র‌্যান্ড () rand 2 এর বিতরণ কেন র‌্যান্ড () * র‌্যান্ড () এর চেয়ে আলাদা?

Question

লিব্রে অফিস ক্যাল্কে rand() ফাংশনটি উপলভ্য, যা ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি এলোমেলো মান চয়ন করে। আমি আমার সম্ভাবনার উপর খানিকটা মরিচা, তাই যখন আমি নীচের আচরণটি দেখি, তখন আমি হতবাক হয়ে যাই:

A = 200x1 এর কলাম rand()^2

B = 200x1 এর কলাম rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

কেন mean(A)! = 1/4?

Comments

কারণ একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের প্রত্যাশা তার প্রত্যাশার বর্গের সমান হয় না।

— মাইকেল এম

যদি rand()অন্যান্য অনুরূপ অপারেটরের মতো কাজ করে তবে এ একই র্যান্ডম সংখ্যা স্কোয়ার এবং বি দুটি র্যান্ডম সংখ্যা, গুণিত।

— পিটার ফ্লুম - মনিকা পুনরায়

আমি বুঝেছি. যদিও আমি গণিতের বানানটি দেখতে পেলাম, বা এমন কোনও সংস্থার সাথে লিঙ্ক করেছি তা খুব সহায়ক হবে।

— জেফটপিয়া

পরিস্থিতি সরলকরণ আপনাকে পয়েন্টটি দেখতে সহায়তা করতে পারে। ধরুন এর Rand()দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে Int(2*Rand()): এটি সমান সম্ভাবনার সাথে এবং 1 এর মান গ্রহণ করে । এর বর্গক্ষেত্রের জন্য দুটি সম্ভাবনা এবং দুটি (স্বতন্ত্র) মূল্যবোধের উত্পাদনের জন্য চারটি সম্ভাবনা রয়েছে: আপনি যখন তাদের প্রত্যাশা নিয়ে কাজ করেন তখন কী ঘটে? $0$$1$

— whuber

Answer 1

আয়তক্ষেত্রগুলি চিন্তা করতে এটি সহায়ক হতে পারে। কল্পনা করুন যে আপনার কাছে নিখরচায় জমি পাওয়ার সুযোগ রয়েছে। জমির আকার নির্ধারণ করা হবে (ক) র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি উপলব্ধি বা (খ) একই র্যান্ডম ভেরিয়েবলের দুটি উপলব্ধির মাধ্যমে। প্রথম ক্ষেত্রে (ক), অঞ্চলটি একটি বর্গক্ষেত্র হবে এবং পাশের দৈর্ঘ্য নমুনা মানের সমান হবে। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (খ), দুটি নমুনাযুক্ত মান একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ এবং দৈর্ঘ্যের প্রতিনিধিত্ব করবে। আপনি কোন বিকল্প চয়ন করেন?

যাক একটি ইতিবাচক দৈব চলক একটি আদায় করা।$\mathbf{U}$

ক) একটি উপলব্ধির এর প্রত্যাশিত মান বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করে যা U 2 এর সমান । গড়ে, এলাকার আকার হবে E [ U 2$\mathbf{U}$$\mathbf{U}^2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$$

খ) দুটি পৃথক উপলব্ধি এবং U 2 হয় তবে অঞ্চলটি U 1 ⋅ U 2 হবে । গড়ে, আকার সমান E [ U 1 ⋅ U 2 ] = E 2 [ U$\mathbf{U}_1$$\mathbf{U}_2$$\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$ উভয় উপলব্ধি একই ডিস্ট্রিবিউশন এবং স্বতন্ত্র থেকে যেহেতু এর সমান।

যখন আমরা অঞ্চলগুলির আকার) এবং বি) এর মধ্যে পার্থক্য গণনা করি, তখন আমরা পাই

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$

উপরোক্ত শব্দটি সমান যা মূলত বৃহত্তর বা 0 এর সমান$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$$0$ ।

এটি সাধারণ ক্ষেত্রে ধরে রাখে।

আপনার উদাহরণে, আপনি ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে নমুনা তৈরি করেছেন । তাই,$\mathcal{U}(0,1)$

ই

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$$ ভিএ $$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$$ $$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$

এই মানগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে উদ্ভূত হয়েছিল তবে এলোমেলো সংখ্যা জেনারেটরের সাথে আপনি যেটি পেয়েছেন তার সাথে এটি মিলছে।

Comments

$a$ এবং$b$, আমি পাই $\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

— জন

এটি বৈকল্পিকের একটি চালাক ব্যবহার। এবং এখানে আমি সরাসরি গণিতটি বেরোতে চলেছিলাম।

— অ্যাফিন

এটি আমার কাছে বোধগম্য হয়। এটি সমস্ত বৈকল্পিক অ-নেতিবাচক হওয়ার উপর জড়িত। জন তার উত্তর কীভাবে পেল সে সম্পর্কে আমিও আগ্রহী।

— জেফটপিয়া

Basically just followed what Sven did, but replaced them with the formulas for a more general uniform distribution.

— John

Shouldn't $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$ read $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$?

— BoppreH

Answer 2

Not to suggest that there's anything lacking from Sven's excellent answer, but I wanted to present a relatively elementary take on the question.

Consider plotting the two components of each product in order to see that the joint distribution is very different.

Note that the product tends only to be large (near 1) when both components are large, which happens much more easily when the two components are perfectly correlated rather than independent.

So for example, the probability that the product exceeds $1-\epsilon$ (for small $\epsilon$) is about $\epsilon/2$ for the $U^2$ ('A') version, but for the $U_1\times U_2$ ('B') version it's about $\epsilon^2/2$.

Quite a difference!

It may help to draw iso-product contours on graphs like those above - that is, curves where xy=constant for values like 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. As you go to larger and larger values, the proportion of points above and to the right of the contour goes down much more quickly for the independent case.