একটি ভেরিয়েবলের পারস্পরিক প্রত্যাশা

15

ডিনোমিনেটরে প্রত্যাশা প্রয়োগ করতে আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি।

$E(1/X)=\,?$

এটি ,? $1/E(X)\,$

expected-value

— শান
সূত্র

সম্পর্কিত পোস্ট: stats.stackexchange.com/questions/305713/… ।

— জেদীআটম

27

এটি 1 / ই (এক্স) হতে পারে?

না, সাধারণভাবে এটি পারে না; জেনসেনের বৈষম্য আমাদের বলে যে যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং একটি উত্তল ফাংশন হয় তবে । তাহলে কঠোরভাবে ইতিবাচক, তাহলে উত্তল, তাই হয় , এবং একটি কঠোরভাবে উত্তল ফাংশন জন্য, সমতা শুধুমাত্র ঘটে যদি হয়েছে শূন্য বৈকল্পিক ... সুতরাং আমরা আগ্রহী হওয়ার ক্ষেত্রে সাধারণত দুটি ক্ষেত্রে অসম হয়। $X$ $\varphi$ $\varphi(\text{E}[X]) \leq \text{E}\left[\varphi(X)\right]$ $X$ $1/X$ $\text{E}[1/X]\geq 1/\text{E}[X]$ $X$

ধরে নিই আমরা একটি ইতিবাচক চলক নিয়ে কাজ করছি, যদি আপনার কাছে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে এবং বিপরীতভাবে সম্পর্কিত হবে ( ) তবে এটি ) বোঝাবে যা বোঝায় , তাই । $X$ $1/X$ $\text{Cov}(X,1/X)\leq 0$ $E(X \cdot 1/X) - E(X) E(1/X) \leq 0$ $E(X) E(1/X) \geq 1$ $E(1/X) \geq 1/E(X)$

ডিনোমিনেটরে প্রত্যাশা প্রয়োগ করতে আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি।

অজ্ঞান পরিসংখ্যানবিদ আইন ব্যবহার করুন

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

$\text{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x) dx$

(অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে)

সুতরাং যখন , $g(X) = \frac{1}{X}$ $\text{E}[\frac{1}{X}]=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx$

কিছু ক্ষেত্রে প্রত্যাশা পরিদর্শন (যেমন গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবল সহ) দ্বারা মূল্যায়ন করা যেতে পারে, বা বিপরীত বিতরণ প্রাপ্তির মাধ্যমে, বা অন্য উপায়ে।

— গ্লেন_বি -রেইনস্টেট মনিকা
সূত্র

14

যেমন গ্লেন_বি বলেছেন যে এটি সম্ভবত ভুল, কারণ পরস্পর একটি অ-লিনিয়ার ফাংশন। আপনাকে একটি পড়তা চান হয়তো আপনি কাছাকাছি একটি টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করতে পারেন : $E(1/X)$ $E(X)$

E (\frac{1}{X}) \approx E (\frac{1}{E (X)} - \frac{1}{E (X)^{2}} (X - E (X)) + \frac{1}{E (X)^{3}} (X - E (X))^{2}) = = \frac{1}{E (X)} + \frac{1}{E (X)^{3}} V a r (X)

$E \bigg( \frac{1}{X} \bigg) \approx E\bigg( \frac{1}{E(X)} - \frac{1}{E(X)^2}(X-E(X)) + \frac{1}{E(X)^3}(X - E(X))^2 \bigg) = \\ = \frac{1}{E(X)} + \frac{1}{E(X)^3}Var(X)$ যাতে আপনি শুধু প্রয়োজন অর্থ এবং এক্স ভ্যারিয়েন্স, এবং যদি বিতরণের প্রতিসম এই পড়তা খুবই সঠিক হতে পারে না।

X

$X$

সম্পাদনা: সম্ভবত উপরেরটি সম্ভবত বেশ সমালোচিত, নীচে বায়োএক্সএক্স থেকে মন্তব্য দেখুন।

— মাত্তিও ফ্যাসিওলো
সূত্র

ওহ হ্যাঁ হ্যাঁ ... আমি খুব দুঃখিত যে আমি এই সত্যটি ধরতে পারি নি ... আমার আরও একটি প্রশ্ন রয়েছে ... এটি কি কোনও ধরণের কার্যক্রমে প্রযোজ্য ??? আসলে আমি আটকে আছি... কীভাবে প্রত্যাশা এবং শর্তে কেটে নেওয়া যেতে পারে

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

E (x)

$E(x)$

V (x)

$V(x)$

— সন্দীপন কর্মকার

2

আপনি এটি জন্য ব্যবহার করতে পারবেন বলে আমি মনে করি না যে ফাংশন পার্থক্যযোগ্য নয়। আমি বরং সমস্যাগুলিকে কেসগুলিতে ভাগ করব এবং , I অনুমান।

| X |

$|X|$

E (| X |) = E (X | X > 0) p (X > 0) + E (- X | X < 0) p (X < 0)

$E(|X|) = E(X|X > 0)p(X>0) + E(-X|X < 0)p(X<0)$

— মাত্তেও ফ্যাসিওলো

1

@ মাট্টিও ফ্যাসিওলো আপনি কী দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন যে বিতরণের প্রতিসাম্যতা কেন (বা এর অভাব) টেলর সান্নিধ্যের যথার্থতার উপর প্রভাব ফেলে? আপনার কি এমন কোনও উত্স আছে যা আপনি আমাকে নির্দেশ করতে পারেন যে এটি কেন তা ব্যাখ্যা করে?

X

$X$

— অ্যারন হেন্ড্রিকসন

1

অ্যারোনহেনড্রিক্সন আমার যুক্তিটি কেবল সহজভাবেই বলেছিলেন যে প্রসারণের পরবর্তী শব্দটি proportion এর সাথে সমানুপাতিক যা এর বন্টনের সঙ্কোচনের সাথে সম্পর্কিত । কৃপণতা একটি অসামান্য পরিমাপ। যাইহোক, শূন্য skewness প্রতিসমতা গ্যারান্টি দেয় না এবং প্রতিযোগিতা শূন্য skewness গ্যারান্টি দেয় কিনা তা আমি নিশ্চিত নই। অতএব, এটি সমস্ত বৈজ্ঞানিক এবং প্রচুর পাল্টা উদাহরণ থাকতে পারে।

E {(X - E (X))^{3}}

$E\{(X-E(X))^3\}$

X

$X$

— মাত্তেও ফ্যাসিওলো

4

আমি বুঝতে পারি না কীভাবে এই সমাধানটি এতগুলি উপার্জন পায়। একটি একক এলোমেলো ভেরিয়েবল জন্য এই সান্নিধ্যের গুণমান সম্পর্কে কোনও যুক্তি নেই। তৃতীয় ডেরাইভেটিভ সীমাবদ্ধ নয়। তবুও প্রায় বাকি। হয় যেখানে নিজেই মধ্যে একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল এবং । বাকীগুলি সাধারণভাবে অদৃশ্য হবে না এবং এটি খুব বিশাল হতে পারে। টেলর প্রায় কেবলমাত্র যদি তখন কারও কাছে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম যেখানে । তারপরেও প্রত্যাশায় আগ্রহী থাকলে অতিরিক্তভাবে অভিন্ন সামঞ্জস্যতা প্রয়োজন।

X

$X$

f (x) = 1 / x

$f(x)=1/x$

1 / 6 f^{‴} (ξ) (X - μ)^{3}

$1/6f'''(\xi)(X-\mu)^3$

ξ

$\xi$

X

$X$

μ

$\mu$

X_{n} - μ = O_{p} (a_{n})

$X_n -\mu = O_p(a_n)$

a_{n} \to 0

$a_n \to 0$

— ব্লুএক্সএক্স

8

অন্যরা ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা করেছেন যে তুচ্ছ ঘটনাগুলি বাদ দিয়ে প্রশ্নের উত্তর নেই, না। নীচে আমরা খোঁজার জন্য একটি পন্থা দিতে যখন সম্ভাব্যতা এক, এবং মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন উপস্থিত আছে। এই পদ্ধতির একটি অ্যাপ্লিকেশন (এবং একটি সাধারণীকরণ) এর প্রত্যাশিত মানতে দেওয়া হয় যখন একটি বিটা বিতরণ অনুসরণ করে , আমরা এখানে আরও একটি সহজ উদাহরণ দেব। $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X}$ $X>0$ $M_X(t) = \E e^{tX}$ $1/x$ $x$

প্রথমে লক্ষ করুন যে (সাধারণ ক্যালকুলাস অনুশীলন)। তারপরে, লিখুন একটি সাধারণ অ্যাপ্লিকেশন: রেট 1 এর সাথে ঘনত্বের সাথে এক্সটেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন হ'ল, ঘনত্বের সাথে এবং মুহুর্ত উত্পন্ন ফাংশন । তারপরে , সুতরাং অবশ্যই রূপান্তর করবেন না এবং থেকে খুব আলাদা $\int_0^\infty e^{-t x}\; dt = \frac1{x}$

E (\frac{1}{X}) = \int_{0}^{\infty} x^{- 1} f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} d t) f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} f (x) d x) d t = \int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t

$\E \left(\frac1{X}\right) = \int_0^\infty x^{-1} f(x)\; dx = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx}\; dt \right) f(x)\; dx =\\ \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx} f(x) \; dx \right) \; dt = \int_0^\infty M_X(-t) \; dt$

X

$X$

e^{- x}, x > 0

$e^{-x}, x>0$

M_{X} (t) = \frac{1}{1 - t}, t < 1

$M_X(t)=\frac1{1-t}, t<1$

\int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + t} d t = \ln (1 + t) |_{0}^{\infty} = \infty

$\int_0^\infty M_X(-t)\; dt = \int_0^\infty \frac1{1+t} \; dt= \ln(1+t) \bigg\rvert_0^\infty = \infty$

\frac{1}{E X} = \frac{1}{1} = 1

$\frac1{\E X}=\frac11=1$ ।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

7

গণক একটি বিকল্প পদ্ধতির বুদ্ধিমান এক্স একটি ইতিবাচক দৈব চলক পরিসীমা ছুঁয়ে উৎপাদিত ফাংশন মাধ্যমে হয় । যেহেতু প্রাথমিক ক্যালকুলাস দ্বারা $E(1/X)$ $E[e^{-\lambda X}]$ আমরা দ্বারা Fubini এর উপপাদ্য আছে,

\int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d λ = \frac{1}{x}

$\int_0^\infty e^{-\lambda x} d\lambda =\frac{1}{x}$

\int_{0}^{\infty} E [e^{- λ X}] d λ = E [\frac{1}{X}] .

$\int_0^\infty E[e^{-\lambda X}] d\lambda =E[\frac{1}{X}].$

— user172761
সূত্র

2

এখানে ধারণাটি সঠিক, তবে বিশদটি ভুল। প্লিজ চেক

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

1

@Kjetil আমি দেখতে পাচ্ছি না কি সমস্যা হয়: ব্যবহারের তুচ্ছ পার্থক্য ছাড়া

পরিবর্তে

MGF সংজ্ঞা এবং পরিবর্তনশীল নামকরণ

পরিবর্তে

, উত্তর আপনি শুধু পোস্ট এই অভিন্ন এক.

t X

$t X$

- t X

$-t X$

t

$t$

λ

$\lambda$

— whuber

1

আপনি ঠিক বলেছেন, সমস্যাগুলি আমি যা ভাবি তার চেয়ে কম ছিল। তবুও এই উত্তরটি আরও কিছু বিবরণ সহ আরও ভাল। আমি এই আগামীকাল (যখন আমি নতুন ভোট আছে) ভোট দিন হবে

— kjetil খ halvorsen

1

প্রথমে একটি অন্তর্দৃষ্টি দেওয়ার জন্য, ( ) এর মতো কেসকে আলাদা করে রাখার জন্য সীমাবদ্ধ নমুনায় আলাদা কেস ব্যবহার করার বিষয়ে কী বলা যায় ? $\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$ $\text{E}(X)=0$

সীমাবদ্ধ নমুনায়, প্রত্যাশার জন্য গড় শব্দটি ব্যবহার করা আপত্তিজনক নয়, এভাবে যদি একদিকে থাকে

$\text{E}(X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$

আর একজনের হাতে রয়েছে অন্যদিকে

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i$

এটা স্পষ্ট হয়ে যায় যে, , $N>1$

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i \neq \frac{N}{\sum_{i=1}^N X_i} = 1/\text{E}(X)$

যা বলে দেয় যে, মূলত, যেহেতু (বিচ্ছিন্ন) যোগফল বিপরীতের সমষ্টি (পৃথক) যোগফল নয়। $\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$

একইভাবে অ্যাসিম্পটোটিক কেন্দ্রিক ক্রমাগত ক্ষেত্রে, একজনের রয়েছে $0$

। $\text{E}(1/X)=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx \neq 1/\int_{-\infty}^\infty xf(x) dx = 1/\text{E}(X)$

— জিবন্ত রাখ
সূত্র