আমি

Question

যাক সম্ভাব্যতা স্থান একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের হতে (\ ওমেগা, \ mathcal বি, পি) .show যে ই (x) = \ sum_ {এন = 1} ^ \ infty পি (এক্স \ Ge ঢ)।$X:\Omega \to \mathbb N$$(\Omega,\mathcal B,P)$

$$E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\ge n).$$

$E(X)$ থেকে আমার সংজ্ঞাটি সমান

$$E(X)=\int_\Omega X \, dP.$$

ধন্যবাদ।

Comments

হুম, সম্ভবত আপনি যে এক্স-গিগ 0 যুক্ত করতে চান $X\geq 0$... না?

— স্ট্যাট

@ স্ট্যাট: না, $P(X \ge 0) = 1$ । $X$ প্রাকৃতিক। $X$ সর্বদা 2 এর সমান বিবেচনা করুন $E(X) = 2 = P(X\ge 1) + P(X\ge 2)$ ।

— জানুয়ারী

উফফ, এন দেখেনি $N$!

— স্ট্যাট

বিবৃতিটি (সামান্য) ভুল: কারণ \ mathbb {N 0 0 টি$\mathbb{N}$ অন্তর্ভুক্ত করেছে , সমষ্টিটি 1 এর পরিবর্তে 0 থেকে শুরু হওয়া উচিত । $0$$0$$1$

— হোবার

@ হুবহু না, যোগফল অবশ্যই n = 1 এ শুরু হবে $n=1$( পি [এক্স = 42] = 1 এ ক্ষেত্রে কেসটি চেষ্টা করুন $P[X=42]=1$)।

— কি

Answer 1

সংজ্ঞা $E(X)$ বিযুক্ত জন্য $X$ হয় $E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$ ।

$$P( X \ge i ) = P( X = i ) + P( X = i + 1 ) + \cdots$$

সুতরাং

$$\begin{align} & \sum_i P( X \ge i ) = P( X \ge 1 ) + P( X \ge 2 ) + \cdots \\[8pt] = {} & P( X = 1 ) + P( X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots + P(X = 2 ) + P( X = 3 ) + \cdots \end{align}$$

(আমরা সর্বশেষ অভিব্যক্তিতে শর্তগুলি পুনরায় সাজিয়েছি)

$$\begin{align} & = 1 \cdot P( X = 1 ) + 2 \cdot P( X = 2 ) + 3 \cdot P( X = 3 ) + \cdots \\[8pt] & = \sum_i i \cdot P( X = i ) \end{align}$$

Qed

Comments

আপনি সম্পূর্ণ উত্তর না হয়ে স্ব-অধ্যয়ন ট্যাগগুলির জন্য সহায়ক ইঙ্গিতগুলি সরবরাহ করার কথা। তাদের কার্যভারগুলি সমাধান না করাই ভাল :) :)

— স্টেট

আপনি কেন যোগফল পুনরায় অর্ডার করতে পারেন তা বোঝানোর দরকার নেই? আপনি যদি কোনও কঠোর বিক্ষোভের সন্ধান করেন তবে তা গুরুত্বপূর্ণ হবে।

— ম্যানুয়েল

@ জানুয়ার.ই.না. প্রশ্নটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন উল্লেখ না করে । $X$$X$

— pual অ্যামাবার

পিউল, হ্যাঁ আপনি প্রথম লাইনেই আলাদা বলে চিহ্নিত করেছেন: "বিচ্ছিন্ন" (এর বিস্তৃত সম্ভাব্য অর্থে) এর অর্থ হল ভেরিয়েবলের ব্যাপ্তির একটি গণনাযোগ্য উপসেট যার জন্য এটির সম্ভাব্যতা ; এবং যেহেতু গণনাযোগ্য, আপনার অবশ্যই আলাদা। 1 এন$X$$1$$\mathbb{N}$$X$

— whuber

@ হুইবার.আমি সম্মতি পেয়েছি এবং পেয়েছি .আর সব থেকে আপনাকে ধন্যবাদ।

— পিউল অ্যামাবার

Answer 2

আমি জানুয়ারীর উত্তর পছন্দ করি। আমি সিরিজটি লেখার কোনও উপায়ের পরামর্শ দিতে পারি যাতে চোখ আরও সহজেই পুনরায় সাজানো যায় (এইভাবেই আমি এটি ব্ল্যাকবোর্ডে লিখতে পছন্দ করি)? (পুনর্বিন্যাসটি গাণিতিকভাবে সাউন্ড কারণ এটি ইতিবাচক পদগুলির একটি সিরিজ ))

$$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty P(X\geq k) &=& \quad P(X\geq 1) \quad=\quad P(X=1)&+&P(X=2)&+&P(X=3) &+& \;\dots\\ &+& \quad P(X\geq 2) &+& P(X=2) &+&P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad P(X\geq 3) && &+& P(X=3)&+& \;\dots \\ \\ &+& \quad\quad\;\; \dots && &&&+& \;\dots\\ \end{eqnarray}$$

Comments

আপনি কি ধরে নিন এক্স আলাদা?

— বিসিএলসি

@ বিসিএলসি, সূত্রটি তখনই কাজ করে যখন এক্স ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার নিতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, বলুন, স্ট্যান্ডার্ড ইউনিফর্ম বিতরণ এটি 1 দেয় যখন উত্তরটি 1/2। অথবা, এমনকি স্বতন্ত্র ক্ষেত্রেও দুটি দফা বিতরণ বিবেচনা করা যাক : সূত্রটি 0 দেয়, যেখানে গড় মান 3/8। $P(X = 1/4) = P(X = 1/2) = 1/2$

— আর্টেম সোবোলেভ

Answer 3

আমি মনে করি এটি করার মানক উপায়টি লেখার মাধ্যমে

$$X =\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)$$

$$E(X) =E\left(\sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(X\ge n)\right)$$

এবং তারপরে প্রত্যাশা এবং যোগফলের বিপরীত ক্রম (টোনলির উপপাদ্য দ্বারা)

Comments

মজাদার. এটি কি সঠিক নয় যে এটি বিযুক্ত বলে ধরে নি ? : ও$X$

— বিসিএলসি

@ বিসিএলসি প্রথম লাইনটি কেবলমাত্র সত্য যদি এক্সটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় তবে এটি সঠিক নয় ....

— seanv507

Answer 4

এখানে অন্য একটি উত্তরের উত্তরের ( সিএনভি 507 থেকে ) উল্লেখ করেছে যে এই প্রত্যাশা বিধিটি একটি শক্তিশালী ফলাফল থেকে অনুসরণ করে যা অন্তর্নিহিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলটিকে সূচক ভেরিয়েবলের অসীম যোগফল হিসাবে প্রকাশ করে। আরও সাধারণ ফলাফল প্রমাণ করা সম্ভব এবং প্রশ্নটিতে প্রত্যাশার নিয়ম পেতে এটি ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি (সুতরাং এর সমর্থনটি প্রাকৃতিক সংখ্যার চেয়ে বৃহত্তর নয়) তবে এটি (নীচে প্রমাণ) প্রদর্শিত হতে পারে যে:$X: \Omega \rightarrow \mathbb{N}$

$$X = \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \quad \quad \quad \text{for all } m \in \mathbb{N}.$$

এর পরে কার্যকর ফল দেয়:$m \rightarrow \infty$

$$X = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{I}(X \geqslant n).$$

এটি লক্ষণীয় যে এই ফলাফলটি প্রশ্নের প্রত্যাশার নিয়মের চেয়ে শক্তিশালী, যেহেতু এটি অন্তর্নিহিত এলোমেলো পরিবর্তনশীলকে ক্ষয় দেয়, কেবল তার মুহুর্তের জন্য নয়। অন্য উত্তরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, এই সমীকরণের উভয় পক্ষের প্রত্যাশা গ্রহণ করা এবং টোনলির উপপাদ্য (যোগফল এবং প্রত্যাশা অপারেটরদের ক্রমটি পরিবর্তন করার জন্য) প্রশ্নের প্রত্যাশার বিধি দেয়। এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড প্রত্যাশা নিয়ম যা অ-নেতিবাচক র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে ডিল করার সময় ব্যবহৃত হয়।

---

উপরের ফলাফলটি মোটামুটি সহজভাবে প্রমাণিত হতে পারে। এটি পর্যবেক্ষণ করে শুরু করুন:

$$X = \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \text{countable times}}.$$

যে কোনও আমাদের তাই রয়েছে:$m \in \mathbb{N}$

$$\begin{equation} \begin{aligned} X &= \underbrace{1+1+ \cdots +1}_{ X \text{ times}} + \underbrace{0+0+ \cdots +0}_{ \max(0,m-X) \text{ times}} \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=1}^{\max(0,m-X)} \mathbb{I}(X \geqslant X+ n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^X \mathbb{I}(X \geqslant n) + \sum_{n=X+1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) \\[6pt] &= \sum_{n=1}^{\max(X,m)} \mathbb{I}(X \geqslant n) . \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}.$$