তর নয়, দ্বিতীয় আদেশের কাছাকাছি পৌঁছানোর কেবলমাত্র ভিন্ন উপায়।

আমার মনে হয়, টেলর সিরিজের বাকি টার্মের সাথে কাজ না করে কচির গড় মূল্য উপপাদ্যটি ব্যবহার করা সবচেয়ে ভাল উপায়। আমরা যদি এটি একবার প্রয়োগ করি তবে আমাদের কাছে

f (X) = f (μ) + f^{'} (ξ_{1}) (X - μ)

$f(X)=f(\mu)+f'(\xi_1)(X-\mu)$

কিছু যখন বা যখন । আমরা এখন আবার এ গড় মান উপপাদ্য প্রয়োগ করি এবং আমাদের কাছে রয়েছে $X\leq\xi_1 \leq \mu$ $X \leq \mu$ $X\geq\xi_1 \geq \mu$ $X \geq \mu$ $f'(\xi_1)$

f^{'} (ξ_{1}) = f^{'} (μ) + f^{″} (ξ_{2}) (ξ_{1} - μ)

$f'(\xi_1)= f'(\mu) + f''(\xi_2)( \xi_1-\mu)$

কিছু যখন বা যখন । এটি প্রথম ফোমুলায় দেয় $X\leq\xi_1\leq\xi_2\leq\mu$ $X\leq\mu$ $X\geq\xi_1\geq \xi_2 \geq\mu$ $X\geq\mu$

f (X) = f (μ) + f^{'} (μ) (X - μ) + f^{″} (ξ_{2}) (ξ_{1} - μ) (X - μ)

$f(X)=f(\mu)+ f'(\mu) (X-\mu) + f''(\xi_2)( \xi_1-\mu) (X-\mu)$

নোট করুন যে এই ফলাফলের জন্য কেবল প্রয়োজন যে ক্রমাগত এবং এবং মধ্যে দ্বিগুণ পার্থক্যযোগ্য । তবে এটি কেবলমাত্র একটি স্থির জন্য প্রযোজ্য এবং পরিবর্তন করা মানে সাথে সম্পর্কিত পরিবর্তন হবে । দ্বিতীয় ক্রমের ডেল্টা পদ্ধতিটি বিশ্বব্যাপী অনুমান হিসাবে দেখা যায় যে সমর্থনের পুরো পরিসর ধরে এবং , বা কমপক্ষে উচ্চ সম্ভাবনার ভর অঞ্চলে। $f$ $X$ $\mu$ $X$ $X$ $\xi_i$ $\xi_1-\mu=\frac{1}{2}(X-\mu)$ $\xi_2=\mu$ $X$

— probabilityislogic
সূত্র