"কার্নেলের ঘনত্বের প্রাক্কলন" কীসের একটি রূপান্তর?

Question

আমি কার্নেলের ঘনত্বের অনুমান সম্পর্কে আরও ভাল বোঝার চেষ্টা করছি।

উইকিপিডিয়া থেকে সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে: https://en.wikedia.org/wiki/Kernel_density_estimission#Difinition

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

আসুন একটি আয়তক্ষেত্রাকারী ফাংশন হিসাবে ধরুন যা এবং এবং মধ্যে থাকে তবে দেয় এবং (উইন্ডোর আকার) 1 হবে।1 এক্স - 0.5 0.5 0 $K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

আমি বুঝতে পারি যে ঘনত্ব দুটি ফাংশনগুলির একটি রূপান্তর, তবে আমি নিশ্চিত নই যে এই দুটি ফাংশন কীভাবে সংজ্ঞায়িত করতে হয় তা আমি জানি। তাদের মধ্যে একটি (সম্ভবত) ডাটাগুলির একটি ফাংশন হওয়া উচিত যা আর-এর প্রতিটি পয়েন্টের জন্য আমাদের জানায় যে সেই অবস্থানটিতে আমাদের বেশিরভাগ ডেটা পয়েন্ট রয়েছে (বেশিরভাগ )। এবং অন্যান্য ফাংশনটি সম্ভবত উইন্ডো আকারের সাথে সংযুক্ত কার্নেল ফাংশনটির কিছু পরিবর্তন হওয়া উচিত। তবে এটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।$0$

কোন পরামর্শ?

বেলো হ'ল একটি উদাহরণ আর কোড যা (আমার সন্দেহ হয়) আমি উপরে বর্ণিত সেটিংসের প্রতিলিপি তৈরি করেছি (দুটি গাউসিয়ান এবং এর মিশ্রণ সহ ), যার উপর আমি একটি "প্রমাণ" দেখতে আশা করি যেগুলি ফাংশনগুলি সংশ্লেষিত হবে যা আমরা সন্দেহ করি ।$n=100$

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

Comments

নীচে আপনার কম্বল কিছু মোটামুটি অন্তর্দৃষ্টি দেয়। থেকে পর্যন্ত প্রতিটি মান ভাবুন সম্পর্কিত ওজন সাথে একটি স্পাইক । এখন আপনার কার্নেলের আকৃতি এবং প্রস্থ ব্যবহার করে প্রতিটি স্পাইকে ত্বকে স্নিগ্ধ করুন, যাতে স্পাইকটি একই আকার এবং প্রস্থে রূপান্তরিত হয়, নীচের অঞ্চলটি মতো উচ্চতা সহ হয় । ফলাফলগুলি যুক্ত করুন এবং আপনার কাছে কার্নেলের ঘনত্বের প্রাক্কলন রয়েছে। i = 1 এন 1 / এন 1 /$x_i$$i = 1$$n$$1/n$$1/n$

— নিক কক্স

হাই নিক, মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি ইতিমধ্যে যে স্বজ্ঞাততা পেয়েছি তা এ পর্যন্ত, এটি প্রত্যক্ষভাবে রূপান্তরিত রূপটি রূপান্তরিত করা যা আমি দেখতে আগ্রহী ছিলাম :) (আমি এখন হুইবারের উত্তরটি দেখতে আগ্রহী!)

— তাল গালিলি

Answer 1

ডেটা যে কোনও ব্যাচের সাথে সম্পর্কিত এটি হ'ল এর "অভিজ্ঞতামূলক ঘনত্ব ফাংশন"$X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

এখানে, হ'ল "জেনারেলাইজড ফাংশন"। এই নাম সত্ত্বেও, এটি মোটেও কার্যকরী নয়: এটি একটি নতুন গাণিতিক অবজেক্ট যা কেবল ইন্টিগ্রালের মধ্যে ব্যবহার করা যেতে পারে। তার সংজ্ঞা সম্পত্তি কোন ফাংশন জন্য যে একটি আশেপাশে একটানা যে কম্প্যাক্ট সমর্থন ,$\delta$$g$$0$

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

(জন্য নাম "পারমাণবিক" বা "নির্দেশ" পরিমাপ এবং "অন্তর্ভুক্ত ডিরাক ব-দ্বীপ ফাংশন ।" নিম্নলিখিত হিসাব এই ধারণা ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করা বাড়ানো হয় ছ যা শুধুমাত্র এক দিক থেকে ক্রমাগত হয়।)$\delta$$g$

এই চরিত্রায়ন justifying $f_X$ পর্যবেক্ষণ করে

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

$k(x) = K_h(-x)$$K_h(x)$

Comments

দুটি মাত্রার পরিস্থিতি ব্যাখ্যা করা হয়েছে (আরও উচ্চারণের শর্তে) এবং জিআইএস সাইটে gis.stackexchange.com /Qtions/14374/ … এ চিত্রিত হয়েছে ।

— শুক্রবার

প্রিয় ভুবার, আমি সবেমাত্র পেরেছি এবং আপনার উত্তরটি আনন্দের সাথে পড়লাম! ব্যাখ্যা এবং বিশদগুলির জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, আপনার উত্তরগুলি (এটি এবং আপনার সাধারণভাবে অন্যান্য) সত্যই অনুপ্রেরণামূলক। ইতি, তাল

— তাল গালিলি

$\delta$$g,$$x_i$$g(x_i).$

@ শুভ ধন্যবাদ জেনারেলাইজড ফাংশন The বাক্যটি মোটেই কোনও ফাংশন নয়: এটি একটি নতুন গাণিতিক অবজেক্ট যা কেবলমাত্র ইন্টিগ্রালের মধ্যে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি আরও পরিষ্কার করা। সর্বদা হিসাবে পয়েন্ট। ;)

— জান ভায়েনার

@ জন আপনার সহায়তার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ: আমি এই উত্তরটি এই ধারণার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করেছি।

— হোবার