একতরফা চেবিশেভ অসমতার নমুনা সংস্করণ কি বিদ্যমান?

আমি চেবিশেভ অসমতার নিম্নলিখিত একতরফা ক্যান্তেলির সংস্করণে আগ্রহী :

P (X - E (X) \geq t) \leq \frac{V a r (X)}{V a r (X) + t^{2}} .

$\mathbb P(X - \mathbb E (X) \geq t) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\mathrm{Var}(X) + t^2} \,.$

মূলত, আপনি যদি জনসংখ্যার গড় এবং তারতম্য জানেন, তবে আপনি কোনও নির্দিষ্ট মান পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনার উপরের অংশের উপরের সীমাটি গণনা করতে পারেন। (এটি অন্তত আমার বোঝাপড়া ছিল।)

তবে আমি প্রকৃত জনসংখ্যার গড় এবং বৈচিত্রের পরিবর্তে নমুনার গড় এবং নমুনার বৈচিত্রটি ব্যবহার করতে চাই।

আমি অনুমান করছি যেহেতু এটি আরও অনিশ্চয়তার পরিচয় দেবে তাই উপরের সীমানা আরও বাড়বে।

উপরে বর্ণনার সাথে মিলের মতো অসমতা কি আছে, তবে এটি নমুনাটির অর্থ এবং তারতম্যটি ব্যবহার করে?

সম্পাদনা : চেবিশেভ অসমতার (একতরফা নয়) "নমুনা" এনালগটি তৈরি করা হয়েছে। উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা কিছু বিবরণ আছে। তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি আমার উপরের একতরফা মামলায় কীভাবে অনুবাদ করবে।

— casandra
সূত্র

ধন্যবাদ গ্লেন_ বি। এটি বেশ আকর্ষণীয় সমস্যা। আমি সর্বদা ভেবেছিলাম যে চেবিশেভ বৈষম্য শক্তিশালী (যেহেতু সম্ভাবনা বন্টনের প্রয়োজন ছাড়াই আপনি পরিসংখ্যানগত অনুমানের কাজটি করা যাক); সুতরাং এটি নমুনার গড় এবং বৈচিত্রের সাথে এটি ব্যবহার করতে সক্ষম হবেন বেশ দুর্দান্ত।

— ক্যাসান্দ্র

উত্তর:

হ্যাঁ, আমরা নমুনা গড় এবং বৈকল্পিকতা ব্যবহার করে একটি অনুরূপ ফলাফল পেতে পারি, সম্ভবত, প্রক্রিয়াটিতে কিছুটা সামান্য বিস্ময় প্রকাশ পেয়েছে।

প্রথমত, আমাদের প্রশ্ন বিবরণিকে কিছুটা পরিমার্জন করতে হবে এবং কয়েকটি অনুমান করা দরকার। গুরুত্বপূর্ণভাবে, এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত যে আমরা জনসংখ্যার বৈচিত্রটি ডান হাতের নমুনা বৈকল্পিকের সাথে প্রতিস্থাপন করতে পারি না কারণ উত্তরোত্তর এলোমেলো ! সুতরাং, আমরা সমান বৈষম্য প্রতি আমাদের মনোযোগ ফোকাস করি যদি এটা স্পষ্ট নয় যে, এই হয় সমতুল্য, নোট যে আমরা কেবল প্রতিস্থাপিত করে থাকেন সঙ্গে সাধারণত্ব কোনো ক্ষতি ছাড়া মূল বৈষম্য।

P (X - E X \geq t σ) \leq \frac{1}{1 + t^{2}} .

$\mathbb P\left( X - \mathbb E X \geq t \sigma \right) \leq \frac{1}{1+t^2} \>.$

t

$t$

t σ

$t \sigma$

দ্বিতীয়ত, আমরা ধরে নিই যে আমাদের কাছে একটি এলোমেলোভাবে নমুনা এবং আমরা সমান পরিমাণ , যেখানে upper স্যাম্পল গড় এবং হ'ল নমুনা স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি। $X_1,\ldots,X_n$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S)$ $\bar X$ $S$

একটি অর্ধেক এগিয়ে

দ্রষ্টব্য যে ইতিমধ্যে মূল চেবিশেভ বৈষম্য প্রয়োগ করে আমরা পেয়েছি যে যেখানে , যা মূল সংস্করণের ডান হাতের চেয়ে ছোট । এইবার বুঝতে পারছি! কোনও নমুনা থেকে এলোমেলো পরিবর্তনশীলের কোনও বিশেষ উপলব্ধি নমুনাটির তুলনায় (সামান্য) কাছাকাছি থাকে যা জনসংখ্যার গড়ের তুলনায় এটি অবদান রাখে। যেমনটি আমরা নীচে দেখব, আমরা দ্বারা আরও সাধারণ অনুমানের অধীনে প্রতিস্থাপন করব । $X_1 - \bar X$

P (X_{1} - \bar{X} \geq t σ) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n - 1} t^{2}}

$\mathbb P( X_1 - \bar X \geq t\sigma ) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1}t^2}$

σ^{2} = V a r (X_{1})

$\sigma^2 = \mathrm{Var}(X_1)$

σ

$\sigma$

S

$S$

একতরফা চেবিশেভের একটি নমুনা সংস্করণ

দাবি : এলোমেলো নমুনা যেমন । তারপরে,বিশেষত, বাউন্ডের নমুনা সংস্করণটি মূল জনসংখ্যার সংস্করণের চেয়ে আরও শক্ত । $X_1,\ldots,X_n$ $\mathbb P(S = 0) = 0$
$P (X_{1} - \bar{X} \geq t S) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n - 1} t^{2}} .$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2}\>.$

দ্রষ্টব্য : আমরা ধরে নিই না যে সীমিত অর্থ বা বৈকল্পিকতা আছে! $X_i$

প্রুফ । ধারণাটি হ'ল মূল একতরফায়ে চেবিশেভ অসমতার প্রমাণকে অভিযোজিত করা এবং প্রক্রিয়াতে প্রতিসাম্য নিয়োগ করা। প্রথমে, সুবিধার জন্য সেট করুন । তারপরে, দেখুন যে $Y_i = X_i - \bar X$

P (Y_{1} \geq t S) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} P (Y_{i} \geq t S) = E \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1_{(Y_{i} \geq t S)} .

$\mathbb P( Y_1 \geq t S ) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb P( Y_i \geq t S ) = \mathbb E \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf 1_{(Y_i \geq t S)} \>.$

এখন, যে কোনও , , $c > 0$ $\{S > 0\}$

1_{(Y_{i} \geq t S)} = 1_{(Y_{i} + t c S \geq t S (1 + c))} \leq 1_{((Y_{i} + t c S)^{2} \geq t^{2} (1 + c)^{2} S^{2})} \leq \frac{(Y_{i} + t c S)^{2}}{t^{2} (1 + c)^{2} S^{2}} .

$\newcommand{I}[1]{\mathbf{1}_{(#1)}} \I{Y_i \geq t S} = \I{Y_i + t c S \geq t S (1+c)} \leq \I{(Y_i + t c S)^2 \geq t^2 (1+c)^2 S^2} \leq \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2}\>.$

তারপরে, যেহেতু এবং ।

\frac{1}{এন} \underset{আমি}{Σ} 1_{({ওয়াই}_{আমি} \geq টি এস)} \leq \frac{1}{এন} \underset{আমি}{Σ} \frac{({ওয়াই}_{আমি} + + টি গ এস)^{2}}{{টি}^{2} (1 + + গ)^{2} {এস}^{2}} = \frac{(এন - 1) {এস}^{2} + + এন {টি}^{2} গ^{2} {এস}^{2}}{এন {টি}^{2} (1 + + গ)^{2} {এস}^{2}} = \frac{(এন - 1) + + এন {টি}^{2} গ^{2}}{এন {টি}^{2} (1 + + গ)^{2}},

$\frac{1}{n} \sum_i \I{Y_i \geq t S} \leq \frac{1}{n} \sum_i \frac{(Y_i + t c S)^2}{t^2(1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1)S^2 + n t^2 c^2 S^2}{n t^2 (1+c)^2 S^2} = \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n t^2 (1+c)^2} \>,$

\bar{Y} = 0

$\bar Y = 0$

\sum_{i} Y_{i}^{2} = (n - 1) S^{2}

$\sum_i Y_i^2 = (n-1)S^2$

ডান দিকের দিকটি একটি ধ্রুবক ( ! ), সুতরাং উভয় পক্ষের প্রত্যাশা গ্রহণ করে, অবশেষে, ওভার কমিয়ে , উৎপাদনের , একটু বীজগণিত পর ফলাফলের স্থাপন পারে।

পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq টি এস) \leq \frac{(এন - 1) + + এন {টি}^{2} গ^{2}}{এন {টি}^{2} (1 + + গ)^{2}} ।

$\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq \frac{(n-1) + n t^2 c^2}{n t^2 (1+c)^2} \>.$

c

$c$

c = \frac{n - 1}{n t^{2}}

$c = \frac{n-1}{n t^2}$

সেই অদ্ভুত প্রযুক্তিগত অবস্থা

দ্রষ্টব্য যে বিশ্লেষণে দ্বারা বিভাজন করতে সক্ষম হতে আমাদের নিতে হয়েছিল । একেবারে অবিচ্ছিন্ন বিতরণের জন্য এটি কোনও সমস্যা নয়, তবে বিযুক্তদের জন্য কোনও অসুবিধা পোষণ করে। একটি বিযুক্ত বিতরণের জন্য, কিছু সম্ভাবনা যে সব পর্যবেক্ষণ সমান, যা ক্ষেত্রে সকলের জন্য এবং । $\mathbb P(S = 0) = 0$ $S^2$ $0 = Y_i = t S = 0$ $i$ $t > 0$

আমরা সেট করে আমাদের চলার পথে বিচলিত করতে পারি । তারপরে, যুক্তিটির একটি যত্ন সহকারে অ্যাকাউন্টিং দেখায় যে সবকিছু কার্যত অপরিবর্তিত হয়ে যায় এবং আমরা পাই $q = \mathbb P(S = 0)$

করোলারি 1 । কেসের জন্য আমাদের কাছে $q = \mathbb P(S = 0) > 0$
$পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq টি এস) \leq (1 - কুই) \frac{1}{1 + + \frac{এন}{এন - 1} {টি}^{2}} + + কুই ।$ $\mathbb P(X_1 - \bar X \geq t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} + q \>.$

প্রুফ । ইভেন্টের স্প্লিট এবং । পূর্ববর্তী প্রমাণটি for এর জন্য যায় এবং কেস । নগণ্য। $\{S > 0\}$ $\{S = 0\}$ $\{S > 0\}$ $\{S = 0\}$

যদি আমরা সম্ভাব্যতার বিবৃতিতে কঠোর সংস্করণ দিয়ে অ-সংকীর্ণ বৈষম্যকে প্রতিস্থাপন করি তবে কিছুটা ক্লিনার অসমতার ফলাফল।

করোলারি 2 । (সম্ভবত শূন্য) আসুন । তারপরে, $q = \mathbb P(S = 0)$
$পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} > টি এস) \leq (1 - কুই) \frac{1}{1 + + \frac{এন}{এন - 1} {টি}^{2}} ।$ $\mathbb P(X_1 - \bar X > t S) \leq (1-q) \frac{1}{1 + \frac{n}{n-1} t^2} \>.$

চূড়ান্ত মন্তব্য : অসমতার নমুনা সংস্করণটির জন্য কোনও অনুমানের প্রয়োজন নেই (অন্যথায় এটি অযৌক্তিক বৈষম্যের ক্ষেত্রে প্রায় অবশ্যই ধ্রুবক হবে না, যা মূল সংস্করণটিও স্বতন্ত্রভাবে ধরে নেয়), সংক্ষেপে, কারণ নমুনাটির অর্থ এবং নমুনার বৈচিত্র্য তাদের জনসংখ্যা অ্যানালগগুলি করে বা না করে সর্বদা উপস্থিত থাকে। $X$

— অঙ্কবাচক
সূত্র

এটি কেবলমাত্র @ কার্ডিনালের বুদ্ধিদীপ্ত উত্তরের পরিপূরক। স্যামুয়েলসন অসম্যতা জানিয়েছে যে, আকারের এর একটি নমুনার জন্য , যখন আমাদের উপলব্ধি হওয়া এর কমপক্ষে তিনটি স্বতন্ত্র মান রয়েছে , তখন এটি ধরে রাখে যেখানে পক্ষপাত সংশোধন ছাড়া গণনা করা হয়, । $n$ $x_i$

{এক্স}_{আমি} - \bar{এক্স} < গুলি \sqrt{এন - 1}, আমি = 1, । । । এন

$x_i-\bar x < s\sqrt{n-1},\;\; i=1,...n$

s

$s$

s = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2})}^{1 / 2}

$s= \left (\frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\right)^{1/2}$

তারপরে, কার্ডিনাল এর উত্তরের স্বরলিপি ব্যবহার করে আমরা তা জানাতে পারি

পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq এস \sqrt{এন - 1}) = 0 একটি । গুলি । [1]

$\mathbb P\left(X_1-\bar X \ge S\sqrt{n-1}\right) =0 \;\;a.s. \qquad [1]$

যেহেতু আমাদের তিনটি স্বতন্ত্র মান প্রয়োজন, অনুমান করে আমাদের । সুতরাং আমরা প্রাপ্ত কার্ডিনালের অসমতার (প্রাথমিক সংস্করণ) setting সেট করা $S\neq 0$ $t=\sqrt{n-1}$

পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq এস \sqrt{এন - 1}) \leq \frac{1}{1 + + এন}, [2]

$\mathbb P\left (X_1 - \bar X \geq S\sqrt{n-1}\right) \leq \frac{1}{1 + n}, \;\; \qquad [2]$

EQ। অবশ্যই একের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। । দুই সমন্বয় আমাদের বলে যে কার্ডিনাল এর বৈষম্য একটি সম্ভাব্য বিবৃতি হিসাবে দরকারী । $[2]$ $[1]$ $0< t < \sqrt{n-1}$

যদি কার্ডিনালের অসমতার জন্য গণনা করা হয় পক্ষপাত-সংশোধন করা (এটি কল করুন ) তবে সমীকরণগুলি হয়ে যায় $S$ $\tilde S$

পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq \tilde{এস} \frac{এন - 1}{\sqrt{এন}}) = 0 একটি । গুলি । [1 একটি]

$\mathbb P\left(X_1-\bar X \ge \tilde S\frac{n-1}{\sqrt{n}}\right) =0 \;\;a.s. \qquad [1a]$

এবং আমরা কার্ডিনালের অসাম্যতা অর্জনের জন্য choose চয়ন করি $t= \frac{n-1}{\sqrt{n}}$

পি ({এক্স}_{1} - \bar{এক্স} \geq \tilde{এস} \frac{এন - 1}{\sqrt{এন}}) \leq \frac{1}{এন}, [2 একটি]

$\mathbb P\left (X_1 - \bar X \geq \tilde S\frac{n-1}{\sqrt{n}}\right) \leq \frac{1}{ n}, \;\; \qquad [2a]$ এবং জন্য সম্ভাব্য অর্থপূর্ণ ব্যবধান হল

t

$t$

0 < t < \frac{n - 1}{\sqrt{n}} .

$0< t < \frac{n-1}{\sqrt{n}}.$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস
সূত্র

(+1) ঘটনাচক্রে, আমি প্রথম যখন এই সমস্যাটি বিবেচনা করছিলাম তখন, actually আসলে প্রাথমিক সূত্র ছিল যে নমুনার বৈষম্যটি মূলের চেয়ে আরও শক্ত হওয়া উচিত। আমি আমার পোস্টে এটি গ্রাস করতে চেয়েছিলাম, তবে এর জন্য কোনও (আরামদায়ক) জায়গা খুঁজে পেলাম না। আপনার খুব সুন্দর অতিরিক্ত বিবরণ সহ আপনি এখানে এটি উল্লেখ করতে পেরে খুব খুশি (আসলে এটিতে খুব সামান্য উন্নতি)। চিয়ার্স।

max_{i} | X_{i} - \bar{X} | \leq S \sqrt{n - 1}

$\max_i |X_i - \bar X| \leq S\sqrt{n-1}$

— কার্ডিনাল

চিয়ার্স @ কার্ডিনাল, দুর্দান্ত উত্তর -আজ আমার পক্ষে স্পষ্ট করে বলুন -আমাদের অসমতার জন্য এটি কীভাবে নমুনার বৈচিত্রকে সংজ্ঞা দেয় (পক্ষপাত-সংশোধন করে না)?

— এলেকোস পাপাদোপ্লোস

কেবল কখনও তাই সামান্য। আমি পক্ষপাত সংশোধন নমুনা বৈকল্পিক ব্যবহার। আপনি যদি সাধারণকরণের জন্য পরিবর্তে ব্যবহার করেন , তবে আপনি end পরিবর্তে with দিয়ে শেষ করবেন যার অর্থ চূড়ান্ত বৈষম্যের মধ্যে পদটি অদৃশ্য হয়ে যাবে। সুতরাং, আপনি যে ক্ষেত্রে একতরফা চেবিশেভ অসমতার মত একই আবদ্ধ পাবেন। (ধরে নিচ্ছি আমি বীজগণিতটি সঠিকভাবে করেছি।) :-)

n

$n$

n - 1

$n-1$

\frac{1 + + {টি}^{2} গ^{2}}{{টি}^{2} (1 + + গ)^{2}}

$\frac{1+t^2c^2}{t^2(1+c)^2}$

\frac{(এন - 1) + + এন {টি}^{2} গ^{2}}{এন {টি}^{2} (1 + + গ)^{2}},

$\frac{(n-1) + n t^2c^2}{nt^2(1+c)^2} \,,$

n / (n - 1)

$n/(n-1)$

— মূল

@Cardinal ... যার মানে আমার উত্তর প্রাসঙ্গিক সমীকরণ হয় এবং , যার মানে আপনার বৈষম্য আমাদের বলে যে Samuelson ইনইকুয়ালিটি, ঘটনা আমরা পরীক্ষা করছে সম্ভাবনা, সক্রিয় করতে তার চেয়ে অনেক বেশী হতে পারে না মনোনীত , অর্থাৎ এলোমেলোভাবে নমুনা থেকে যে কোনও একটি উপলব্ধি মূল্য নির্বাচন করার চেয়ে বৃহত্তর নয় ... যা কোনওরকমে কিছু ধীরে ধীরে স্বজ্ঞাগত অর্থে তোলে: সম্ভবত যখন সম্ভাব্যতার সাথে যোগাযোগ করা হয় তখন এর সম্ভাব্যতা সীমাবদ্ধ হয় না ... স্পষ্ট নয় আমার মনে এখনও।

1 a

$1a$

2 a

$2a$

t

$t$

1 / n

$1/n$

— আলেকোস পাপাদোপ্লোস