ঘনত্বের কার্যকারিতার জ্যামিতির সাথে সম্পর্কিত কোনও বিতরণের কুরটোসিস কীভাবে সম্পর্কিত?

Question

কুর্তোসিস হ'ল কোনও বিতরণের শৃঙ্খলা এবং স্থূলত্ব পরিমাপ করা। বিতরণের ঘনত্ব ফাংশন, যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে এটি একটি বাঁক হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং এর আকৃতির সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য (যেমন বক্রতা, উত্তলতা, ...) রয়েছে।

সুতরাং আমি অবাক হই যে কোনও বিতরণের কুরটোসিস ঘনত্বের ফাংশনের কিছু জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত, যা কুর্তোসিসের জ্যামিতিক অর্থ ব্যাখ্যা করতে পারে?

Comments

আমি ঘনত্বের বক্ররেখার কিছু জ্যামিতিক পরিমাণের সূত্রে কিছু সম্পর্ক জিজ্ঞাসা করছি, কেবল আমার পোস্টে যে অস্পষ্ট অর্থটি আমি উল্লেখ করেছি not অথবা কুর্তোসিসের জ্যামিতিক অর্থ কেন রয়েছে তার কিছু ব্যাখ্যা দেওয়া ঠিক আছে

— টিম

@ পিটার এটি সত্য থেকে দূরে। যে কোনও নির্দিষ্ট মুহুর্তগুলি পরিবর্তন না করে প্রায় পিছু পিডিএফের গ্রাফের জ্যামিতি সংশোধন করতে পারে।

— হোবার

Stats.stackexchange.com/questions/25010/… এ ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত প্রশ্ন প্রস্তাব দেয় যে এই প্রশ্নের সঠিক উত্তরটি কী হওয়া উচিত।

— whuber

@ যেহেতু আমি সম্মত হয়েছি এবং সেই উদাহরণটির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ জানাতে চাই, আমি আরও আশ্চর্য হয়েছি যে এটি পিডিএফের সেই নির্দিষ্ট পরিবারের উল্লেখযোগ্য সম্পত্তি সম্পর্কে সাধারণভাবে কুর্তোসিস সম্পর্কে যতটা বলে তার চেয়ে বেশি কিছু না বলে কিনা।

— ব্যবহারকারী 603

@ ব্যবহারকারী 603 এটি অবাক করার মতো একটি ভাল জিনিস। যাইহোক, বিবৃতিটি এই বিশেষ পরিবার সম্পর্কে নয়: এটি কেবল ঘটে যায় যে লগনরমাল বিতরণের জন্য একই মুহুর্তের সাথে বিকল্প পিডিএফগুলির একটি শ্রেণির একটি সুস্পষ্ট উপস্থাপনা তৈরি করতে পারে। এটা তোলে হয় বিশেষ করে সব মুহূর্তের একই আছে, কিন্তু একটি উপায় সবচেয়ে ডিস্ট্রিবিউশন perturbing যে সংশোধন করা হয়েছে তাদের মুহূর্ত একটি সসীম সংখ্যা কঠিন নয়। (এটা যেমন বের্নুলির নির্দিষ্ট বিযুক্ত ডিস্ট্রিবিউশন, জন্য কঠিন, কিন্তু তারা PDF গুলি হবে না।)

— whuber

Answer 1

অবিচ্ছিন্ন বিতরণের মুহুর্তগুলি এবং কুর্তোসিসের মতো এগুলির ক্রিয়াকলাপগুলি আপনাকে এর ঘনত্বের কার্যকারিতার গ্রাফ সম্পর্কে খুব কমই বলে।

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত গ্রাফগুলি বিবেচনা করুন।

এর প্রত্যেকটি হ'ল সংযুক্ত একটি অ-নেতিবাচক ফাংশনের গ্রাফ : এগুলি সমস্ত পিডিএফ। তদুপরি, তাদের সকলের ঠিক একই মুহূর্ত রয়েছে - তাদের মধ্যে প্রতিটি শেষ অসীম সংখ্যা। সুতরাং তারা একটি সাধারণ কুর্তোসিস ভাগ করে দেয় (যা সমান সমান হয় )- 3 + 3 ই 2 + 2 ই 3 + ই $1$$-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

এই ফাংশনগুলির সূত্রগুলি হ'ল

$$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$$

জন্য এবং- 1 ≤ s ≤ 1 , কে ∈ জেড$x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$$k\in\mathbb{Z}.$

চিত্রটি বাম দিকে মান এবং উপরের অংশে মান প্রদর্শন করে। বাম-হাতের কলামটি স্ট্যান্ডার্ড লগনারমাল বিতরণের জন্য পিডিএফ দেখায়।$s$$k$

কেন্ডালের অ্যাডভান্সড থিওরি অফ স্ট্যাটিস্টিকসে St.২১ অনুশীলন (স্টুয়ার্ট অ্যান্ড অর্ড, ৫ ম সংস্করণ) পাঠককে দেখানোর জন্য বলে যে এই সমস্তগুলির একই মুহূর্ত রয়েছে।

মূলত ভিন্ন আকারের অন্য পিডিএফ তৈরি করতে একইভাবে যে কোনও পিডিএফ পরিবর্তন করতে পারে তবে একই দ্বিতীয় এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহুর্তের সাথে (বলুন), যার ফলে একই কুর্তোসিস থাকতে পারে। এই উদাহরণটি থেকে কেবল এটিই স্পষ্টভাবে পরিষ্কার হওয়া উচিত যে কুর্তোসিস কোনও প্রতিসাম্যতা, অবিম্যতা, দ্বিপদতা, উত্তলতা বা কোনও বক্ররেখা সম্পর্কিত কোনও জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের কোনও সহজেই ব্যাখ্যাযোগ্য বা স্বজ্ঞাত মাপকাঠি নয়।

মুহুর্তের কার্যাবলী, (এবং বিশেষ ক্ষেত্রে কুর্তোসিস) পিডিএফের গ্রাফের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে না। এটি স্বজ্ঞাতভাবে বোঝায়: কারণ কোনও পিডিএফ ক্ষেত্রের মাধ্যমে সম্ভাব্যতা উপস্থাপন করে , আমরা প্রায় নির্বিঘ্নে সম্ভাব্যতার ঘনত্বকে এক অবস্থান থেকে অন্য স্থানে স্থানান্তরিত করতে পারি, পিডিএফের চেহারাটি মূলত পরিবর্তন করতে পারি, যখন কোনও নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট মুহুর্তের নির্দিষ্ট সীমা নির্ধারণ করে।

Comments

"শুধুমাত্র এই উদাহরণ থেকে এটি প্রচুর পরিমাণে পরিষ্কার হওয়া উচিত ... কোনও বক্ররেখা সম্পর্কিত কোনও জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য।" আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা আমি বুঝতে পেরেছি, তবে এখানে ব্যাখ্যায় যুক্তিসঙ্গত বিচরণের জন্য ভিত্তি রয়েছে। আর একটি ব্যাখ্যা ডার্লিংটনের, যিনি দেখিয়েছেন যে কীভাবে প্রতিসম বিতরণ থেকে শুরু করে নির্দিষ্ট পয়েন্টে কিছু ভর সরিয়ে কুর্তোসিসকে বাড়িয়ে তোলে / হ্রাস করে (আবার, আপনার উদাহরণের বৈপরীত্য নয়, আরও একটি 'ইতিবাচক' বোঝা)।

— ব্যবহারকারী 60

@ ইউজার 603 আমি দ্বিমত পোষণ করি না, তবে আমি মনে করি যে "ইতিবাচক" দৃষ্টিভঙ্গি এটির কাজ করার জন্য স্পষ্টতই তৈরি করা বিশেষ ধারণাগুলি উপেক্ষা করে। একটি অত্যন্ত অসম্পূর্ণ পিডিএফ এর গ্রাফ দিয়েও শুরু হতে পারে যার স্নিগ্ধতা শূন্য (তারা নির্মাণ করা শক্ত নয়)। সুতরাং ইতিবাচক পন্থাটি কেবল নির্দিষ্ট কিছু বিশেষ পিডিএফ-এর ক্ষেত্রে কী ঘটেছিল তা কেবল বর্ণনা করে যখন ভরটি প্রায় সরানো হয়। যদিও এটি অন্তর্দৃষ্টি জন্য বেশ কার্যকর হতে পারে, মনে হয় এটি বর্তমান প্রশ্নের উপর কোন যৌক্তিক প্রভাব নেই।

— whuber

আমি সঙ্কোচ (এবং সাধারণভাবে আপনার উত্তর) জন্য সম্মত। তবে কুর্তোসিস, একটি ফাংশন হিসাবে, সর্বনিম্ন রয়েছে। এটি কিছুটা আকর্ষণীয় করে তোলে।

— ব্যবহারকারী 60

@ ইউজার 603 আপনাকে ধন্যবাদ; এটি একটি অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ পার্থক্য। আমি মনে করি না যে এটি বর্তমানের যে কোনও সিদ্ধান্তকে গুরুত্বপূর্ণ উপায়ে পরিবর্তন করে তবে এটি অবশ্যই অন্তর্দৃষ্টিকে সহায়তা করে এবং এমনকি বিজোড় মুহুর্তের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্যের দিকে নির্দেশ করে।

— whuber

Answer 2

প্রতিসম বিতরণের জন্য (এটি তাদের জন্য এমনকি কেন্দ্রিক মুহূর্তগুলি অর্থপূর্ণ) কুর্তোসিস অন্তর্নিহিত পিডিএফের একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য পরিমাপ করে। এটি সত্য নয় যে কুর্তোসিস কোনও বিতরণের শিখরতার সাথে পরিমাপ করে (বা সাধারণভাবে সম্পর্কিত)। বরং কুর্তোসিস পরিমাপ করুন যে অন্তর্নিহিত বিতরণটি প্রতিসম ও বিমোডাল হওয়া থেকে কতটা দূরে (বীজগণিতভাবে, একটি নিখুঁত প্রতিসাম্য এবং বিমোডাল বিতরণে 1 এর কুর্তোসিস থাকবে যা কুর্তোসিসের সবচেয়ে কমতম মূল্য হতে পারে) [0]।

সংক্ষেপে [১], আপনি যদি সংজ্ঞা দেন:

$$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$$

সঙ্গে , তারপর$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

$$k=V(Z^2)+1\ge1$$

জন্য ।$Z=(X-\mu)/\sigma$

এটি সূচিত করে যে তার প্রত্যাশা প্রায় জেড 2 বিচ্ছুরণের একটি পরিমাপ হিসাবে দেখা যেতে পারে 1. অন্য কথায়, আপনার যদি কুর্তোসিসের অনুসরণের চেয়ে বৈচিত্র এবং প্রত্যাশার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা থাকে।$k$$Z^2$

[0] আরবি ডার্লিংটন (1970)। কুর্তোসিস কি আসলেই "পিকেসনেস?"। আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ, খণ্ড 24, নং 2।

[1] জেজেএ মুরস (1986) .কুর্তোসিসের অর্থ: ডার্লিংটন পুনরায় পরীক্ষা করা। আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ, খণ্ড 40, সংখ্যা 4।

Comments

আপনি যেখানেই "বিমোডাল" লেখেন আপনি সম্ভবত "ইউনিমোডাল" বলতে চান?

— whuber

$f$$\mu$$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$$g$$1$। সুতরাং, কমপক্ষে, কুর্তোসিস দ্বিপত্যক্ষেত্র সম্পর্কে যা কিছু বলে না। যেহেতু এটি না, অবিকল পিডিএফ এর জ্যামিতিক সম্পত্তি এটি বর্ণনা করছে?

— whuber

আসুন আমরা এই আলোচনাটি

— আড্ডায়

কুর্তোসিস দ্বি-দ্বিধাহীনতা নির্দেশ করে না, কেবলমাত্র তার ন্যূনতমের কাছাকাছি অবস্থার ক্ষেত্রে যেখানে এটি দ্বি-পয়েন্টের সমপরিমাণে বিতরণের অনুরূপ কিছু নির্দেশ করে। আপনি কুরটোসিসের প্রতিটি সম্ভাব্য মান সহ বিমোডাল বিতরণ করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753 দেখুন ।

— পিটার ওয়েস্টফল 12

$p$$p$$v \rightarrow 0$

Answer 3

[এনবি এটি সাইটের অন্য প্রশ্নের জবাবে লেখা হয়েছিল; উত্তরগুলি বর্তমান প্রশ্নের সাথে মিশে গেছে। এই কারণেই এই উত্তরটি একটি ভিন্ন শব্দযুক্ত প্রশ্নের জবাব বলে মনে হচ্ছে। তবে পোস্টটির বেশিরভাগ এখানে প্রাসঙ্গিক হওয়া উচিত]]

কুরটোসিস সত্যিই বিতরণের আকারটি পরিমাপ করে না। কিছু বিতরণ পরিবারগুলির মধ্যে সম্ভবত আপনি এটির আকারটি বর্ণনা করতে পারেন তবে সাধারণভাবে কুর্তোসিস আপনাকে প্রকৃত আকৃতি সম্পর্কে ভয়ানকভাবে কিছু বলেন না। আকারটি কুর্তোসিসের সাথে সম্পর্কিত নয় এমন জিনিসগুলি সহ অনেকগুলি দ্বারা প্রভাবিত হয়।

কার্টোসিসের জন্য যদি কেউ চিত্র অনুসন্ধান করে তবে বেশ কয়েকটি এই চিত্রটির মতো চিত্র প্রদর্শিত হবে:

যা কুরটোসিস বাড়ানোর পরিবর্তে পরিবর্তিত বৈকল্পিকতা দেখায় বলে মনে হচ্ছে। তুলনা করার জন্য, এখানে তিনটি সাধারণ ঘনত্ব রয়েছে যা আমি কেবলমাত্র বিভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির সাথে অঙ্কন করেছি (আর ব্যবহার করে):

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি আগের ছবিটির সাথে প্রায় একই রকম দেখাচ্ছে। এই সব একই কুর্তোসিস আছে। বিপরীতে, এখানে একটি উদাহরণ যা ডায়াগ্রামটি লক্ষ্য করে চলেছে তার কাছাকাছি সম্ভবত probably

$\sqrt{6}$

ঘনত্বের আকৃতি নির্দেশ করে কুর্তোসিস সম্পর্কে যখন কথা হয় তখন লোকে সাধারণত এটি বোঝায়। তবে কুরটোসিস সূক্ষ্ম হতে পারে - এটির মতো কাজ করতে হবে না।

উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট পরিবর্তনে উচ্চতর কুর্তোসিসটি আসলে একটি নিম্ন শিখরের সাথে দেখা দিতে পারে।

একজনকে প্রলোভন থেকেও সাবধান থাকতে হবে (এবং বেশ কয়েকটি বইয়ে এটি প্রকাশ্যে বলা হয়েছে) যে শূন্যের অতিরিক্ত কুর্তোসিস স্বাভাবিকতা বোঝায়। অতিরিক্ত কুরটোসিস 0 সহ বিতরণ রয়েছে যা সাধারণের মতো কিছুই নয়। এখানে একটি উদাহরণ:

প্রকৃতপক্ষে, এটি পূর্ববর্তী বিষয়টিকেও চিত্রিত করে। আমি স্বাভাবিকের চেয়ে উচ্চতর কুরটোসিসের সাথে সহজেই অনুরূপ দেখতে বিতরণ তৈরি করতে পারি তবে এটি এখনও কেন্দ্রে শূন্য - শীর্ষের সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি।

সাইটে বেশ কয়েকটি পোস্ট রয়েছে যা কুর্তোসিসকে আরও বর্ণনা করে। একটি উদাহরণ এখানে ।

Comments

তবে কি বললাম না? বইটা বলে?

— স্ট্যাটাস টিশিয়ানিয়ান

আমি জানি। আমি কখনও বলিনি যে আপনি এটি বলেছেন। আপনি কীভাবে পরামর্শ দেবেন যে আমি আপনার সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করলাম তা স্পষ্টভাবে ভুল বিবৃতিতে সাড়া দেব? শুধু ভান করে তারা ভুল না?

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ Glen_b ছবিগুলি বই থেকে নেই। বইটি চিত্রণ দেয় না। আমি এই চিত্রগুলির জন্য গলজ চিত্র অনুসন্ধান ব্যবহার করেছি।

— স্ট্যাট টাস্টিকিয়ান

কিছু লেখক কুর্তোসিসকে শিখরতা হিসাবে লেখেন এবং কেউ কেউ এটি লেজের ওজন হিসাবে লেখেন, তবে সংশয়মূলক ব্যাখ্যা যে কুর্তোসিস যা-ই কর্টোসিসই একমাত্র সম্পূর্ণ নিরাপদ গল্প। ইরভিং কাপ্লানস্কি (১৯৪৫) দ্বারা প্রাপ্ত সংখ্যার উদাহরণগুলি একাই যথেষ্ট প্রমাণ করে যে কুর্তোসিস স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করেন না। (১৯৪০-এর দশকের মাঝামাঝি সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যান সম্পর্কিত ক্যাপলানস্কির কাগজটি

— নিক কক্স

এমন বই এবং কাগজপত্র রয়েছে যে দাবি করেছে যে কুর্তোসিসটি শিখরতা, তাই আমার প্রথম ধারাটি সঠিক রয়েছে পাশাপাশি সাহিত্যে কী রয়েছে তার বিবৃতি হিসাবে সমর্থনযোগ্য remains সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি কীভাবে একজন কাপলানস্কির উদাহরণ এবং যুক্তিগুলিকে সম্মান করে।

— নিক কক্স

Answer 4

$\mu \pm \sigma$

11/23/2018 সম্পাদনা করুন: এই পোস্টটি লেখার পর থেকে, আমি কুরটোসিস সম্পর্কে কিছু জ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করেছি। একটি হ'ল অতিরিক্ত কুর্তোসিসটি স্বাভাবিক কোয়ান্টাইল-কোয়ান্টাইল প্লটের টেইলে প্রত্যাশিত 45 ডিগ্রি লাইন থেকে বিচ্যুতির দিক থেকে জ্যামিতিকভাবে সত্যই কল্পনা করা যেতে পারে; দেখুন কিউকিউ প্লটটি লেপটোকুর্টিক বা প্ল্যাটিকুর্টিক বিতরণকে ইঙ্গিত দেয়?

$p_V(v)$$V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$$X$$E(V)$$V$$X$

$\mu \pm \sigma$$X$$\mu \pm \sigma$$\mu$$\sigma$$X$$\le 0.25$$\mu \pm \sigma$$\mu$$\sigma$

Comments

আপনার বেশিরভাগ পোস্টে কেবলমাত্র একটি কাগজে লোককে উল্লেখ করা চালিয়ে যাওয়ার পরিবর্তে, আপনি কি এখানে যুক্তি সংক্ষিপ্ত বিবরণ করতে চান? "সর্বদা লিঙ্কগুলির জন্য প্রসঙ্গ সরবরাহ করুন" এর অধীনে এখানে সহায়তা দেখুন , বিশেষত যেখানে এটি "সর্বদা গুরুত্বপূর্ণ অংশটি উদ্ধৃত করে" বলে। আর্গুমেন্টটি যেখানে বিস্তৃত সেখানে আক্ষরিক অর্থে এটি উদ্ধৃত করার দরকার নেই, তবে যুক্তির সংক্ষিপ্তসারের একটি সংক্ষিপ্তসার প্রয়োজন। আপনি কেবল বেশ কয়েকটি পরিষ্কার বিবৃতি দিয়েছেন এবং তারপরে একটি কাগজের সাথে লিঙ্ক করুন।

— কুর্তোসিস

... তবে আপনি এখানে উপস্থাপন করেন না এমন যুক্তিগুলির সাথে একমত হওয়া এবং সম্ভবত আরও অযৌক্তিক উপসংহারে পৌঁছানো অসম্ভব।

— গ্লেন_বি

আমার যুক্তিগুলি এখানে স্পষ্টভাবে দেওয়া আছে: en.wikedia.org/wiki/… মন্তব্য স্বাগত! BTW, সূঁচালতা IS লেজ ওজন একটি পরিমাপ, শুধু অন্যদের যে বিবেচনা করা হয়েছে হিসাবে একই নয়। এটি E (Z ^ 4) এর মাধ্যমে লেজের ওজন পরিমাপ করে, এটি লেজের ওজনের একটি পরিমাপ যেহেতু মানগুলি | জেড | <1 এতে খুব কম অবদান রাখে। একই যুক্তি অনুসারে, উচ্চতর এমনকি শক্তির এন এর জন্য ই (জেড ^ n) হ'ল লেজের ওজনও।

— পিটার ওয়েস্টফল

হাই পিটার, আপনার অ্যাকাউন্টগুলিকে একীভূত করতে দয়া করে stats.stackexchange.com/help/merging- অ্যাকাউন্ট দেখুন যাতে আপনি আপনার পুরানো পোস্টগুলি সংশোধন করতে পারেন।

— শুক্র

Answer 5

একটি ভিন্ন ধরণের উত্তর: আমরা http://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : গ্রাফিকাল মুহুর্তের ধারণাগুলি ব্যবহার করে জ্যামিতিকভাবে কুর্তোসিসকে চিত্রিত করতে পারি ।

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$$ $f$$X$$\mu, \sigma^2$$x$ $k_e=k-3$

নিম্নলিখিতটিতে আমি কিছু প্রতিসাম্যিক বিতরণের জন্য গ্রাফিকাল কুর্তোসিসের একটি প্লট দেখাব, যা সমস্ত শূন্যকে কেন্দ্র করে এবং ভেরিয়েন্স 1-এর জন্য ছোট করে দেওয়া হয়।

কেন্দ্র থেকে কুর্তোসিসে অবদানের ভার্চুয়াল অনুপস্থিতিতে নোট করুন, এটি দেখায় যে কুর্তোসিস "পিকসনেস" এর সাথে খুব বেশি কিছু করার নেই।

Comments

$Z^2$$-b$$+b$$b$