দুই ডেকে কার্ডের মধ্যে সম্পর্ক?

Question

আমি একটি ওভারহ্যান্ড কার্ডের সাফল্যের অনুকরণ করার জন্য একটি প্রোগ্রাম লিখেছি ।

প্রতিটি কার্ডের নাম্বার দেওয়া হয়, স্যুট থেকে আসা হয় CLUBS, DIAMONDS, HEARTS, SPADESএবং টু থেকে দশ পর্যন্ত র‌্যাঙ্ক হয় জ্যাক, কুইন, কিং এবং এস। সুতরাং ক্লাব দুটি ক্লাবের একটি সংখ্যা আছে 1, থ্রি ক্লাব দুটি একটি 2 .... ক্লাব এর এস 13 হয় ... স্পেডস এর এস 52 হয়।

কার্ডগুলি কীভাবে বদলানো হয় তা নির্ধারণ করার একটি পদ্ধতি হ'ল এটি একটি আনস্ফ্ল্যাড কার্ডের সাথে তুলনা করা এবং কার্ডের ক্রমের সাথে সম্পর্কিত কিনা তা দেখুন।

অর্থাত, তুলনা করার জন্য আনসফ্ল্যাড কার্ড সহ আমার কাছে এই কার্ডগুলি থাকতে পারে:

Unshuffled          Shuffled            Unshuffled number   Shuffled number
Two of Clubs        Three of Clubs      1                   2
Three of Clubs      Two of Clubs        2                   1
Four of Clubs       Five of Clubs       3                   4
Five of Clubs       Four of Clubs       4                   3

পিয়ারসন পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত হতে হবে: 0.6

কার্ডের একটি বড় সেট (সমস্ত 52) দিয়ে আপনি প্যাটার্নগুলি উত্থিত দেখতে পাবেন। আমার হাইপোথিসিসটি হ'ল আরও শ্যাফালিংয়ের পরে আপনি কম সম্পর্ক স্থাপন করতে পারেন।

তবে পারস্পরিক সম্পর্ককে পরিমাপ করার প্রচুর উপায় রয়েছে।

আমি পিয়ারসনের পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষেত্রে আমার হাত চেষ্টা করেছি তবে আমি নিশ্চিত নই যে এই পরিস্থিতিতে ব্যবহারের জন্য এটি সঠিক সম্পর্ক।

এটি কি উপযুক্ত পারস্পরিক সম্পর্ক? এর চেয়ে আরও উপযুক্ত কোন ব্যবস্থা আছে কি?

বোনাস পয়েন্টগুলি আমি মাঝে মাঝে আমার ফলাফলগুলিতে এই ধরণের ডেটা দেখতে পাই:

স্পষ্টতই কিছুটা পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে তবে আমি জানি না আপনি কীভাবে পৃথক 'ট্রেন্ডলাইন' পরিমাপ করেন?

Comments

আপনি কী চান তা আরও আমাদের বুঝতে সাহায্য করার জন্য, "কার্ডের ক্রমের সাথে সম্পর্কযুক্ত" এর অর্থ আপনি কী বোঝাতে চেয়েছিলেন তা সম্পর্কে আপনি আরও কিছুটা সূক্ষ্ম হতে পারেন।

— whuber

@ হুবুহু, আমি মনে করি ওপির অর্থ পরিবর্তিত হওয়ার আগে এবং পরে কোনও প্রদত্ত কার্ডের অবস্থান। উদাহরণস্বরূপ, হৃদয়ের টেক্কাটি আগে থেকে তৃতীয় এবং পরে 8 তম হতে পারে।

— গুং - মনিকা পুনরায়

আমি অবাক হয়েছি যদি "ওভারহ্যান্ড শফল" দ্বারা, আপনি উইকিপিডিয়াকে "রিফাল শিফেল" বলে?

— গুং - মনিকা পুনরায়

আপনি যে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় লিঙ্ক করেছেন তাতে গুগলে "রিফল শফল" এবং ওপি "ওভারহ্যান্ড শিফল" উভয়ের জন্য প্রবেশিকা রয়েছে। আপনার লিঙ্কযুক্ত লিঙ্কগুলি পড়তে ভাল লাগবে :)

— bdeonovic

@ পিফেরেরেট সেক্ষেত্রে আমি পুনরায় জবাবদিহি করব। আপনার র‌্যাঙ্কের পারস্পরিক সম্পর্ক ব্যবস্থা গ্রহণ করা উচিত ।

— tchakravarty

Answer 1

পার্শ্ববর্তী কার্ডের সমস্ত জোড়াগুলির মধ্যে মুখের মানের মধ্যে পার্থক্যটির শ্যানন এনট্রপি ব্যবহার করে আপনি সম্পর্কের তুলনামূলক স্তর (বা আরও স্পষ্টভাবে, এলোমেলোতার ক্রমবর্ধমান স্তর) পরিমাপ করতে পারেন ।

52 টি কার্ডের এলোমেলোভাবে সাফ করা ডেকের জন্য এটি কীভাবে গণনা করা যায় তা এখানে। আপনি পুরো ডেকে একবার লুপিং দিয়ে শুরু করেন এবং এক ধরণের হিস্টোগ্রাম তৈরি করে। প্রতিটি কার্ড পজিশনের জন্য$i=1,2,...,52$, মুখের মানের মধ্যে পার্থক্য গণনা করুন $\Delta F_{i} = F_{i+1} - F_{i}$। এটি আরও কংক্রিট করার জন্য, যাক যে কার্ডটিতে$(i+1)$তম অবস্থানটি কোদালদের রাজা এবং কার্ডটিতে কার্ড $i$ক্লাবের চারটি অবস্থান। তারপর আমাদের আছে$F_{i+1} = 51$ এবং $F_{i} = 3$ এবং $\Delta F_{i} = 51-3 = 48$। আপনি যখন পেতে$i=52$, এটি একটি বিশেষ কেস; আপনি আবার ডেকে শুরুতে ফিরে লুপ করে নিন এবং নিন$\Delta F_{52} = F_{1} - F_{52}$। যদি আপনি কোনওটির জন্য নেতিবাচক সংখ্যা দিয়ে শেষ করেন$\Delta F$এর, মুখের মান পার্থক্যটিকে 1-52 এর মধ্যে ফিরিয়ে আনতে 52 যোগ করুন।

আপনি সংলগ্ন কার্ডের 52 জোড়ের জন্য মুখের মূল্য পার্থক্যের একটি সেট সমাপ্ত করবেন, প্রতিটি প্রত্যেকে 1-52 থেকে অনুমোদিত রেঞ্জে পড়বে; 52 টি উপাদান সহ একটি হিস্টোগ্রাম (অর্থাত্, এক-মাত্রিক অ্যারে) ব্যবহার করে এগুলির আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি গণনা করুন। হিস্টগ্রাম ডেকের জন্য এক প্রকার "পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা বিতরণ" রেকর্ড করে; আপনি প্রতিটি বিনের পরিসংখ্যানকে 52 দ্বারা ভাগ করে এই বিতরণটিকে সাধারণ করতে পারেন thus আপনি এভাবে চলকের একটি সিরিজ দিয়ে শেষ করবেন$p_{1}, p_{2}, ... p_{52}$ যেখানে প্রত্যেকে সম্ভাব্য মানের একটি বিচ্ছিন্ন পরিসীমা গ্রহণ করতে পারে: {0, 1/52, 2/52, 3/52, ইত্যাদি} হিস্টোগ্রামের একটি নির্দিষ্ট বিনের মধ্যে কতগুলি জোড়াযুক্ত মুখের মান পার্থক্য এলোমেলোভাবে শেষ হয়েছিল তার উপর নির্ভর করে।

আপনার কাছে হিস্টোগ্রামটি হয়ে গেলে, আপনি নির্দিষ্ট শ্যাফলের পুনরাবৃত্তির জন্য শ্যানন এনট্রপি গণনা করতে পারেন

$$E = \sum_{k=1}^{52} -p_{k} ln(p_{k})$$ ফলাফলটি প্রদর্শনের জন্য আমি আর একটি ছোট সিমুলেশন লিখেছি। প্রথম প্লটটি দেখায় যে কীভাবে এনট্রপি 20 শিফলে পুনরাবৃত্তির পাঠ্যক্রমগুলিতে বিকশিত হয়। 0 এর মান পুরোপুরি অর্ডার করা ডেকের সাথে যুক্ত; বৃহত্তর মানগুলি একটি ডেককে বোঝায় যা ক্রমান্বয়ে আরও বিঘ্নিত বা সজ্জিত। দ্বিতীয় প্লটটিতে 20 টি দিকের একটি সিরিজ দেখানো হয়েছে, প্রতিটি শব্দের সাথে একইভাবে একটি প্লট রয়েছে যা মূলত প্রশ্নের সাথে অন্তর্ভুক্ত ছিল, প্রবর্তিত কার্ড অর্ডার বনাম প্রাথমিক কার্ড ক্রম দেখায়। দ্বিতীয় প্লটের 20 টি দিকগুলি প্রথম প্লটের 20 টি পুনরাবৃত্তির সমান এবং এগুলি একই রঙেও কোডড হয়, যাতে শ্যানন এনট্রপি কী স্তরের সাথে কতটা এলোমেলোভাবে সামঞ্জস্য করে তার জন্য আপনি একটি ভিজ্যুয়াল অনুভূতি পেতে পারেন can সাজানোর ক্রম। প্লটগুলি তৈরি করে এমন সিমুলেশন কোডটি শেষে যুক্ত করা হয়।

library(ggplot2)

# Number of cards
ncard <- 52 
# Number of shuffles to plot
nshuffle <- 20
# Parameter between 0 and 1 to control randomness of the shuffle
# Setting this closer to 1 makes the initial correlations fade away
# more slowly, setting it closer to 0 makes them fade away faster
mixprob <- 0.985 
# Make data frame to keep track of progress
shuffleorder <- NULL
startorder <- NULL
iteration <- NULL
shuffletracker <- data.frame(shuffleorder, startorder, iteration)

# Initialize cards in sequential order
startorder <- seq(1,ncard)
shuffleorder <- startorder

entropy <- rep(0, nshuffle)
# Loop over each new shuffle
for (ii in 1:nshuffle) {
    # Append previous results to data frame
    iteration <- rep(ii, ncard)
    shuffletracker <- rbind(shuffletracker, data.frame(shuffleorder,
                            startorder, iteration))
    # Calculate pairwise value difference histogram
    freq <- rep(0, ncard)
    for (ij in 1:ncard) {
        if (ij == 1) {
            idx <- shuffleorder[1] - shuffleorder[ncard]
        } else {
            idx <- shuffleorder[ij] - shuffleorder[ij-1]
        }
        # Impose periodic boundary condition
        if (idx < 1) {
            idx <- idx + ncard
        }
        freq[idx] <- freq[idx] + 1
    }
    # Sum over frequency histogram to compute entropy
    for (ij in 1:ncard) {
        if (freq[ij] == 0) {
            x <- 0
        } else {
            p <- freq[ij] / ncard
            x <- -p * log(p, base=exp(1))
        }
        entropy[ii] <- entropy[ii] + x
    }
    # Shuffle the cards to prepare for the next iteration
    lefthand <- shuffleorder[floor((ncard/2)+1):ncard]
    righthand <- shuffleorder[1:floor(ncard/2)]
    ij <- 0
    ik <- 0
    while ((ij+ik) < ncard) {
        if ((runif(1) < mixprob) & (ij < length(lefthand))) {
            ij <- ij + 1
            shuffleorder[ij+ik] <- lefthand[ij]
        }
        if ((runif(1) < mixprob) & (ik < length(righthand))) {
            ik <- ik + 1
            shuffleorder[ij+ik] <- righthand[ik]
        }
    }
}
# Plot entropy vs. shuffle iteration
iteration <- seq(1, nshuffle)
output <- data.frame(iteration, entropy)
print(qplot(iteration, entropy, data=output, xlab="Shuffle Iteration", 
            ylab="Information Entropy", geom=c("point", "line"),
            color=iteration) + scale_color_gradient(low="#ffb000",
            high="red"))

# Plot gradually de-correlating sort order
dev.new()
print(qplot(startorder, shuffleorder, data=shuffletracker, color=iteration,
            xlab="Start Order", ylab="Shuffle Order") + facet_wrap(~ iteration,
            ncol=4) + scale_color_gradient(low="#ffb000", high="red"))

Answer 2

আমি জানি যে এই পোস্টটি প্রায় 4 বছরের পুরানো, তবে আমি একটি শখের ক্রিপ্টনালিস্ট, এবং কার্ড সিফার খেলে পড়াশোনা করছি । ফলস্বরূপ, আমি এলোমেলোভাবে ডেকটি চাবি দেওয়ার জন্য এনট্রপির উত্স হিসাবে ডেক শ্যাফলিংয়ের ব্যাখ্যা করতে বারবার এই পোস্টে ফিরে এসেছি। অবশেষে, আমি সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম স্টেকায়ার দ্বারা ডেকটি হাতে ডুবিয়ে দিয়ে এবং প্রতিটি শিফেলের পরে ডেক এনট্রপি অনুমান করে verify

টিএল; ডিআর, সর্বোচ্চ ডেক এন্ট্রপি:

• কেবল রিফাল শাফলিংয়ের জন্য আপনার 11-12 শিফেলগুলি দরকার।
• প্রথমে ডেক কাটার জন্য তারপর রিফল শফলিংয়ের জন্য আপনার কেবল 6-7 কাট-অ্যান্ড-শ্যাফেল দরকার।

প্রথমে শ্যানন এনট্রপি গণনার জন্য স্ট্যাচাইরা যা কিছু উল্লেখ করেছেন তা সঠিক। এটি এইভাবে সিদ্ধ করা যেতে পারে:

1. সংখ্যায় ডেকের 52 টি কার্ডের প্রতিটিকে একটি অনন্য মান নির্ধারণ করুন।
2. ডেক সাফ করুন।
3. এন = 0 থেকে এন = 51 এর জন্য, প্রতিটি মান (এন - (এন + 1) মোড 52) মোড 52 রেকর্ড করুন
4. 0, 1, 2, ..., 49, 50, 51 এর সংখ্যার সংখ্যা গণনা করুন
5. প্রত্যেকটিকে 52 দ্বারা ভাগ করে সেই রেকর্ডগুলিকে সাধারণ করুন
6. I = 1 থেকে i = 52 এর জন্য, -p_i * লগ (পি_আই) / লগ (2) গণনা করুন
7. মানগুলি যোগ করুন

স্ট্যাচাইরা যেখানে একটি সূক্ষ্ম ধারণা অনুধাবন করে, তা হ'ল কম্পিউটার প্রোগ্রামে হিউম্যান রদবদল কিছুটা লাগেজ নিয়ে আসতে চলেছে। কাগজ-ভিত্তিক প্লে কার্ডগুলি ব্যবহার করার সাথে সাথে, আপনার হাত থেকে তেল কার্ডগুলিতে স্থানান্তর করে। বর্ধিত সময়ের সাথে সাথে তেল তৈরির কারণে কার্ডগুলি একসাথে স্টিক করা শুরু হবে এবং এটি আপনার বদলে যাবে। ডেকটি যত বেশি ভারী ব্যবহার করা হবে তত বেশি সম্ভবত দুটি বা আরও সংলগ্ন কার্ডগুলি একসাথে আটকে থাকবে এবং আরও ঘন ঘন এটি ঘটবে।

তদুপরি, দুটি ক্লাব এবং হৃদয়ের জ্যাক দুটি একসাথে থাকা অনুমিত। তারা কখনই আলাদা হবে না, আপনার এলোমেলো সময়কালের জন্য তারা একসাথে আটকে থাকতে পারে। এটি একটি কম্পিউটার প্রোগ্রামে অনুকরণ করা যেতে পারে, তবে স্ট্যাচাইরার আর রুটিনের ক্ষেত্রে এটি নয়।

এছাড়াও, স্ট্যাচিরার একটি ম্যানিপুলেশন ভেরিয়েবল "মিক্সপ্রব" রয়েছে। এই ভেরিয়েবলটি সম্পূর্ণরূপে না বুঝে এটি একটি কালো বাক্সের সামান্য অংশ। আপনি ফলাফলগুলি প্রভাবিত করে ভুলভাবে সেট করতে পারেন। সুতরাং, আমি তার অন্তর্দৃষ্টি সঠিক ছিল তা নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম। তাই আমি হাত দ্বারা এটি যাচাই।

আমি ডেকে ডেকে 20 বার হাত দিয়ে বদলেছি, দুটি ভিন্ন উদাহরণে (40 মোট শফেলস)। প্রথম উদাহরণে, আমি ডান এবং বাম কাটকে এমনকি সান্নিধ্যের মধ্যে রেখে, কেবল ফুলে উঠি। দ্বিতীয় উদাহরণে, আমি রিফেল শ্যাফেলের জন্য এমনকি একটি কাট করার আগে ডেকের মাঝখানে (1/3, 2/5, 1/4, ইত্যাদি) ইচ্ছাকৃতভাবে ডেকটি কেটে ফেলেছিলাম। দ্বিতীয় উদাহরণে আমার অন্ত্র অনুভূতিটি ছিল যে বদলানোর আগে ডেক কেটে, এবং মাঝখানে থেকে দূরে থাকায় আমি স্টক রাইফেল পরিবর্তনের চেয়ে ডেকের মধ্যে আরও দ্রুত প্রসারিত করতে পারি।

ফলাফল এখানে। প্রথমত, সোজা রিফাল বদলে:

এবং এখানে রাইফেল শাফলিংয়ের সাথে মিলিত ডেক কাটা হচ্ছে:

দেখে মনে হচ্ছে স্ট্যাচাইরা দ্বারা দাবি করার সময় এনট্রপিটি প্রায় 1/2 টিতে সর্বাধিক হয়। আরও, আমার স্বজ্ঞাততাটি সঠিক ছিল যে ডেকের মধ্যে রিফল শিফলিংয়ের আগে আরও ছড়িয়ে পড়ার আগে ডেকের ইচ্ছাকৃতভাবে মাঝখানে থেকে দূরে সরিয়ে ফেলা উচিত। যাইহোক, প্রায় 5 টি রদবদলের পরে, এটি আসলে বেশি কিছু যায় আসে না। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে প্রায় 7-7 এলোমেলো হয়ে যাওয়ার পরে, এন্ট্রপি সর্বাধিক করা হয়, 10-12 বনাম হিসাবে দাবিটি আমার স্ট্যাচির তৈরি করেছে। এটি কি সম্ভব হতে পারে যে uff টি শ্যাফেলই যথেষ্ট, বা আমি অন্ধ হয়ে যাচ্ছি?

আপনি গুগল পত্রকগুলিতে আমার ডেটা দেখতে পারেন । এটা সম্ভব যে আমি একটি প্লে কার্ড বা দুটি ভুলভাবে রেকর্ড করেছি, তাই আমি ডেটা দিয়ে 100% নির্ভুলতার গ্যারান্টি দিতে পারি না।

আপনার অনুসন্ধানগুলি স্বাধীনভাবে যাচাই করাও গুরুত্বপূর্ণ। হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিত বিভাগ থেকে ব্র্যাড মান পড়াশুনা করেছিলেন যে ডেকের কোনও কার্ডের পূর্বাভাসটি সম্পূর্ণ অপ্রত্যাশিত হওয়ার আগে ডেকে কার্ডের ডেকে পরিবর্তন করতে কতবার লাগবে (শ্যানন এন্ট্রপি সর্বাধিকীকরণযোগ্য)। তার ফলাফলগুলি এই 33-পৃষ্ঠার পিডিএফটিতে পাওয়া যাবে ।

তার গবেষণার সাথে মজার বিষয়টি হ'ল তিনি হলেন আসলে পার্সি ডায়কোনিসের ১৯৯০ সালে নিউইয়র্ক টাইমসের নিবন্ধটি স্বাধীনভাবে যাচাই করা হয়েছে , যিনি দাবি করেছেন যে রিফাল শ্যাফলের মাধ্যমে কার্ড খেলার ডেকটি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে মেশানোর জন্য sh টি শ্যাফেলই যথেষ্ট।

ব্র্যাড মান মার্কোভ চেইন সহ ঝাঁকুনিতে কয়েকটি ভিন্ন গাণিতিক মডেলের মধ্য দিয়ে চলেছেন এবং নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন:

এটি এন = 52 এর জন্য প্রায় 11.7, যার অর্থ এই দৃষ্টিকোণ অনুযায়ী, আমরা আশা করি কার্ডের আসল ডেকটি এলোমেলো করার জন্য গড়ে গড়ে 11 বা 12 টি শ্যাফেলগুলি প্রয়োজনীয় হবে। দ্রষ্টব্য যে এটি 7 এর চেয়ে যথেষ্ট বড়।

ব্র্যাড মান কেবল স্বাধীনভাবে স্ট্যাচায়ারের ফলাফল যাচাই করেছেন, এবং আমার নয়। সুতরাং, আমি আমার ডেটা ঘনিষ্ঠভাবে দেখেছি এবং আমি আবিষ্কার করেছি যে sh টি শফল কেন পর্যাপ্ত নয়। প্রথমে, ডেকের কোনও কার্ডের জন্য বিটগুলিতে তাত্ত্বিক সর্বাধিক শ্যানন এন্ট্রপি লগ (52) / লগ (2) ~ = 5.7 বিট হয়। তবে আমার ডেটা সত্যিই 5 বিটের উপরে অনেক বেশি ভেঙে যায় না। কৌতূহলী, আমি পাইথনে 52 টি উপাদানের একটি অ্যারে তৈরি করেছি, সেই অ্যারেটি পরিবর্তন করেছি:

>>> import random
>>> r = random.SystemRandom()
>>> d = [x for x in xrange(1,52)]
>>> r.shuffle(d)
>>> print d
[20, 51, 42, 44, 16, 5, 18, 27, 8, 24, 23, 13, 6, 22, 19, 45, 40, 30, 10, 15, 25, 37, 52, 34, 12, 46, 48, 3, 26, 4, 1, 38, 32, 14, 43, 7, 31, 50, 47, 41, 29, 36, 39, 49, 28, 21, 2, 33, 35, 9, 17, 11]

এর এনট্রপি-প্রতি-কার্ডে প্রায় 4.8 বিট ফল পাওয়া যায়। এক ডজন বার এটি করা বা গড় ফলস্বরূপ 4.8 থেকে 4.9 সহ 5.2 বিট এবং 4.6 বিটের মধ্যে একইরকম ফলাফল দেখায়। সুতরাং আমার ডেটা এর কাঁচা এনট্রপি মান খুঁজছেন যথেষ্ট নয়, অন্যথায় আমি এটিকে 5 টি বদলে ভাল বলতে পারি।

আমি যখন আমার ডেটা ঘনিষ্ঠভাবে লক্ষ্য করি তখন আমি "শূন্য বালতি" সংখ্যাটি লক্ষ্য করি। এই বালতিগুলি যেখানে এই সংখ্যার জন্য কার্ড মুখগুলির মধ্যে ডেল্টাসের কোনও ডেটা নেই। উদাহরণস্বরূপ, দুটি সংলগ্ন কার্ডের মান বিয়োগ করার সময়, সমস্ত 52 ডেল্টা গণনা করার পরে কোনও "15" ফলাফল হয় না।

আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি শেষ পর্যন্ত প্রায় 11-18 শ্যাফলে 17-18 "জিরো বালতি" এর কাছাকাছি স্থির হয়। নিশ্চিতভাবেই, পাইথনের মাধ্যমে আমার এলোমেলো ডেক গড় গড়ে 17-18 "জিরো বালতি", যার উচ্চতা 21 এবং সর্বনিম্ন 14 হয়। 17-18 কেন স্থির ফলাফল, আমি ব্যাখ্যা করতে পারি না ... এখনও। তবে, দেখা যাচ্ছে যে আমি উভয়ই এন্ট্রপি এবং 17 "জিরো বালতি" বিট চাই want

আমার স্টক রাইফেল শিফলিংয়ের সাথে, এটি 11-12 শফলস। আমার কাট-অদলবদল সহ, এটি 6-7। সুতরাং, যখন গেমগুলির কথা আসে, তখন আমি কাট এবং শ্যাফেলগুলি সুপারিশ করব। এই গ্যারান্টিটিই কেবল নয় যে উপরের এবং নীচের কার্ডগুলি প্রতিটি শিফলে ডেকের সাথে মিশে যাচ্ছে, এটি 11-12 শ্যাফেলের চেয়েও সহজ প্লেইন। আমি আপনার সম্পর্কে জানি না, তবে আমি যখন আমার পরিবার এবং বন্ধুদের সাথে কার্ড গেম খেলছি তখন তারা আমার পক্ষে 12 টি রিফল শফল সম্পাদন করার জন্য যথেষ্ট ধৈর্যশীল নয়।