প্রত্যাশায় সাবস্ক্রিপ্ট স্বরলিপি

পরিমাপ তত্ত্বের কাঠামোর শর্তাধীন প্রত্যাশায় সাবস্ক্রিপ্ট স্বরলিপিটির সঠিক অর্থ কী ? এই সাবস্ক্রিপ্টগুলি শর্তসাপেক্ষ প্রত্যাশার সংজ্ঞাতে উপস্থিত হয় না, তবে আমরা উদাহরণস্বরূপ উইকিপিডিয়াতে দেখতে পাব । (দ্রষ্টব্য যে এটি সর্বদা ক্ষেত্রে ছিল না, কয়েক মাস আগে একই পৃষ্ঠা )। $\mathbb{E}_X[f(X)]$

অর্থ উদাহরণস্বরূপ কেমন হওয়া উচিত সঙ্গে এবং ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— এমিল
সূত্র

সন্দেহ নেই যে কেউ অনানুষ্ঠানিকভাবে আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দিয়ে চুম্বন করবেন, সমস্ত প্রত্যাশাগুলি (/ সম্মানের সাথে প্রত্যাশা) কিছু (সম্ভবত মাল্টিভারিয়েট) এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণের উপর প্রত্যাশা, অনেক ক্ষেত্রে এটা সুস্পষ্ট ( বোঝা বদলে )। অন্যান্য সময়, এটি পার্থক্য করা প্রয়োজন; উদাহরণস্বরূপ মোট বৈকল্পিকতার আইনটি বিবেচনা করুন: ।

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@ গ্লেেন_বি সম্পূর্ণ বৈকল্পিকতার আইনে নির্দিষ্ট করে বলা কি সত্যিই প্রয়োজনীয়? হিসাবে , কিছু জন্য , না এটা স্পষ্ট যে শেষ হয়ে গেছে ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— থমাস আহলে

@ থমাসএহলে আপনি বেশ সঠিক - "প্রয়োজনীয়" উদাহরণটির জন্য খুব শক্তিশালী একটি শব্দ ছিল। কঠোরভাবে বলার সময় এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত, এটি প্রায়শই পাঠকদের পক্ষে কাজ করার জন্য অবহেলিত হয়ে পড়ে বিভ্রান্তির একটি বিষয়, তাই এটির চেয়ে স্পষ্ট করে বলা প্রয়োজন, বরং প্রয়োজনের চেয়ে সাধারণ। প্রত্যাশাগুলির সাথে জড়িত কিছু প্রকাশ রয়েছে যেখানে উল্লেখ না করে আপনি নিশ্চিত হতে পারবেন না, তবে এটি সত্যই তাদের মধ্যে একটি নয়

— Glen_b

একটি অভিব্যায় যেখানে একাধিক এলোমেলো ভেরিয়েবল জড়িত রয়েছে, কেবলমাত্র প্রতীকটি এলোমেলো ভেরিয়েবলটি প্রত্যাশিত মান "গৃহীত" যা সম্পর্কিত সে বিষয়ে স্পষ্ট করে না । উদাহরণ স্বরূপ $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ বা

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

না । যখন অনেক এলোমেলো ভেরিয়েবল জড়িত থাকে, এবং প্রতীকটিতে কোনও সাবস্ক্রিপ্ট না থাকে , তাদের যৌথ বন্টনের ক্ষেত্রে প্রত্যাশিত মানটি নেওয়া হয়: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

যখন সাবস্ক্রিপ্ট উপস্থিত থাকে ... কিছু ক্ষেত্রে এটি আমাদের জানায় যে আমাদের কোন পরিবর্তনশীলের শর্ত করা উচিত । সুতরাং

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... তবে অন্যান্য ক্ষেত্রে এটি আমাদেরকে "গড়" জন্য কোন ঘনত্ব ব্যবহার করতে হবে তা বলে দেয়

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

বরং বিভ্রান্তিকর আমি বলব, তবে কে বলেছিলেন যে বৈজ্ঞানিক স্বরলিপি পুরোপুরি অস্পষ্টতা বা একাধিক ব্যবহার মুক্ত? আপনার দেখতে হবে যে প্রতিটি লেখক এই জাতীয় চিহ্নগুলির ব্যবহারকে কীভাবে সংজ্ঞায়িত করে।

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

আমার দুটি প্রশ্ন আছে। 1) নিশ্চিত না যে আমি এটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি, যদি আমি এক্স বা ওয়াই উভয়ই স্থির করে রেখেছি, তবে আমি প্রথম দুটি সমীকরণগুলির মধ্যে একটি হিসাবে প্রত্যাশাটি ব্যাখ্যা করতে পারি? 2) আপনি কি EQ 4 এবং EQ 5 এর জন্য উদাহরণ দিতে পারেন? তাদের ব্যাখ্যার জন্য আমার খুব কষ্ট হয়েছে এবং আমি মনে করি এর নিখুঁত উদাহরণগুলি সহায়তা করবে। ধন্যবাদ!

— সিলিং বিড়াল

@ceiling বিড়াল 1) সঠিক কারণ মূলত আপনি কি হয় না আছে আর দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল। একইভাবে থেকে ।

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ চতুর বিড়াল 2) -EQ5: । একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ঠিক আছে (একটি উপযুক্ত সমর্থনের জন্য)। তারপরে সংক্ষিপ্ত হাতের স্বরলিপিটির নির্দিষ্ট অর্থ ব্যবহার করে, যেখানে এর ঘনত্ব (যা কিছু হোক) স্পষ্টত একীভূত নয় এবং এটি অক্ষত থাকবে But তবে ফলাফল আপনি জিতে পাবেন ' টি একটি সংখ্যা হবেন না (আমার আগের মন্তব্যের মতো) তবে একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল ( একটি ফাংশন ), যেহেতু এখানে এখানে স্থির নয় , কেবল সংহত নয়

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— not

@ এসিলিং বিড়াল আমার আগের দুটি মন্তব্যে উভয় ক্ষেত্রেই গাণিতিক গণনার "মেকানিক্স" একই রকম হবে। শেষ ফলাফলগুলির বিভিন্ন ব্যাখ্যা রয়েছে।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

@ এসিলিং বিড়াল 2) -ইকিউ 4: একই র্যান্ডম ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন । এর প্রত্যাশিত মানটি হ'ল (সংক্ষিপ্ত চিত্রের জন্য অন্য অর্থ ব্যবহার করে) । মনে রাখবেন যে এখানে 's এবং এর সরাসরি ইন্টিগ্রান্ডে উপস্থিত হবে না - এগুলি চিহ্নটিতে "ঘনীভূত" রয়েছে ।

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস