প্রতিস্থাপন ছাড়াই কে সংখ্যাগুলির যোগফলের প্রত্যাশা

প্রদত্ত $n$ সংখ্যা, যেখানে প্রতিটি সংখ্যার মান পৃথক, হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং প্রতিটি সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাবনা যথাক্রমে হয়। $v_1, v_2, ..., v_n$ $p_1, p_2, ..., p_n$

এখন যদি আমি প্রদত্ত সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে নম্বর নির্বাচন করি , যেখানে , সেই সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশা কী ? নোট করুন যে নির্বাচনটি প্রতিস্থাপন ছাড়াই রয়েছে, যাতে সংখ্যাগুলি সদৃশ সংখ্যাগুলিকে জড়িত করতে না পারে। আমি বুঝেছি যে নির্বাচনটি প্রতিস্থাপনের সাথে থাকলে, সংখ্যার যোগফলের প্রত্যাশা সমান হয় , যেখানে $K$ $K \leq n$ $K$ $K$ $K$ $K \times E(V)$

ই (ভী) = {বনাম}_{1} \times {পি}_{1} + + {বনাম}_{2} \times {পি}_{2} + + । । । + + {বনাম}_{এন} \times {পি}_{এন} ।

$E(V) = v_1 \times p_1 + v_2 \times p_2 + ... + v_n \times p_n.$

তদুপরি, এই সংখ্যার বৈচিত্রের প্রত্যাশা সম্পর্কে কী বলা যায় ? $K$

আমি একজন সিএস পিএইচডি শিক্ষার্থী যিনি একটি বড় ডেটা সমস্যা নিয়ে কাজ করছেন এবং আমার কোনও পরিসংখ্যানের পটভূমি নেই। আমি আশা করি যে কেউ আমাকে উত্তর হিসাবে একটি সূত্র দিতে পারেন। তবে, যদি কোনও সূত্র বা নিবিড় গণনা জবাব জবাব দেওয়া খুব জটিল হয়, একটি আনুমানিক উত্তর সম্পূর্ণ গ্রহণযোগ্য।

আপনি ধরে নিতে পারেন এখানে বেশ বড়, এবং সম্ভাবনা অনেক পৃথক হতে পারে। অনুশীলনে, এই সম্ভাবনার মানগুলি একটি কোয়েরি লগ থেকে আসে, যা একত্রিতকরণ অনুসন্ধানগুলির একটি সিরিজ রেকর্ড করে। মুল বক্তব্যটি হল যে প্রশ্নের সাথে জড়িত প্রতিটি সংখ্যার ফ্রিকোয়েন্সি বেশ স্কিউ হতে পারে, যার মধ্যে কিছু খুব কমই অনুসন্ধান করা হয়, আবার কিছু খুব ঘন ঘন জিজ্ঞাসা করা হয়। আপনি ধরে নিতে পারেন সম্ভাবনা বন্টন হ'ল সাধারণ বিতরণ, জিপফ বিতরণ বা অন্য কোনও যুক্তিসঙ্গত বিকল্প। $n$

মান বিতরণ কোনও সম্ভাব্য বিতরণের কেবল একটি সংক্ষিপ্ত উপসেট। অন্য কথায়, যদি আপনার কাছে হিস্টোগ্রাম থাকে যা একটি নির্দিষ্ট বন্টনকে উপস্থাপন করে তবে এই সমস্যার সাথে জড়িত সমস্ত সংখ্যা হ'ল একক বালতিতে থাকা সমস্ত সংখ্যা।

কে এর মান বিবেচনায় আপনি ধরে নিতে পারেন এটি প্রায়শই জিজ্ঞাসিত উপাদানগুলির সংখ্যার তুলনায় কম।

probability

— SciPioneer
সূত্র

যোগফলের পরিবর্তে যোগফলের ভিন্নতার প্রত্যাশা আলাদা হবে; কোনও প্রতিস্থাপন না থাকলে আপনার সীমাবদ্ধ জনসংখ্যা সংশোধন ফ্যাক্টর প্রয়োজন। (স্বজ্ঞাতভাবে এটি দেখতে, মনে রাখবেন যে কে = এন এর যোগফলের পরিমাণটি শূন্য হয়, কারণ এটি সর্বদা একই সংখ্যায় থাকবে; সুতরাং কে আরও এগিয়ে যাওয়ার সাথে যোগফলের

— প্রকরণটি

এই প্রশ্নটি দেখতে দেখতে দেখতে আরও জটিল হতে পারে। কেস বিবেচনা করুন

n = 2

$n=2$ এবং

(v_{1}, v_{2}) = (0, 1)

$(v_1,v_2)=(0,1)$ । প্রতিস্থাপনের সাথে আঁকা দুটি মানের প্রত্যাশিত যোগফল

2 p_{2}

$2p_2$ যা অবশ্যই একমূল্যের প্রত্যাশার সমষ্টি; তবে প্রতিস্থাপন ছাড়াই অঙ্কিত দুটি মানের প্রত্যাশিত যোগটি অবশ্যই

v_{1} + v_{2} = 1 \neq 2 p_{2}

$v_1+v_2=1\ne 2p_2$ বাদে কখন

p_{1} = p_{2} = 1 / 2

$p_1=p_2=1/2$ ।

— whuber

@Zbcyclist সম্ভবত আমি সমস্যাটি স্পষ্ট করে বলিনি। আমার

— দৃশ্যে

(1) এটি আমার কাছে একটি স্ব-অধ্যয়ন প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে না: এটি সম্ভাবনার ক্ষেত্রে সত্যিকারের প্রয়োগ সমস্যা মনে হচ্ছে। (2) কত বড় শক্তি

n

$n$ থাকা? সমস্ত সাবসেটগুলি গণনা করা যায় তবে ব্যতীত সলিউশনগুলি অবিচলিত দেখায়। (3) যদি

n

$n$ এর চেয়ে অনেক বড় হতে পারে

20

$20$ বা তাই, দ্রুত গণনা বন্ধ করে, আপনি এই সম্পর্কে কী বলতে পারেন

p_{i}

$p_i$ ? উদাহরণস্বরূপ, এগুলি পৃথক হতে পারে বা এগুলি সমস্তই খুব কাছাকাছি থাকবে

1 / n

$1/n$ ? এটি আনুমানিক উত্তরগুলি সন্ধানের প্রচেষ্টা সম্পর্কে অবহিত করতে পারে।

— whuber

সম্পাদনা করার জন্য ধন্যবাদ। আপনি আরও আমাদের সম্পর্কে বলতে পারেন

N

$N$ ,

K

$K$ , দ্য

v_{i}

$v_i$ , এবং

p_{i}

$p_i$ , আরও ভাল। উদাহরণস্বরূপ, যদি

K max (p_{i}) ≪ 1

$K\max(p_i)\ll 1$ তারপরে প্রতিস্থাপনের সাথে নমুনা নেওয়ার সূত্রগুলি ভাল আনুমানিক হওয়া উচিত (কারণ খুব কম মান, যদি কোনও হয় তবে একাধিকবার নির্বাচিত হবে)। আমি বিশ্বাস করি সবচেয়ে শক্তিশালী মামলাগুলি যেখানে মানগুলির বিস্তৃত সীমা রয়েছে

p_{i}

$p_i$ - সুতরাং আপনি কেবল তাদের বেশিরভাগকে জিরো এবং এখনও সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারবেন না

p_{i} > 1 / K

$p_i\gt 1/K$ একটি প্রশংসনীয় সংখ্যার জন্য

i

$i$ --এবং

K \approx N / 2

$K\approx N/2$ ।

— whuber

এটি সম্ভবত একটি উত্তরের প্রকৃতিতে রয়েছে যা সঠিক হলেও এটি সম্ভবত তেমন কার্যকর নয়। হরভিটস এবং থম্পসন (1952) ফলাফল প্রদান করে যা সাধারণভাবে এই পরিস্থিতিটি আবৃত করে। এই ফলাফলগুলি যে আশা করতে পারে সম্মিলিত এক্সপ্রেশনগুলির ক্ষেত্রে দেওয়া হয় given

তাদের স্বরলিখনের সাথে সামঞ্জস্য রাখতে এবং আরও বহুল ব্যবহৃত ব্যবহৃত স্বরলিপিটির সাথে আরও ভালভাবে মিলিয়ে দেওয়ার জন্য, আমাকে কিছু পরিমাণের সংজ্ঞা দিন। দিন $N$ জনসংখ্যার উপাদানগুলির সংখ্যা এবং $n$ নমুনা আকার হতে।

দিন $u_i$ , $i=1,...,N$ , প্রতিনিধিত্ব করুন $N$ প্রদত্ত মান সহ জনসংখ্যার উপাদান $V_i$ , $i=1,...,N$ এবং নির্বাচনের সম্ভাবনা $p_1,...,p_N$ । আকারের প্রদত্ত নমুনার জন্য $n$ , নমুনা পর্যবেক্ষণ মান হতে দিন $v_1,..., v_n$ ।

নমুনা মোটের গড় এবং তারতম্যটি যা পছন্দসই তা হল

Σ_{আমি = 1}^{এন} {বনাম}_{আমি} ।

$\sum_{i=1}^n v_i.$

মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি নির্দিষ্ট নমুনা নির্বাচনের সম্ভাবনা $s = \{u_i, u_j, ..., u_t\}$ যে ক্রমে আঁকা হয়

pr (গুলি) = {পি}_{{আমি}_{1}} {পি}_{ঞ_{2}} \dots {পি}_{{টি}_{এন}},

$\textrm{Pr}(s) = p_{i_1}p_{j_2}\cdots p_{t_n},$ যেখানে প্রাথমিক সম্ভাবনা

p_{i_{1}}

$p_{i_1}$ অঙ্কন

u_{i}

$u_i$ দেওয়া হয়

p_{i}

$p_i$ দ্বিতীয় সম্ভাবনা

p_{j_{2}}

$p_{j_2}$ অঙ্কন

u_{j}

$u_j$ অপসারণ শর্তাধীন

u_{i}

$u_i$ জনসংখ্যা থেকে এবং আরও সুতরাং প্রতিটি পরবর্তী ইউনিট অঙ্কিত পরবর্তী ইউনিটের জন্য একটি নতুন সম্ভাব্যতা বিতরণে ফলাফল (সুতরাং, বিভিন্ন সূচক বর্ণগুলির পছন্দ, কারণ প্রত্যেকে পৃথক বিতরণের প্রতিনিধিত্ব করে))

সেখানে

S^{(i)} = n! (\binom{N - 1}{n - 1})

$S^{(i)} = n! \binom{N-1}{n-1}$ আকারের নমুনা

n

$n$ যে ধারণ করে

u_{i}

$u_i$ পুরো জনসংখ্যার বাইরে। মনে রাখবেন যে এটি অ্যাকাউন্টে নেয়

n!

$n!$ নমুনার ক্রম।

দিন $s_n^{(i)}$ আকারের একটি নির্দিষ্ট নমুনা বোঝায় $n$ যা রয়েছে $u_i$ । তারপরে, উপাদান নির্বাচন করার সম্ভাবনা $u_i$ দেওয়া হয়

P (u_{i}) = \sum Pr (s_{n}^{(i)}),

$P(u_i) = \sum \textrm{Pr}(s_n^{(i)}),$ যেখানে সমষ্টিটি আকারের সেটের উপরে

S^{(i)}

$S^{(i)}$ সমস্ত সম্ভাব্য নমুনা

s_{n}^{(i)}

$s_n^{(i)}$ আকারের

n

$n$ যে ধারণ করে

u_{i}

$u_i$ । (কাগজটি থেকে আমার কাছে স্বরলিপিটি কিছুটা পরিবর্তন করা হয়েছে কারণ এটি আমার কাছে বিভ্রান্তিকর বলে মনে হয়েছিল।)

একইভাবে, সংজ্ঞা দিন

S^{(i j)} = n! (\binom{N - 2}{n - 2})

$S^{(ij)} = n! \binom{N-2}{n-2}$ উভয় সমন্বিত নমুনার সংখ্যা হিসাবে

u_{i}

$u_i$ এবং

u_{j}

$u_j$ । তারপরে আমরা উভয় হিসাবে থাকা একটি নমুনার সম্ভাব্যতা সংজ্ঞায়িত করতে পারি

P (u_{আমি} {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}) = Σ pr ({গুলি}_{এন}^{(আমি ঞ)}),

$\textrm{P}(u_i u_j) = \sum \textrm{Pr}(s_n^{(ij)}),$ যেখানে সমষ্টিটি আকারের সেটের উপরে

S^{(i j)}

$S^{(ij)}$ সমস্ত সম্ভাব্য নমুনা

s_{n}^{(i j)}

$s_n^{(ij)}$ আকারের

n

$n$ যে ধারণ করে

u_{i}

$u_i$ এবং

u_{j}

$u_j$ ।

প্রত্যাশিত মানটি তখন হিসাবে প্রাপ্ত হয়

ই (Σ_{আমি = 1}^{এন} {বনাম}_{আমি}) = Σ_{আমি = 1}^{এন} পি ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}) {ভী}_{আমি} ।

$E \left( \sum_{i=1}^n v_i \right) = \sum_{i=1}^N \textrm{P}(u_i) V_i.$

যদিও কাগজটিতে সুস্পষ্টভাবে ভিন্নতা পাওয়া যায় নি তবে এটি এর এক্সপেকশন থেকে প্রাপ্ত হতে পারে $q$ মূহুর্ত

ই (Σ_{আমি = 1}^{এন} {বনাম}_{আমি}^{কুই}) = Σ_{আমি = 1}^{এন} পি ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি}) {ভী}_{আমি}^{কুই}

$E \left( \sum_{i=1}^n v_i^q \right) = \sum_{i=1}^N \textrm{P}(u_i) V_i^q$ এবং ক্রস পণ্য

ই (Σ_{আমি \neq ঞ}^{এন} {বনাম}_{আমি} {বনাম}_{ঞ}) = \underset{আমি \neq ঞ}{Σ} পি ({তোমার দর্শন লগ করা}_{আমি} {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}) {ভী}_{আমি} {ভী}_{ঞ} ।

$E \left( \sum_{i \ne j}^n v_iv_j \right) = \sum_{i \ne j} \textrm{P}(u_i u_j) V_i V_j.$

অন্য কথায়, দেখে মনে হচ্ছে এই গণনাগুলি সম্পাদন করার জন্য সকলকেই সম্ভাব্য সমস্ত উপগ্রহের মধ্য দিয়ে যেতে হবে। হয়তো এটি এর ছোট মানগুলির জন্য করা যেতে পারে $n$ যদিও।

হরভিটজ, ডিজি এবং থম্পসন, ডিজে (১৯৫২) সীমাবদ্ধ মহাবিশ্ব থেকে প্রতিস্থাপন না করে নমুনা তৈরির একটি সাধারণীকরণ। আমেরিকান পরিসংখ্যান সমিতির জার্নাল 47 (260): 663-685।

— jvbraun
সূত্র