বুটস্ট্র্যাপ নমুনার নমুনার গড়ের বৈচিত্র্য

9

দিন $X_{1},...,X_{n}$ স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণ (কোনও সম্পর্ক নেই) হতে হবে। দিন $X_{1}^{*},...,X_{n}^{*}$ বুটস্ট্র্যাপের নমুনা (এমিরিকাল সিডিএফের একটি নমুনা) বোঝান এবং আসুন $\bar{X}_{n}^{*}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*}$ । অনুসন্ধান $E(\bar{X}_{n}^{*})$ এবং $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})$ ।

আমার এখন পর্যন্ত যা আছে তা হ'ল $X_{i}^{*}$ হয় $X_{1},...,X_{n}$ সম্ভাবনা প্রতিটি $\frac{1}{n}$ সুতরাং

E (X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} E (X_{1}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(X_{i}^{*})=\frac{1}{n}E(X_{1})+...+\frac{1}{n}E(X_{n})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ এবং

E (X_{i}^{* 2}) = \frac{1}{n} E (X_{1}^{2}) + . . . + \frac{1}{n} E (X_{n}^{2}) = \frac{n (μ^{2} + σ^{2})}{n} = μ^{2} + σ^{2},

$E(X_{i}^{*2})=\frac{1}{n}E(X_{1}^{2})+...+\frac{1}{n}E(X_{n}^{2})=\frac{n(\mu^{2}+\sigma^{2})}{n}=\mu^{2}+\sigma^{2}\>,$ যা দেয়

V a r (X_{i}^{*}) = E (X_{i}^{* 2}) - (E (X_{i}^{*}))^{2} = μ^{2} + σ^{2} - μ^{2} = σ^{2} .

$\mathrm{Var}(X_{i}^{*})=E(X_{i}^{*2})-(E(X_{i}^{*}))^{2}=\mu^{2}+\sigma^{2}-\mu^{2}=\sigma^{2} \>.$

তারপর,

E ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{*}) = \frac{n μ}{n} = μ

$E(\bar{X}_{n}^{*})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{*})=\frac{n\mu}{n}=\mu$ এবং

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = V a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{*}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r (X_{i}^{*})

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\mathrm{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{*})=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(X_{i}^{*})$ যেহেতু

X_{i}^{*}

$X_{i}^{*}$ এর স্বাধীনতা আছে। এই দেয়

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = \frac{n σ^{2}}{n^{2}} = \frac{σ^{2}}{n}

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{n\sigma^{2}}{n^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n}$

তবে আমি যখন শর্ত দিয়ে থাকি তখন একই উত্তর পাই না $X_{1},\ldots,X_{n}$ এবং শর্তসাপেক্ষ বৈকল্পের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করুন:

V a r ({\bar{X}}_{n}^{*}) = E (V a r ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, . . ., X_{n})) + V a r (E ({\bar{X}}_{n}^{*} | X_{1}, \dots, X_{n})) .

$\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=E(\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},...,X_{n}))+\mathrm{Var}(E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})) \>.$

$E(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\bar{X}_{n}$ এবং $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*}|X_{1},\ldots,X_{n})=\frac{1}{n^{2}}(\sum X_{i}^{2}-n\bar{X}_{n}^{2})$ সুতরাং উপরের সূত্রে এগুলি প্লাগ করে কিছু বীজগণিতের পরে) $\mathrm{Var}(\bar{X}_{n}^{*})=\frac{(2n-1)\sigma^{2}}{n^{2}}$ ।

আমি কি এখানে কিছু ভুল করছি? আমার অনুভূতি হ'ল আমি শর্তযুক্ত বৈকল্পিক সূত্রটি সঠিকভাবে ব্যবহার করছি না তবে আমি নিশ্চিত নই। কোন সাহায্য প্রশংসা করা হবে।

— rrruss
সূত্র

হতে পারে আপনার ভি (ই (এক্স | এক্স 1..Xn)) সঠিকভাবে গণনা করা হয়নি। উত্তরটি একই হওয়া উচিত।

আপনি সম্ভবত সঠিক - তবে এই উত্তরটি ভয়াবহ তথ্যবহুল বলে মনে হচ্ছে না। সম্ভবত আপনি চিহ্নিত করতে পারেন কোন অংশটি সঠিক নয়?

— শুক্র

5

সঠিক উত্তরটি হ'ল $\frac{n-1}{n^2}S^2$ । সমাধান # 4 হয় এখানে

— গ্রেগ
সূত্র

4

এটি একটি দেরিতে উত্তর হতে পারে, তবে আপনার গণনায় যা ভুল তা হল নীচে: আপনি ধরে নিয়েছেন যে নিঃশর্তভাবে আপনার বুটস্ট্র্যাপের নমুনা iid। এটি মিথ্যা: আপনার নমুনার শর্তসাপেক্ষে, বুটস্ট্র্যাপের নমুনা আসলেই আইআইডি, তবে নিঃশর্ত আপনি স্বাধীনতা হারাতে পারেন (তবে আপনি এখনও স্বতন্ত্রভাবে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি বিতরণ করেছেন)। এটি ল্যারি ওয়াসারম্যান সমস্ত ননপ্যারমেট্রিকের পরিসংখ্যানগুলিতে মূলত 13 অনুশীলন ।

— এম টার্জন
সূত্র