পিডিএফ এর অনুপাত বনাম অনুপাতের অনুপাত

আমি একটি ক্লাস্টারিং সমস্যা সমাধানের জন্য বেয়েস ব্যবহার করছি। কিছু গণনা করার পরে আমি দুটি সম্ভাবনার অনুপাত পাওয়ার প্রয়োজনীয়তাটি শেষ করি:

P (A) / P (B)

$P(A)/P(B)$

প্রাপ্ত পাবে $P(H|D)$ । এই সম্ভাবনাগুলি এই উত্তরে বর্ণিত হিসাবে দুটি পৃথক 2 ডি মাল্টিভারিয়েট কে-ডি-ই সংহত করে প্রাপ্ত করা হয়েছে :

P (A) = \iint_{x, y : \hat{f} (x, y) < \hat{f} (r_{a}, s_{a})} \hat{f} (x, y) d x d y

$P(A) = \iint_{x, y : \hat{f}(x, y) < \hat{f}(r_a, s_a)} \hat{f}(x,y)\,dx\,dy$

P (B) = \iint_{x, y : \hat{g} (x, y) < \hat{g} (r_{b}, s_{b})} \hat{g} (x, y) d x d y

$P(B) = \iint_{x, y : \hat{g}(x, y) < \hat{g}(r_b, s_b)} \hat{g}(x,y)\,dx\,dy$

যেখানে এবং কে পি ডি হয় এবং একত্রীকরণটি থ্রেশহোল্ডের নীচে সমস্ত পয়েন্টের জন্য করা হয় এবং । উভয় কে-ডি-ই গাউসীয় কার্নেল ব্যবহার করে । আমি যেটির সাথে কাজ করছি তার অনুরূপ একটি কে.ডি.এর প্রতিনিধি চিত্র এখানে দেখা যাবে: কার্নেল ঘনত্বের প্রাক্কলনকারীকে 2 ডি তে সংহত করে । $\hat{f}(x, y)$ $\hat{g}(x, y)$ $\hat{f}(r_a, s_a)$ $\hat{g}(r_b, s_b)$

আমি একটি pythonফাংশন স্ট্যাটাসের সাহায্যে কে-ডি-কে গণনা করি ga গুশিয়ান_কেদে , সুতরাং আমি এটির জন্য নিম্নলিখিত সাধারণ ফর্মটি ধরে নিই:

K D E (x, y) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} - \frac{1}{2 h^{2}} e^{- \frac{(x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2}}{2 h^{2}}}

$KDE(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} -\frac{1}{2h^2} e^{-\frac{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2}{2h^2}}$

যেখানে nপয়েন্ট আমার অ্যারের দৈর্ঘ্য এবং hব্যান্ডউইথ ব্যবহার করা হয়।

উপরের অখণ্ডগুলি মন্টে কার্লো প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে গণনা করা হয় যা বেশ গণনার ক্ষেত্রে ব্যয়বহুল। আমি কোথাও পড়েছি (যেখানে ভুলে গেছি) দুঃখিত যে এরকম ক্ষেত্রে সমানভাবে বৈধ ফলাফল পাওয়ার জন্য প্রান্তিক পয়েন্টগুলিতে মূল্যায়িত পিডিএফ (কেডি) এর অনুপাত দ্বারা সম্ভাবনার অনুপাত প্রতিস্থাপন করা সম্ভব। আমি এটিতে আগ্রহী কারণ কে-কে-র অনুপাতের গণনা হ'ল এমসির সাথে ইন্টিগ্রালগুলির অনুপাত গণনা করার চেয়ে দ্রুতগতির অর্ডার।

সুতরাং প্রশ্নটি এই অভিব্যক্তির বৈধতার জন্য হ্রাস পেয়েছে:

\frac{P (A)}{P (B)} = \frac{\hat{f} (r_{a}, s_{a})}{\hat{g} (r_{b}, s_{b})}

$\frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\hat{f}(r_a, s_a)}{\hat{g}(r_b, s_b)}$

কোন পরিস্থিতিতে, যদি থাকে তবে আমি বলতে পারি যে এই সম্পর্কটি সত্য?

[নির্দিষ্ট টাইপো (EDIT)]

যুক্ত করুন :

এখানে মূলত একই প্রশ্ন তবে আরও গাণিতিক আকারে তৈরি।

— গ্যাব্রিয়েল
সূত্র

নোট করুন যে উপযুক্ত of এর অস্তিত্বটি ইন্টিগ্রালের জন্য গড় মূল্যবান উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছে।

r_{a, b}, s_{a, b}

$r_{a,b}, s_{a,b}$

— ডেভ

আমি বিশ্বাস করি মিলস অনুপাত প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— হোয়বার

@ যে অনুপাতের স্পষ্টতই এই অনুপাতের প্রয়োজন হয় যে আমি P(X)গণনার এড়ানোর চেষ্টা করছি তার মূল্য সম্পর্কে আমি জানি । আপনি কি সেই প্যারামিটারের প্রাসঙ্গিকতার উপর কিছুটা প্রসারিত করতে পারেন?

— গ্যাব্রিয়েল

কেডিএ হল সাধারণ বিতরণের মিশ্রণ। আসুন তাদের মধ্যে একটি এক তাকান।

এবং এর সংজ্ঞাগুলি দেখায় যে তাদের মানগুলি বিমানের অনুবাদ এবং উদ্ধারগুলির অধীনে অবিচ্ছিন্ন, সুতরাং এটি পিডিএফ সহ স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ বিতরণ বিবেচনা করার পক্ষে যথেষ্ট । বৈষম্য $P(A)$ $P(B)$ $f$

f (x, y) \leq f (r, s)

$f(x,y) \le f(r,s)$

সমতুল্য

x^{2} + y^{2} \geq r^{2} + s^{2} .

$x^2 + y^2 \ge r^2 + s^2.$

পোলার স্থানাঙ্ক প্রবর্তন করে অবিচ্ছেদ্যকে পুনরায় অনুমতি দেয় $\rho, \theta$

P (r, s) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \int_{\sqrt{r^{2} + s^{2}}}^{\infty} ρ \exp (- ρ^{2} / 2) d ρ d θ = \exp (- (r^{2} + s^{2}) / 2) = 2 π f (r, s) .

$P(r,s) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\int_\sqrt{r^2+s^2}^\infty \rho \exp(-\rho^2/2) d\rho d\theta= \exp(-(r^2+s^2)/2) = 2\pi f(r,s).$

এবার মিশ্রণটি বিবেচনা করুন। কারণ এটি লিনিয়ার,

\begin{aligned} P (r, s) & = \frac{1}{n} \sum_{i} 2 π f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h) \\ = 2 π h^{2} (\frac{1}{n} \sum_{i} \frac{1}{h^{2}} f ((r - x_{i}) / h, (s - y_{i}) / h)) \\ = 2 π h^{2} K D E (r, s) . \end{aligned}

$\eqalign{ P(r,s) &= \frac{1}{n}\sum_i 2\pi f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h) \\ &= 2\pi h^2\left(\frac{1}{n}\sum_i \frac{1}{h^2} f((r-x_i)/h, (s-y_i)/h)\right) \\ &=2\pi h^2 KDE(r,s). }$

আসলে, এবং সমানুপাতিক। আনুপাতিকতার ধ্রুবক । $f$ $P$ $2\pi h^2$

মধ্যে যে যেমন একটি আনুপাতিকতা সম্পর্ক এবং বিশেষ $P$ $f$ একটি সহজ counterexample চিন্তা দ্বারা প্রশংসা করা যেতে পারে। যাক একটি পরিমাপযোগ্য সেটে একটি অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন আছে এলাকার ইউনিট ও একটি পরিমাপযোগ্য সেটে একটি অভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন আছে যা থেকে টুকরো করা হয় এবং এলাকা আছে । তারপর পিডিএফ সঙ্গে মিশ্রণ ধ্রুবক মান আছে উপর , উপর , এবং শূন্য অন্যত্র নেই। এখানে তিনটি বিষয় বিবেচনা করতে হবে: $f_1$ $A_1$ $f_2$ $A_2$ $A_1$ $\mu\gt 1$ $f=f_1/2 + f_2/2$ $1/2$ $A_1$ $1/(2\mu)$ $A_2$

$(r,s)\in A_1$ । এখানে অর্জন সর্বোচ্চ, কোথা । অনুপাত । $f(r,s)=1/2$ $P(r,s)=1$ $f(r,s)/P(r,s) = 1/2$
$(r,s)\in A_2$ । এখানে চেয়ে কম তবে চেয়ে বড় । সুতরাং একীকরণের অঞ্চলটি এর পরিপূরক এবং ফলস্বরূপ অবিচ্ছেদ্য অবশ্যই সমান হবে । অনুপাত । $f(r,s)$ $1/2$ $0$ $A_1$ $1/2$ $f(r,s)/P(r,s) = (1/(2\mu))/(1/2) = 1/\mu$
অন্য কোথাও এর শূন্য এবং অবিচ্ছেদ্য শূন্য। $f$ $P$

স্পষ্টতই অনুপাত (যেখানে এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়) ধ্রুবক নয় এবং এবং মধ্যে পরিবর্তিত হয় । যদিও এই বিতরণ অবিচ্ছিন্ন নয় তবে এটিতে একটি সাধারণ বিতরণ যুক্ত করে এটি তৈরি করা যেতে পারে। উভয়ের ইগেনুয়ালু ছোট করে, এটি বিতরণকে খুব অল্প পরিবর্তন করবে এবং গুণগতভাবে একই ফলাফল আনবে - কেবল এখন অনুপাতের মান ব্যবধানের মধ্যে সমস্ত সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করবে । $1$ $1/\mu \ne 1$ $(0,\Sigma)$ $\Sigma$ $f/P$ $[1,1/\mu]$

এই ফলাফলটি অন্যান্য মাত্রায়ও সাধারণীকরণ করে না। মূলত একই গণনা যা এই উত্তরটি শুরু করেছিল তা দেখায় যে একটি অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন এবং এটি পরিষ্কারভাবে হিসাবে একই নয় । দুই মাত্রা বিশেষ উল্লেখ যে ইন্টিগ্রেশন দ্বারা প্রশংসা করা যেতে পারে যে মূলত উদ্বেগ দূরত্বের যখন ঐ সাধারণত বিতরণ করা হয়, দূরত্ব ফাংশন একটি আছে যা - বিতরণ সূচকীয় বন্টন। সূচকীয় ফাংশনটি তার নিজস্ব ডেরাইভেটিভের সাথে আনুপাতিক হওয়ার ক্ষেত্রে অনন্য - যেখানে ইন্টিগ্রান্ড এবং অবিচ্ছেদ্য অবশ্যই সমানুপাতিক হতে হবে। $P$ $f$ $P$ $\chi^2(2)$ $f$ $P$

— whuber
সূত্র

এটি একটি অবিশ্বাস্যরূপে উত্তর whuber, আপনাকে অনেক ধন্যবাদ। আপনি এখানে লিখেছেন এমন সমস্ত কিছু পুরোপুরি প্রক্রিয়া করতে আমার কিছুটা সময় লাগবে তবে আমি আপনার গণনার উপর পুরোপুরি বিশ্বাস করি যার অর্থ আমি প্রশ্নটিকে সমাধান হিসাবে চিহ্নিত করেছি। চিয়ার্স।

— গ্যাব্রিয়েল