একটি "বদ্ধ-ফর্ম সমাধান" এর অর্থ কী?

82

আমি "ক্লোজড-ফর্ম সমাধান" শব্দটি প্রায়শই এসেছি। বদ্ধ-ফর্ম সমাধানের অর্থ কী? একটি প্রদত্ত সমস্যার জন্য একটি ঘনিষ্ঠ-ফর্ম সমাধান উপস্থিত থাকলে কীভাবে তা নির্ধারণ করে? অনলাইনে অনুসন্ধান করে, আমি কিছু তথ্য পেয়েছি, তবে একটি পরিসংখ্যানগত বা সম্ভাব্য মডেল / সমাধান বিকাশের প্রসঙ্গে কিছুই পাইনি।

আমি রিগ্রেশনটি খুব ভালভাবে বুঝতে পারি, সুতরাং যদি কেউ যদি ধারণা বা মডেল-ফিটিংয়ের সাথে সম্পর্কিত ধারণাটি ব্যাখ্যা করতে পারে তবে এটি গ্রহণ করা সহজ হবে। :)

— arjsgh21
সূত্র

4

এই প্রশ্নটি কিছু সময়ের জন্য নিম্নমানের উত্তরের জন্য চুম্বকের কিছু বলে মনে হচ্ছে; আমি ভেবেছিলাম সম্ভবত এটি এখনই সুরক্ষিত করা উচিত।

— Glen_b

37

"একটি সমীকরণটিকে একটি বদ্ধ-রূপ সমাধান হিসাবে বলা হয় যদি এটি প্রদত্ত সাধারণভাবে গৃহীত সেট থেকে ফাংশন এবং গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে কোনও প্রদত্ত সমস্যা সমাধান করে example উদাহরণস্বরূপ, অসীম পরিমাণটি সাধারণত ক্লোজড ফর্ম হিসাবে বিবেচিত হবে না However তবে, ক্লোজড-ফর্মটি কী কল করতে হবে এবং কী নয় বরং স্বেচ্ছাচারিতা নয়, তা বেছে নেওয়া অসীম অঙ্কের ক্ষেত্রে কেবল একটি নতুন "ক্লোজড-ফর্ম" ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। " --Wolfram আলফা

এবং

"গণিতে কোনও অভিব্যক্তিটিকে একটি" ক্লোজড ফর্ম এক্সপ্রেশন "বলা হয় যদি এটি নির্দিষ্ট কিছু" সুপরিচিত "ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যার ক্ষেত্রে বিশ্লেষণাত্মকভাবে প্রকাশ করা যায়। সাধারণত, এই সুপরিচিত ফাংশনগুলিকে প্রাথমিক ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়- ধ্রুবক, একটি ভেরিয়েবল এক্স, গাণিতিকের প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ (+ - × ÷), নবম শিকড়, ক্ষতিকারক এবং লোগারিদম (যার মধ্যে এটি ত্রিকোণমিত্রিক ফাংশন এবং বিপরীত ত্রিভুজমিত্রিক ফাংশনও অন্তর্ভুক্ত করে থাকে) প্রায়শই সমস্যাগুলি ট্র্যাকটেবল হিসাবে বলা হয় যদি সেগুলি সমাধান করা যায় তবে একটি বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন। " - উইকিপিডিয়া

রৈখিক প্রতিরোধের একটি বদ্ধ ফর্ম সমাধানের উদাহরণ হ'ল ন্যূনতম বর্গ সমীকরণ

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y

$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$

সমস্ত প্রতিরোধের পরিস্থিতিগুলি সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করার সমস্যা হিসাবে ফেলে দেওয়া যেতে পারে তা বিবেচনা করে, কখন কোনও বন্ধ-ফর্ম সমাধান হবে না? একটি অসুস্থ-পোজযুক্ত বা বিরল সমস্যাটির জন্য একটি আনুমানিক সমাধানের প্রয়োজন হবে, তাই যেখানে বন্ধ-ফর্ম সমাধানের উপস্থিতি নেই সেই ক্ষেত্রেই কি হয়? কীভাবে যখন কেউ নিয়মিতকরণের সাথে কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট বংশোদ্ভূত হন?

— arjsgh21

আমি এই আলোচনাকে সহায়ক বলে মনে করেছি - "

— ক্লোজেন্ট

@ আরজস 21 এ কি এখনও বন্ধ ফর্ম সমাধান হওয়ার অর্থ কী তা সম্পর্কে আপনার আরও স্পষ্টতা দরকার? কারণ আপনার নতুন প্রশ্নটি মনে হয় রিগ্রেশন সমস্যাগুলির কখন বন্ধ ফর্ম সমাধানগুলি (বা না) যা সম্পূর্ণ নতুন বিষয় এবং আমার মতে এটি একটি নতুন প্রশ্ন হিসাবে জিজ্ঞাসা করা উচিত about

ধন্যবাদ বাবাকপি। আমি মনে করি যে আমি এখনই তা পেয়েছি, রিগ্রেশনের সাথে এবং অন্যথায়ও।

— arjsgh21

1

এটি আমাকে বিভ্রান্ত করে যে ক্রসভিলেটেডই কেবল একমাত্র "স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ ফোরাম" যা ধারাবাহিকভাবে উত্তরগুলির উপরে ওফসকেটিং-কিন্তু-সঠিক উত্তর সমর্থন করে যা বোঝার সরবরাহ করে। বর্তমান ফসলের সেরা উত্তরটি হ'ল @ লুকা, এবং অপ্রকাশিত। সত্য, এটি কেবল একটি লিঙ্ক সরবরাহ করে তবে একটি দুর্দান্ত লিঙ্ক যা বোঝা সহজ। এই অত্যধিক অদ্ভুত উত্তরটি কেবল উত্তরটি ইতিমধ্যে জানেন এমন লোকেদের সমস্যার সমাধান করতে সহায়তা করে। :(

— মাইক উইলিয়ামসন

17

বেশিরভাগ অনুমানের পদ্ধতিতে এমন কিছু প্যারামিটারগুলি সন্ধান করা হয় যা কিছু উদ্দেশ্যমূলক কার্যকে হ্রাস করে (বা সর্বাধিক করে তোলে)। উদাহরণস্বরূপ, ওএলএসের সাহায্যে আমরা স্কোয়ারের অবশিষ্টাংশের যোগফলকে হ্রাস করি। সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমানের সাথে, আমরা লগ-সম্ভাবনা ফাংশনটি সর্বাধিক করি। পার্থক্যটি তুচ্ছ: ক্ষুদ্রতরকরণকে উদ্দেশ্যমূলক কার্যের নেতিবাচক ব্যবহার করে সর্বাধিকীকরণে রূপান্তর করা যায়।

কখনও কখনও এই সমস্যাটি বীজগণিতভাবে সমাধান করা যেতে পারে, একটি ক্লোজড-ফর্ম সমাধান তৈরি করে। ওএলএসের সাহায্যে আপনি প্রথম ক্রমের শর্তাদির সিস্টেমটি সমাধান করেন এবং পরিচিত সূত্রটি পান (যদিও উত্তরটি মূল্যায়নের জন্য আপনার সম্ভবত কম্পিউটারের প্রয়োজন রয়েছে)। অন্যান্য ক্ষেত্রে, এটি গাণিতিকভাবে সম্ভব নয় এবং আপনাকে কম্পিউটার ব্যবহার করে প্যারামিটারের মানগুলি সন্ধান করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, কম্পিউটার এবং অ্যালগরিদম আরও বড় ভূমিকা পালন করে। ননলাইনার লেস্ট স্কোয়ারগুলির একটি উদাহরণ। আপনি একটি সুস্পষ্ট সূত্র পাবেন না; আপনি যা পান তা হ'ল একটি রেসিপি যা প্রয়োগ করতে আপনার কম্পিউটারের দরকার। প্যারামিটারগুলি কী হতে পারে এবং কীভাবে সেগুলি পরিবর্তিত হতে পারে তার প্রাথমিক অনুমান দিয়ে রেসিপিটি শুরু করা যেতে পারে। তারপরে আপনি বিভিন্ন পরামিতিগুলির সংমিশ্রণ চেষ্টা করে দেখুন কোনটি আপনাকে সর্বনিম্ন / সর্বোচ্চ উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন মান দেয়। এটি নিষ্ঠুর শক্তি পদ্ধতির এবং এটি একটি দীর্ঘ সময় নেয়। উদাহরণ স্বরূপ, $10^5$ সংমিশ্রণগুলি এবং যদি আপনি ভাগ্যবান হন তবে এটি আপনাকে সঠিক উত্তরের আশেপাশে রাখে। এই পদ্ধতির গ্রিড অনুসন্ধান বলা হয়।

অথবা আপনি কোনও অনুমান দিয়ে শুরু করতে পারেন এবং উদ্দেশ্য ফাংশনের উন্নতিগুলি কোনও মানের চেয়ে কম না হওয়া পর্যন্ত এই অনুমানটিকে কিছু দিক থেকে সংশোধন করতে পারেন। এগুলিকে সাধারণত গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি বলা হয় (যদিও এমন আরও কিছু রয়েছে যা জেনেটিক অ্যালগরিদম এবং সিমুলেটেড অ্যানিলিংয়ের মতো কোন দিকে যেতে কোন গ্রেডিয়েন্ট ব্যবহার করে না)। এই জাতীয় কিছু সমস্যা গ্যারান্টি দেয় যে আপনি সঠিক উত্তরটি দ্রুত খুঁজে পেয়েছেন (চতুর্ভুজ উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়া)। অন্যরা এরকম কোনও গ্যারান্টি দেয় না। আপনি উদ্বিগ্ন হতে পারেন যে আপনি কোনও বিশ্বব্যাপী, সর্বোত্তমের চেয়ে কোনও স্থানীয়কে আটকে রেখেছেন, তাই আপনি প্রাথমিক অনুমানের একটি ব্যাপ্তি চেষ্টা করেন। আপনি খুঁজে পেতে পারেন যে বন্যপ্রাণে বিভিন্ন পরামিতিগুলি আপনাকে উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনের একই মান দেয়, তাই আপনি জানেন না যে কোনটি বেছে নেবে।

অন্তর্দৃষ্টি পেতে একটি দুর্দান্ত উপায় এখানে। ধরুন আপনি একটি সহজ সূচকীয় রিগ্রেশন মডেল যেখানে শুধুমাত্র regressor পথিমধ্যে হয় ছিল:

E [y] = \exp {α}

$\begin{equation} E[y]=\exp\{\alpha\} \end{equation}$

উদ্দেশ্য ফাংশনটি হ'ল

Q_{N} (α) = - \frac{1}{2 N} \sum_{i}^{N} {(y_{i} - \exp {α})}^{2}

$\begin{equation} Q_N(\alpha)=-\frac{1}{2N} \sum_i^N \left( y_i - \exp\{\alpha\} \right)^2 \end{equation}$

এই সাধারণ সমস্যাটি সহ, উভয় পদ্ধতিরই সম্ভব as ডেরিভেটিভ নিয়ে আপনি যে ক্লোজ-ফর্ম সলিউশনটি পান সেটি হ'ল । এছাড়াও আপনি যাচাই করতে পারেন যে এর পরিবর্তে অন্য যে কোনও কিছু আপনাকে উদ্দেশ্যমূলক কার্যের উচ্চতর মান দেয় । আপনার যদি কিছু রেজিস্টার থাকে তবে বিশ্লেষণাত্মক সমাধানটি উইন্ডোটির বাইরে চলে যায়। $\alpha^* = \ln \bar y$ $\ln (\bar y + k)$

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ
সূত্র

আপনি কি শেষ বাক্যটিতে "বিশ্লেষণাত্মক" কে "ক্লোজড ফর্ম" এর সাথে স্পষ্টভাবে সমান করেছেন?

— whuber

2

আমি তখন সমার্থক ভেবেছিলাম: mathworld.wolfram.com/Analytic.html

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

আপনি কি সেই ম্যাথওয়ার্ল্ড পৃষ্ঠার শেষে অসম্পূর্ণ মন্তব্য দেখেছেন? বিষয়টি হ'ল বর্তমান প্রসঙ্গে "বিশ্লেষক" যুক্তিসঙ্গতভাবে বিভিন্ন স্বতন্ত্র উপায়ে বোঝা যায়। এছাড়াও, "বিশ্লেষণাত্মক" এবং "বিশ্লেষক" হুবহু একই জিনিসটি বোঝায় না (ঠিক যেমন "historicতিহাসিক" এবং "historicalতিহাসিক" এর আলাদা অর্থ রয়েছে)।

— হোয়বার

আমি জানি না যে "বিশ্লেষণাত্মক সমাধান", "বিশ্লেষণাত্মক সমাধান" এবং "ক্লোজড ফর্ম" এর মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। MathWorld বিশ্লেষণাত্মক জন্য পৃথক এন্ট্রি নেই এবং এটা এক যে "বদ্ধ ফর্ম" নামে পরিচিত ফাংশন, ধ্রুবক, ইত্যাদি পদ লেখা যেতে পারে হিসাবে একটি সমস্যার কোনো বিশ্লেষণ সমাধান সংজ্ঞায়িত .. মেগাওয়াট বলছেন যে বিশ্লেষণমূলক এবং বিশ্লেষিত রূপগুলো হয় । Historicতিহাসিক এবং historicalতিহাসিকের মধ্যে পার্থক্য বৈধ, তবে এই ক্ষেত্রে এটির কী আছে তা আমি অনুসরণ করি না। আমি যদি ভুল হয় তবে দয়া করে আমাকে সংশোধন করুন।

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

2

অনেক গাণিতিক প্রসঙ্গে "অ্যানালিটিক" হ'ল একটি নির্দিষ্ট শিল্প যা স্থানীয়ভাবে স্থানীয়ভাবে অভিব্যক্তির ধনাত্মক ব্যাসার্ধের সাথে একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে প্রকাশযোগ্য হিসাবে প্রয়োগ হয়, যেখানে "বিশ্লেষণাত্মক" অনেক বেশি মূলত বেসিক অংশগুলিতে ক্ষয় হওয়ার সাথে সম্পর্কিত। যেমন বাবাকপির উদ্ধৃতিগুলি ইঙ্গিত করে, "বদ্ধ ফর্ম" কেবলমাত্র মানগুলির সংমিশ্রণের জন্য সাধারণত গৃহীত পদ্ধতির কিছু প্রসঙ্গের মধ্যে অর্থ অর্জন করে (সাধারণত প্রাথমিক হিসাবে বিবেচিত হয় তবে ট্রান্সেন্ডেন্টাল ফাংশন নয়)।

— হোবার

13

আমি মনে করি যে এই ওয়েবসাইটটি একটি সাধারণ অন্তর্দৃষ্টি সরবরাহ করে, এর একটি অংশ রয়েছে:

একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান (বা বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন) এমন একটি সূত্র যা সীমাবদ্ধ সংখ্যার স্ট্যান্ডার্ড ক্রিয়াকলাপে মূল্যায়ন করা যায়। ... একটি সংখ্যাসূচক সমাধান হ'ল একটি সীমাবদ্ধতা যা একটি সীমাবদ্ধ মানক ক্রিয়াকলাপে মূল্যায়ন করা যায়। বদ্ধ ফর্ম সমাধান এবং সংখ্যাগত সমাধানগুলির মধ্যে একইরকম যে তারা উভয়ই সীমাবদ্ধ সংখ্যার মানক ক্রিয়াকলাপের সাথে মূল্যায়ন করতে পারে। এগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে যে একটি বদ্ধ-ফর্ম সমাধান হুবহু যেখানে সংখ্যাসূচক সমাধানটি কেবল আনুমানিক।

— লুকা বার্টিনেট্টো
সূত্র

2

শুধুমাত্র একটি লিঙ্ক সরবরাহ করার সময়, এটি অবশ্যই সবচেয়ে সহায়ক উত্তর।

— মাইক উইলিয়ামসন

2

লিঙ্কটি থেকে ওয়েনের একটি উদ্ধৃতি অন্তর্ভুক্তি উত্তরটি অবশ্যই যথেষ্ট উন্নত করেছে।

— Glen_b

2

তাছাড়া লুসার লিঙ্কটি এখন মারা গেছে dead

— নর্মসিম

-2

শর্তাবলী বা কঠোরভাবে অর্থ সংজ্ঞা দেয় যে বেদনাদায়ক মুখের সন্ধান করছেন? আমি অন্যথায় কোথাও পাওয়া যাবে বলে শর্তাবলী বিবেচনা করব। ধরা যাক আপনি 8 এর বর্গমূলের বদ্ধ ফর্ম সমাধানটি চেয়েছিলেন। বদ্ধ ফর্ম দ্রবণটি 2 * (2) ^ 1/2 বা দুটির বর্গমূলের দ্বিগুণ। এটি নন-ক্লোজড ফর্ম সমাধান 2.8284 এর বিপরীতে। (২ / এর উইকিপিডিয়া বর্গমূল দেখতে see৯ দশমিক স্থানে দেখতে এটি 1 / 10,000 এর মধ্যে সঠিক) একটিকে গাণিতিক দিক থেকে একেবারে সংজ্ঞায়িত করা হয় অন্যটি হয় না। একটি বদ্ধ ফর্ম সমাধান হুবহু জবাব দেয় এবং বন্ধ ফর্ম নয় এমনটি একটি আনুমানিক, তবে আপনি যেমন চান তেমন একটি বদ্ধ ফর্ম সমাধানের কাছাকাছি একটি নন-ফর্ম সমাধান পেতে পারেন। স্বাক্ষরযুক্ত কাউন্টারটি স্বতঃস্ফূর্ত, তবে আপনার যদি এটি আরও নির্ভুলতার প্রয়োজন হয় তবে কেবল আরও কিছুটা কম্পিউটেশন ছিটিয়ে দিন।

— Cheesepipe
সূত্র

3

এটি "বদ্ধ ফর্ম" শব্দটির একটি অস্বাভাবিক ব্যবহার। আপনি একটি রেফারেন্স দিতে পারেন?

— whuber

1

আমি নিশ্চিত করতে চাই না যে আমি আরও কাজ না করে এ বিষয়ে বিতর্ক জিততে পর্যাপ্ত সমর্থনকারী ডকুমেন্টেশনের স্তর সরবরাহ করতে পারি, তবে এখানে যায় but ক্লোজড ফর্ম এক্সপ্রেশন জন্য উইকিপিডিয়া দেখুন। শেষ দুটি বিভাগে এটি বর্ণনা করে যে কীভাবে বন্ধ ফর্ম সমাধানগুলি প্রয়োজনীয়ভাবে প্রয়োজন হয় না কারণ সংখ্যার গণনা সাধারণত সমাধানে আসতে সফলভাবে ব্যবহৃত হতে পারে এবং নিম্নলিখিত বিভাগে বর্ণিত হয় যে কিছু গাণিতিক প্রোগ্রামগুলি কীভাবে সংখ্যাসূচক মানগুলি থেকে বদ্ধ ফর্ম সমাধান উত্পন্ন করার চেষ্টা করে attempt বন্ধ ফর্ম সমাধানগুলি সুনির্দিষ্ট (স্থানের বাইরে)

— চিজপাইপ

5

উইকিপিডিয়া একটি রেফারেন্স হিসাবে ঠিক আছে। এই ক্ষেত্রে এটি প্রদর্শিত হয় আপনি "বদ্ধ ফর্ম সংখ্যা" দিয়ে "বদ্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশন" সঙ্কুচিত হতে পারেন। তারা একই জিনিস বোঝায় না।

— whuber

-2

বন্ধ-ফর্ম = বন্ধ (ক্রিয়ামূলক) ফর্ম

বন্ধ মানে আরও কিছু ভিতরে যেতে পারে না; তা হল, কোনও বিকল্প => কেবলমাত্র একটি সমাধান => কেবলমাত্র একটি ফাংশন যা ফলাফল এবং ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করতে পারে।

— বিবেক আস্তবংশ
সূত্র

3

এটিও এই শব্দটির অস্বাভাবিক ব্যবহার। আপনি এই প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হতে পারে এর কয়েকটি উদাহরণ প্রদান করতে পারেন? আমি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই অবাক হয়ে থাকি কারণ একসময় প্রায়শই ইন্টিগ্রালগুলি সম্পর্কে ক্লোজড ফর্ম / কোনও বদ্ধ ফর্ম শোনা যায়, যার সত্যই কোনও ফলাফল বা ভবিষ্যদ্বাণী নেই।

— ম্যাট ক্রাউস