দুটি স্বাভাবিক পণ্যের যোগফল ল্যাপ্লেস?

এটা তোলে দৃশ্যত ক্ষেত্রে দেখা যায় যে যদি , তারপর $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

আমি স্বেচ্ছাচারী চতুষ্কোণ ফর্মগুলির কাগজগুলি দেখেছি, যা সর্বদা ভয়ঙ্কর অ-কেন্দ্রীয় চি-স্কোয়ার এক্সপ্রেশনগুলির ফলাফল।

উপরের সাধারণ সম্পর্কটি আমার কাছে মোটেও সুস্পষ্ট বলে মনে হয় না, সুতরাং (যদি এটি সত্য হয়!) উপরের কোনও সাধারণ প্রমাণ কারও কাছে আছে?

— Corone
সূত্র

বিতরণ এবং একটি সাধারণ বীজগণিত মেরুকরণের সনাক্তকরণের মধ্যে সুপরিচিত সম্পর্ক ব্যবহারের পদক্ষেপগুলির একটি প্রাথমিক ক্রম একটি প্রাথমিক এবং স্বজ্ঞাত প্রদর্শনের সরবরাহ করে।

আমি এই পোলারাইজেশন পরিচয়টি এলোমেলো ভেরিয়েবলের পণ্যগুলি সম্পর্কে বিতর্ক করার জন্য এবং তার সাথে গণনার জন্য দরকারী বলে খুঁজে পেয়েছি কারণ এটি তাদের স্কোয়ারের রৈখিক সংমিশ্রণে হ্রাস করে। এটি ম্যাট্রিকের সাথে প্রথমে তির্যক হয়ে কাজ করার মতো। (এখানে একটি পৃষ্ঠের সংযোগের চেয়েও বেশি কিছু রয়েছে।)

একটি ল্যাপ্লেস বিতরণ দুটি এক্সপেনশিয়ালের একটি পার্থক্য (যা স্বজ্ঞাতভাবে কিছুটা বোঝায়, কারণ একটি এক্সফোনেনশিয়াল একটি "অর্ধ-ল্যাপ্লেস" বিতরণ)। (লিঙ্কটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলিতে হেরফেরের মাধ্যমে এটি প্রকাশ করে, তবে সংশ্লেষ হিসাবে পার্থক্যের সংজ্ঞাটি অনুসরণ করে প্রাথমিক ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে এই সম্পর্কটি প্রমাণিত হতে পারে))

একটি ক্ষতিকারক বিতরণ (যা নিজেই একটি বিতরণ) হ'ল একটি (ক এর আকারযুক্ত সংস্করণ) বিতরণ। স্কেল ফ্যাক্টর । দুটি বিতরণের পিডিএফ তুলনা করে এটি সহজেই দেখা যায়। $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

বিতরণগুলি $\chi^2$ আইআইডি সাধারণ বিতরণের (শূন্য অর্থ প্রাপ্ত) বর্গক্ষেত্রের পরিমাণ হিসাবে প্রাকৃতিকভাবে প্রাপ্ত হয়। স্বাধীনতার ডিগ্রি,, যোগফলের মধ্যে সাধারণ বিতরণের সংখ্যা গণনা করে। $2$

বীজগণিত সম্পর্ক

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

চারটি ডিস্ট্রিবিউশনের স্কোয়ারের ক্ষেত্রে প্রদর্শন করে, যার প্রতিটি স্ট্যান্ডার্ড নরমালগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। চারটি লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলি লৈখিকভাবে স্বতন্ত্র কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ (এবং প্রত্যেকে একটি স্বাভাবিক অনুসরণ করে $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
সূত্র

একদম আনন্দদায়ক!

— করোন

আমি কেবল লক্ষ্য করেছি যে মুহূর্ত তৈরির ফাংশনের উপর ভিত্তি করে আর একটি উত্তর stats.stackexchange.com/a/51717/919 এ উপস্থিত হয়েছে : মাঝামাঝি অনুচ্ছেদে "ঘটনাক্রমে" দেখুন (ল্যাপ্লেস বিতরণের আরেকটি নাম "দ্বি-তদন্তকারী" )। এই থ্রেডটি বর্তমান প্রশ্নের সাধারণীকরণের এমজিএফকে উদ্বেগ দেয়।

— হোবার

চমৎকার ডেরাইভেশন, তবে আপনি কীভাবে জানবেন যে দুটি স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ বিতরিত ভেরিয়েবলের পার্থক্যের একটি ল্যাপ্লাসিয়ান বিতরণ রয়েছে?

— হ্যালো গুডবাই

@ হেলো দয়া করে লিঙ্কটি অনুসরণ করুন: এটি একটি উইকিপিডিয়া নিবন্ধে যায় যা সংক্ষিপ্ত প্রদর্শন অন্তর্ভুক্ত করে।

— হোবার

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

φ_{এক্স} (টি) = \frac{1}{1 + + {টি}^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— মাইকেল এম
সূত্র