পারস্পরিক সম্পর্ক কি তথ্যের স্থিরতা ধরে নেয়?

আন্তঃ-বাজার বিশ্লেষণ হ'ল বিভিন্ন বাজারের মধ্যে সম্পর্ক সন্ধানের মাধ্যমে বাজারের আচরণের মডেলিংয়ের একটি পদ্ধতি। প্রায়শই, দুটি বাজারের মধ্যে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করা হয়, এস এন্ড পি 500 এবং 30 বছরের মার্কিন ট্রেজারি বলে। এই গণনাগুলি প্রায়শই দামের তথ্যের ভিত্তিতে না হয়, যা প্রত্যেকের কাছে স্পষ্ট যে এটি স্থিতিকাল সিরিজের সংজ্ঞা অনুসারে খাপ খায় না।

সম্ভাব্য সমাধানগুলি একপাশে (পরিবর্তে রিটার্ন ব্যবহার করে), পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা যাঁর ডেটা অ-নিশ্চল এমনকি বৈধ পরিসংখ্যানগত গণনাও?

আপনি কি বলবেন যে এই জাতীয় সম্পর্কের গণনা কিছুটা অবিশ্বাস্য, বা কেবল সরল আজেবাজে?

correlation stationarity

— Milktrader
সূত্র

"বৈধ পরিসংখ্যান গণনা" বলতে কী বোঝায় আপনার কোনও কিছুর বৈধ পরিসংখ্যান (অনুমান) গণনা বলা উচিত। এখানে কিছু গুরুত্বপূর্ণ। সম্পর্কের দুটি সেট এর মধ্যে লিনিয়ার সম্পর্কের একটি বৈধ গণনা। আমি দেখতে পাচ্ছি না কেন আপনার কাছে স্ট্যাটারিটির দরকার, আপনার অর্থ অটো-পারস্পরিক সম্পর্ক?

— রবিন গিরার্ড

একটি নতুন সাইট রয়েছে যা আপনার প্রশ্নের জন্য আরও উপযুক্ত হতে পারে: কোয়ান্ট.স্ট্যাকেক্সচেঞ্জ ডটকম । এখন আপনি ব্যাখ্যা সহ স্পষ্টত বিভ্রান্তিকর গণনা করছেন।

— এমপিটিকাস

@ এমপিক্টাস, পরিমাণের সম্প্রদায়টি রিটার্নের বনাম দামগুলি ব্যবহার করে স্থির হয়েছে কারণ আয়গুলির স্থিতাবস্থা এবং দামের অ-স্থিতাবস্থা রয়েছে। আমি কেন এমন হতে হবে তার একটি স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা ছাড়াও আরও কিছু জিজ্ঞাসা করছি।

— মিল্কট্রেডার

@ আরবিন, এমন অনেকগুলি বিষয় রয়েছে যা আপনার কাছে একটি পরিসংখ্যান বিশ্লেষণ প্রশ্নবিদ্ধ করতে পারে। নমুনা আকার মনে আসে, যেমন হেরফের ডেটা হিসাবে আরও স্পষ্ট জিনিস। কোনও তথ্যের অ-স্থিতিস্থাপকতা প্রশ্নবিদ্ধভাবে কোনও সম্পর্ক সম্পর্কিত গণনা করে?

— মিল্কট্রেডার

হিসাব নয়, পারস্পরিক সম্পর্ক বেশি না হলে হয়ত ব্যাখ্যাটি। যদি এটি উচ্চ হয় তবে এর অর্থ হ'ল উচ্চতর সম্পর্ক (যেমন উচ্চতর রৈখিক সম্পর্ক), দুটি নন-স্টেশন টাইম সিরিজ বলে এবং সম্ভাব্য উচ্চতর সম্পর্কযুক্ত হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ যখন ।

(X_{t})

$(X_t)$

(Y_{t})

$(Y_t)$

X_{t} = Y_{t}

$X_t=Y_t$

— রবিন গিরিড

উত্তর:

পারস্পরিক সম্পর্ক রৈখিক সম্পর্কের পরিমাপ করে। অনানুষ্ঠানিক প্রসঙ্গে সম্পর্কের অর্থ স্থিতিশীল কিছু। যখন আমরা স্থিতিশীল ভেরিয়েবলের জন্য নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করি এবং উপলভ্য ডাটা পয়েন্টগুলির সংখ্যা বৃদ্ধি করি তখন এই নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কটি সত্য পারস্পরিক সম্পর্ককে প্রবণ করে।

এটি প্রদর্শিত হতে পারে যে দামগুলির জন্য, যা সাধারণত এলোমেলো পদচারণা হয়, নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কটি এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে ঝোঁক করে। এর অর্থ হ'ল আমাদের কাছে যত পরিমাণ ডেটা থাকুক না কেন, ফলাফল সর্বদা আলাদা be

দ্রষ্টব্য আমি গণিত ছাড়াই গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি প্রকাশ করার চেষ্টা করেছি। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে ব্যাখ্যাটি খুব স্পষ্ট: স্থির প্রক্রিয়াগুলির নমুনা মুহুর্তগুলি সম্ভাব্যতায় স্থির হয়ে যায়। এলোমেলো পদক্ষেপের নমুনা মুহুর্তগুলি ব্রাউনিয়ান গতির ইন্টিগ্রালগুলিতে রূপান্তর করে যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যেহেতু সম্পর্কটি সাধারণত একটি সংখ্যা হিসাবে চিহ্নিত হয় এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল নয়, তাই স্থিতিশীল ভেরিয়েবলগুলির জন্য পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা না করার কারণটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে।

আপডেট যেহেতু আমরা দুটি ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের বিষয়ে আগ্রহী তারা প্রথমে ধরে নিই যে তারা স্টেশন প্রক্রিয়া । ইঙ্গিত দেয় যে এবং উপর নির্ভর করে না । সুতরাং পারস্পরিক সম্পর্ক $Z_t=(X_t,Y_t)$ $EZ_t$ $cov(Z_t,Z_{t-h})$ $t$

c o r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{c o v (X_{t}, Y_{t})}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}}

$corr(X_t,Y_t)=\frac{cov(X_t,Y_t)}{\sqrt{DX_tDY_t}}$

এছাড়াও উপর নির্ভর করে না , যেহেতু সূত্রে সমস্ত পরিমাণ ম্যাট্রিক্স থেকে আসে , যা উপর নির্ভর করে না । সুতরাং নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা $t$ $cov(Z_t)$ $t$

\hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X}) (Y_{t} - \bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} (X_{t} - \bar{X})^{2} \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - \bar{Y})^{2}}}

$\hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})(Y_t-\bar{Y})}{\sqrt{\frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^T(X_t-\bar{X})^2\sum_{t=1}^T(Y_t-\bar{Y})^2}}$ sense বোঝায়, যেহেতু আমাদের যুক্তিসঙ্গত আশা থাকতে পারে যে নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক অনুমান করবে । দেখা যাচ্ছে যে এই আশাটি ভিত্তিহীন নয়, কারণ স্থিতিশীল প্রক্রিয়াগুলির জন্য আমাদের কিছু শর্ত পূরণ করে যে , সম্ভাবনা হিসাবে । তদুপরি , সুতরাং আমরা সম্পর্কে অনুমানগুলি পরীক্ষা করতে পারি ।

ρ = c o r r (X_{t}, Y_{t})

$\rho=corr(X_t,Y_t)$

\hat{ρ} \to ρ

$\hat{\rho}\to\rho$

T \to \infty

$T\to\infty$

\sqrt{T} (\hat{ρ} - ρ) \to N (0, σ_{ρ}^{2})

$\sqrt{T}(\hat{\rho}-\rho)\to N(0,\sigma_{\rho}^2)$

ρ

$\rho$

এখন ধরুন স্থির নয়। তার পরে কর উপর নির্ভর করতে পারে । সুতরাং যখন আমরা আকারের একটি নমুনা পর্যবেক্ষণ করি তখন আমাদের সম্ভাব্য বিভিন্ন পারস্পরিক সম্পর্ক অনুমান করতে হবে । এটি অবশ্যই অপরিবর্তনীয়, সুতরাং সর্বোত্তম ক্ষেত্রে আমরা কেবল এর কিছু কার্যকারিতা যেমন গড় বা বৈকল্পিক অনুমান করতে পারি । তবে ফলাফলটির বুদ্ধিমান ব্যাখ্যা নাও থাকতে পারে। $Z_t$ $corr(X_t,Y_t)$ $t$ $T$ $T$ $\rho_t$ $\rho_t$

এখন আসুন আমরা পরীক্ষা করা যাক সম্ভবত সবচেয়ে অধ্যয়নরত অ-স্টেশনারি প্রক্রিয়া এলোমেলো পদক্ষেপের পারস্পরিক সম্পর্কের সাথে কী ঘটে। আমরা একটি এলোমেলো হাঁটা যদি , যেখানে একটি স্থিতিশীল প্রক্রিয়া। সরলতার জন্য ধরে নিন যে । তারপর $Z_t=(X_t,Y_t)$ $Z_t=\sum_{s=1}^t(U_t,V_t)$ $C_t=(U_t,V_t)$ $EC_t=0$

\begin{aligned} c o r r (X_{t} Y_{t}) = \frac{E X_{t} Y_{t}}{\sqrt{D X_{t} D Y_{t}}} = \frac{E \sum_{s = 1}^{t} U_{t} \sum_{s = 1}^{t} V_{t}}{\sqrt{D \sum_{s = 1}^{t} U_{t} D \sum_{s = 1}^{t} V_{t}}} \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_tY_t)=\frac{EX_tY_t}{\sqrt{DX_tDY_t}}=\frac{E\sum_{s=1}^tU_t\sum_{s=1}^tV_t}{\sqrt{D\sum_{s=1}^tU_tD\sum_{s=1}^tV_t}} \end{align}$

বিষয়গুলি আরও সরল করার জন্য, ধরে নিন যে একটি সাদা শব্দ। এই উপায়ে সব সম্পর্কযুক্তরূপে যে জন্য শূন্য । দ্রষ্টব্য যে এটি কর শূন্যে সীমাবদ্ধ করে না । $C_t=(U_t,V_t)$ $E(C_tC_{t+h})$ $h>0$ $corr(U_t,V_t)$

তারপরে

\begin{aligned} c o r r (X_{t}, Y_{t}) = \frac{t E U_{t} V_{t}}{\sqrt{t^{2} D U_{t} D V_{t}}} = c o r r (U_{0}, V_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} corr(X_t,Y_t)=\frac{tEU_tV_t}{\sqrt{t^2DU_tDV_t}}=corr(U_0,V_0). \end{align}$

এতদূর ভাল, প্রক্রিয়া স্থির না হলেও পারস্পরিক সম্পর্কটি বোঝা যায়, যদিও আমাদের একই বিধিনিষেধক অনুমান করতে হয়েছিল।

নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের কী ঘটে তা দেখতে এখন আমাদের এলোমেলো পদচারণা সম্পর্কে নিম্নলিখিত বিষয়গুলি ব্যবহার করতে হবে, যাকে বলা হয় কার্যকরী কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য:

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{T}} Z_{[T s]} = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{t = 1}^{[T s]} C_{t} \to (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{T}}Z_{[Ts]}=\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^{[Ts]}C_t\to (cov(C_0))^{-1/2}W_s, \end{align}$ ,, যেখানে এবং বিভাজনযুক্ত ব্রাউনিয়ান গতি (দ্বি-মাত্রিক উইনার প্রক্রিয়া)। সুবিধার জন্য সংজ্ঞাটি ।

s \in [0, 1]

$s\in[0,1]$

W_{s} = (W_{1 s}, W_{2 s})

$W_s=(W_{1s},W_{2s})$

M_{s} = (M_{1 s}, M_{2 s}) = (c o v (C_{0}))^{- 1 / 2} W_{s}

$M_s=(M_{1s},M_{2s})=(cov(C_0))^{-1/2}W_s$

আবার সরলতার জন্য আসুন আমরা নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করি

\begin{aligned} \hat{ρ} = \frac{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t}}{\sqrt{\frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}=\frac{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_{t}Y_t}{\sqrt{\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TY_t^2}} \end{align}$

আসুন রূপগুলি দিয়ে শুরু করি। আমাদের আছে

\begin{aligned} E \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \frac{1}{T} E \sum_{t = 1}^{T} {(\sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} t σ_{U}^{2} = σ_{U} \frac{T + 1}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} E\frac{1}{T}\sum_{t=1}^TX_t^2=\frac{1}{T}E\sum_{t=1}^T\left(\sum_{s=1}^tU_t\right)^2=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tt\sigma_U^2=\sigma_U\frac{T+1}{2}. \end{align}$

এটি বাড়ার সাথে সাথে অনন্তের দিকে যায় , তাই আমরা প্রথম সমস্যাটিকে আঘাত করি, নমুনার বৈকল্পিক রূপান্তরিত হয় না। অন্যদিকে ক্রিয়াকলাপের কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের সাথে একত্রে অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিং উপপাদ্য আমাদের দেয় $T$

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t}^{2} = \sum_{t = 1}^{T} \frac{1}{T} {(\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{s = 1}^{t} U_{t})}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_t^2=\sum_{t=1}^T\frac{1}{T}\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{s=1}^tU_t\right)^2\to \int_0^1M_{1s}^2ds \end{align}$ যেখানে বিতরণ রূপান্তরিত হয়, যেমন ।

T \to \infty

$T\to \infty$

একইভাবে আমরা পেতে

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} Y_{t}^{2} \to \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TY_t^2\to \int_0^1M_{2s}^2ds \end{align}$ এবং

\begin{aligned} \frac{1}{T^{2}} \sum_{t = 1}^{T} X_{t} Y_{t} \to \int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{T^2}\sum_{t=1}^TX_tY_t\to \int_0^1M_{1s}M_{2s}ds \end{align}$

সুতরাং অবশেষে আমাদের এলোমেলো হাঁটার নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য

\begin{aligned} \hat{ρ} \to \frac{\int_{0}^{1} M_{1 s} M_{2 s} d s}{\sqrt{\int_{0}^{1} M_{1 s}^{2} d s \int_{0}^{1} M_{2 s}^{2} d s}} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\rho}\to \frac{\int_0^1M_{1s}M_{2s}ds}{\sqrt{\int_0^1M_{1s}^2ds\int_0^1M_{2s}^2ds}} \end{align}$ distribution বিতরণ হিসাবে ।

T \to \infty

$T\to \infty$

সুতরাং যদিও পারস্পরিক সম্পর্ক ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক এটির দিকে রূপান্তর করে না, যেমন স্থায়ী প্রক্রিয়া ক্ষেত্রে। পরিবর্তে এটি একটি নির্দিষ্ট এলোমেলো পরিবর্তনশীল রূপান্তর করে।

— mpiktas
সূত্র

গাণিতিক দৃষ্টিকোণের ব্যাখ্যাটি আমি যা খুঁজছিলাম। এটি আমাকে চিন্তা ও আরও অন্বেষণ করার জন্য কিছু দেয়। ধন্যবাদ।

— মিল্কট্রেডার

এই প্রতিক্রিয়াটি মূল প্রশ্নের পক্ষপাতিত বলে মনে হচ্ছে: আপনি কি কেবল বলছেন না যে হ্যাঁ, পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা স্থিতিশীল প্রক্রিয়াগুলির জন্য অর্থবোধ করে?

— হোবার

@ হুবুহু, আমি মন্তব্যে মাথায় রেখে প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছিলাম, তবে আমি আবার প্রশ্নটি পুনরায় পাঠ করেছি এবং যতদূর আমি বুঝতে পারি যে ওপি স্থিতিশীল তথ্যের জন্য পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে। নিশ্চল প্রক্রিয়াগুলির জন্য পারস্পরিক সম্পর্কের গণনাটি বোধগম্য হয়, সমস্ত ম্যাক্রো অর্থনৈতিক বিশ্লেষণ (ভিএআর, ভিইসিএম) এর উপর নির্ভর করে।

— এমপিটিকাস

আমি সাড়া দিয়ে আমার প্রশ্নটি পরিষ্কার করার চেষ্টা করব।

— whuber

@ যেহেতু আমার উত্তর থেকে দূরে সরিয়ে নেওয়া হচ্ছে এটি হ'ল নন-স্টেশনারি তথ্যের উপর ভিত্তি করে একটি সম্পর্ক একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফলন দেয় যা কার্যকর হতে পারে বা নাও পারে। নিশ্চল তথ্যের উপর ভিত্তি করে সম্পর্কিত সম্পর্ক ধ্রুবকে রূপান্তরিত করে। এটি ব্যাখ্যা করতে পারে যে কেন ব্যবসায়ীরা "এক্স-ডে রোলিং পারস্পরিক সম্পর্ক" প্রতি আকৃষ্ট হন কারণ সম্পর্কের সাথে সম্পর্কযুক্ত আচরণটি ক্ষণস্থায়ী এবং উদ্দীপক হয়। "এক্স-ডে রোলিং সম্পর্ক" বৈধ বা কার্যকর কিনা তা অন্য প্রশ্নের জন্য।

— মিল্কট্রেডার

... পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা কি যার ডেটা স্থির নয় এমনকি বৈধ পরিসংখ্যানের গণনা?

যাক একটি বিযুক্ত র্যান্ডম হাঁটার হও। একটি ধনাত্মক সংখ্যা বাছুন । প্রসেস সংজ্ঞায়িত করুন এবং দ্বারা , যদি , এবং অন্যথায় ; এবং । অন্য কথায়, অভিন্ন আরম্ভ আউট কিন্তু প্রত্যেক বার উপরে রি , এটি প্রতীক (অন্যথায় এমুলেট পরিবর্তন সর্বথা)। $W$ $h$ $P$ $V$ $P(0) = 1$ $P(t+1) = -P(t)$ $V(t) > h$ $P(t+1) = P(t)$ $V(t) = P(t)W(t)$ $V$ $W$ $V$ $h$ $W$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

(এই চিত্রটিতে ( ) নীল এবং লাল, সাইন ইন চারটি স্যুইচ রয়েছে)) $h=5$ $W$ $V$

বাস্তবে, স্বল্প সময়ের মধ্যে সাথে সাথে নিখুঁতভাবে সম্পর্কযুক্ত বা এর সাথে পুরোপুরি বিরোধী হতে থাকে ; তবে এর মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করার জন্য একটি পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশন ব্যবহার করে এবং হবে না দরকারী (ক শব্দ সম্ভবত যথাযোগ্যভাবে চেয়ে "অবিশ্বস্ত" বা "আজেবাজে কথা" সমস্যা ধারন করে)। $V$ $W$ $V$ $W$

অঙ্কটি তৈরি করতে গণিতের কোড:

With[{h=5},
pv[{p_, v_}, w_] := With[{q=If[v > h, -p, p]}, {q, q w}];
w = Accumulate[RandomInteger[{-1,1}, 25 h^2]];
{p,v} = FoldList[pv, {1,0}, w] // Transpose;
ListPlot[{w,v}, Joined->True]]

— whuber
সূত্র

এটি ভাল যে আপনার উত্তরটি এটি নির্দেশ করে তবে আমি এই প্রক্রিয়াটি পরস্পর সম্পর্কিত বলে দেবো না, আমি বলব তারা নির্ভরশীল। এই বিষয়টি। পারস্পরিক সম্পর্কের গণনা মূল্যবান এবং এখানে এটি "নো পারস্পরিক সম্পর্ক" বলবে এবং আমরা সকলেই জানি এটির অর্থ "নির্ভরতা নেই" does

— রবিন গিরার্ড

@ আরবিন এটি একটি ভাল বিষয়, তবে আমি এই উদাহরণটি বিশেষভাবে তৈরি করেছি যাতে সম্ভাব্য দীর্ঘ সময় ধরে এই দুটি প্রক্রিয়া পুরোপুরি সম্পর্কযুক্ত হয়। ইস্যুটি নির্ভরতা বনাম পারস্পরিক সম্পর্কগুলির মধ্যে নয় তবে সহজাতভাবে একটি সূক্ষ্ম ঘটনার সাথে সম্পর্কিত: যে প্রক্রিয়াগুলির মধ্যে সম্পর্ক এলোমেলো সময়কালে পরিবর্তিত হয়। সংক্ষেপে, বাস্তব বাজারে ঠিক কী ঘটতে পারে তা হ'ল (বা কমপক্ষে আমাদের চিন্তিত হওয়া উচিত যে এটি ঘটতে পারে!)।

— whuber

@ হ্যাঁ হ্যাব, এবং এটি একটি খুব ভাল উদাহরণ যা দেখায় যে বৃহত্তর টেম্পোরাল স্কেল সম্পর্কে এমন প্রক্রিয়াগুলি রয়েছে যেগুলি সম্ভাব্য দীর্ঘ সময়ের জন্য খুব উচ্চ সম্পর্কযুক্ত এবং এখনও একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত নয় (তবে অত্যন্ত নির্ভরশীল)।

— রবিন গিরার্ড

@ আরবিন গিরার্ড, আমি মনে করি এখানে মূল কীটি হ'ল নন-স্টেশনারি প্রক্রিয়াগুলির জন্য তাত্ত্বিক পারস্পরিক সম্পর্ক সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়, যখন স্থিতিশীল প্রক্রিয়াগুলির জন্য তাত্ত্বিক সম্পর্ক একই থাকে। সুতরাং নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক যা মূলত একটি সংখ্যা, এটি অ-স্থায়ী প্রক্রিয়াগুলির ক্ষেত্রে সত্য পারস্পরিক সম্পর্কের প্রকরণকে ধরা সম্ভব নয়।

— এমপিটকাস